Chủ đề này có 3 trả lời

[hangochoanthien]

Nhắc đến Fermat, người ta thường nói rằng đó là một nhà toán học vĩ đại. Song chính ông lại không lấy đó làm nghề chính thức.
Tiểu sử nhà toán học người Pháp (1601-1665) cho biết ông xuất thân từ gia đình thương nhân khá giả. Fermat học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án. Chỉ trừ gia đình và bạn bè tâm giao, chẳng ai biết ông vô cùng say mê toán. Mãi sau khi Pierre de Fermat mất, người con trai mới in dần các công trình của cha kể từ năm 1670. Năm 1896, hầu hết các tác phẩm của Fermat được ấn hành thành 4 tập dày. Qua đó, người đời vô cùng ngạc nhiên và khâm phục trước sức đóng góp dồi dào của ông. Chính ông là người sáng lập lý thuyết số hiện đại, trong đó có 2 định lý nổi bật: định lý nhỏ Fermat và định lý lớn Fermat.
Trong hình học, ông phát triển phương pháp tọa độ, lập phương trình đường thẳng và các đường cong bậc hai rồi chứng minh rằng các đường cong nọ chính là các thiết diện cônic. Trong giải tích, ông nêu các quy tắc lấy đạo hàm của hàm mũ với số mũ tỷ bất kỳ, tìm cực trị, tính tích phân những hàm mũ với số mũ phân số và số mũ âm. Nguyên lý Fermat về truyền sáng lại là một định luật quan trọng của quang học.
Dù hoạt động khoa học kiên trì và giàu nhiệt huyết, đem lại nhiều thành quả to lớn như vậy, nhưng éo le thay, Pierre de Fermat bình sinh chẳng thể lấy việc nghiên cứu toán làm nghề chính thức.

[bachhammer]

 Fermat là một trong số ít những nhà toán học nghiệp dư nhưng ko được gọi là nghiệp dư. Fermat tên thật là Pierre Fermat, sinh ngày 20 tháng 8 năm 1601 ở Beaumont-de-Lomagne thuộc vùng Tây Nam nước Pháp. Cha của ông - Dominique Fermat, là một thương nhân buốn bán da rất giàu có. Chính vì thế mà Fermat được thừa hưởng một nền giáo dục ưu đãi tại tu viện dòng Francisco ở Grandselve, sau đó chuyển qua học tại trường Đại học Tổng Hợp Toulouse. Không có một chứng tích nào cho thấy Fermat có biểu hiện đặc biệt với Toán học. Năm 1631, ông được bổ nhiệm làm luật sư của Phòng Thỉnh Cầu thuộc Pháp viện Toulouse. Năm 1652, một trận dịch đã khiến Fermat suýt chết. Sau đó ko lâu, Ông đã từ bỏ chính trị và quay hướng sang làm toán. Fermat là một học giả nghiệp dư đích thực. Ông được mệnh danh là "Ông Hoàng của những người nghiệp dư". Trong những thư từ trao đổi với các nhà toán học, ông luôn viết những phát biểu cho định lí mới nhất của mình, nhưng ko gửi kèm chứng minh. Và ông thách thức họ tìm ra chứng minh đó. Việc ông ko bao giờ tiết lộ chứng minh của mình cho mọi người biết khiến họ rất bực mình. Rene Descartes đã gọi Fermat là "thằng cha khoác lác", còn John Wallis thì gọi ông là "gã người Pháp chết tiệt". Khi Blaise Pascal ép ông công bố chứng minh, nhà toán học đã nói: "Bất cứ công trình nào của tôi cũng xứng đáng được công bố, nhưng tôi không muốn tên tôi xuất hiện ở đó.". Ông là một người ưa bí mật, ông sẵn sàng hy sinh danh tiếng của mình để miễn là ko bị quấy rầy bởi những câu hỏi vụn vặt của những người phê bình.

(Các câu chuyện và các bài toán về ông sẽ tiếp tục được đăng lên trong một vài dịp khác (ko lâu đâu...))

TO BE CONTINUE......

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 18-08-2013 - 13:19

[E. Galois]

Hôm nay, 17/08 là kỉ niệm ngày sinh Fermat

Pierre de Fermat sinh ngày 17 tháng 8 năm 1601 tại Pháp, ông mất lúc 63 tuổi, vào năm 1665. Fermat là một học giả vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và là cha đẻ của lý thuyết số hiện đại.

 Fermat xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án nhưng lại vô cùng say mê toán học với thói quen nổi tiếng là ghi các ghi chú bên lề các quyển sách.

Ông vừa là một luật sư, vừa là một nhà toán học đã đóng góp nhiều vào sự phát triển bước đầu của toán học. Đặc biệt, ông được nhớ đến qua sự khám phá một phương pháp đầu tiên để tìm cực đại và cực tiểu của tung độ của đường cong. Ông cũng nghiên cứu về lý thuyết số và có nhiều đóng góp trong các lảnh vực hình học giải tích, xác suất và quang học.

Người ta biết đến Fermat không phải là một nhà toán học mà là một luật sư.

Định lý cuối cùng của Fermat được nghĩ ra năm 1637 khi Fermat nghiên cứu quyển sách toán cổ Hy lạp Arithmetica, viết bởi Diophantus vào khoảng năm 250 AD. Trang sách đã gợi ý cho Fermat bàn về các tính chất quanh định lý Pythagore, có đại ý là:

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng số bình phương của hai cạnh góc vuông.

Nói khác đi, phương trình $x^2+y^2=z^2^$ có vô số lời giải và từ đó sẽ tìm được bộ 3 số Pythagore.

Từ định lý Pythagore, Fermat đã tìm xem có 3 số nguyên $x, y, z$ nào thỏa cho một phương trình như phương trình của Pythagore nhưng ở bậc cao hơn hay không $x^n+y^n=z^n$ Nhưng đều thất bại. Theo Fermat thì phương trình này với 3 ẩn số nguyên $x, y, z$ và $n > 2$ không thể giải được.

Ông đã viết điều này bên lề quyển Arithmetica đại khái như sau:

Không thể nào tách một số lập phương thành tổng số của hai số lập phương khác, hay một số tứ phương thành tổng số của hai số tứ phương khác.

Một cách tổng quát:

Không thể tách rời bất kỳ lũy thừa bậc lớn hơn hai nào của một số nguyên thành hai lũy thừa cùng bậc của hai số nguyên khác.

và ông còn viết thêm:

Tôi đã tìm được một chứng minh tuyệt vời cho mệnh đề này nhưng lề của quyền sách này không đủ chỗ để viết.

Định lý này của Fermat đã gây cảm hứng cho nhiều thế hệ tiếp theo, không những cho các nhà toán học mà còn cho cả những người hiếu kỳ muốn thử tài mình. Người thì tìm cách chứng minh định lý đó đúng, người thì tìm cách chứng minh định lý đó sai. Các trường hợp $n = 3$ và $5$ đã được Euler, Dirichlet và Legendre chứng minh năm 1825 và phải đến 15 năm sau, trường hợp $n = 7$ mới được Gabriel Lamé chứng minh.

Một điều không may là các chứng minh đó tương đối dài và khó mà suy rộng đến trường hợp tổng quát. Mặc dầu được gọi là định lý nhưng mệnh đề mà Fermat nêu lên chưa được chứng minh đúng một cách tổng quát.

Sở dĩ định lý này được gọi là "Định lý cuối cùng của Fermat" vì tất cả những mệnh đề toán học mà Fermat nêu lên đều đã được chứng minh, trừ mệnh đề này!

Năm 1823 và 1850, Hàn lâm viện Khoa học Pháp treo hai giải thưởng cho một lời giải đúng của định lý. Một giải thưởng thứ ba do Hàn lâm viện Brussels đề nghị năm 1883 và năm 1908, nhà toán học tài tử Paul Friedrich Wolfskehl tặng 100,000 Mác cho Hàn lâm viện Khoa học Göttingen để làm giải thưởng.

Sau đó thì cả ngàn lời giải đã được gởi đến các Hàn lâm viện trong khoảng thời gian từ 1908 đến 1911, nhưng tất cả đều sai!

Theo thời gian, có rất nhiều công trình đã được thực hiện để cố chứng minh định lý sau cùng của Fermat, nhưng tất cả những chứng minh nầy đều được khám phá là sai. Càng cố gắng bao nhiêu, các nhà toán học càng thất vọng bấy nhiêu và một chứng minh được chấp nhận càng xa vời.

Nhà toán học người Đức Ernst Kummer đã chứng minh định lý này là đúng với mọi số nguyên tố tới 100 (trừ 3 Số nguyên tố phi chính quy là 37, 59, 67).

Cuối cùng nó được chứng minh bởi Andrew Wiles năm 1993 sau gần 8 năm ròng nghiên cứu, phát triển chứng minh các giả thiết có liên quan. Mãi đến tháng 8 năm 1995 hội thảo ở Đại học Boston, giới toán học công nhận chứng minh là đúng. (Xem thêm hành trình chứng minh định lý lớn Fermat từ Wikipedia)

Helen G. Grundman, giáo sư toán trường Bryn Mawr College, đánh giá tình hình của cách chứng minh đó như sau:

"Tôi nghĩ là ta có thể nói, vâng, các nhà toán học hiện nay đã bằng lòng với cách chứng minh Định lý lớn Fermat đó. Tuy nhiên, một số sẽ cho là chứng minh đó của một mình Wiles mà thôi. Thật ra chứng minh đó là công trình của nhiều người. Wiles đã có đóng góp đáng kể và là người kết hợp các công trình lại với nhau thành cái mà ông đã nghĩ là một cách chứng minh. Mặc dù cố gắng khởi đầu của ông được phát hiện sau đó là có sai lầm, Wiles và người phụ tá Richard Taylor đã sửa lại được, và nay đó là cái mà ta tin là cách chứng minh đúng Định lý lớn Fermat."

"Chứng minh mà ta biết hiện nay đòi hỏi sự phát triển của cả một lãnh vực toán học chưa đuợc biết tới vào thời Fermat. Bản thân định lý được phát biểu rất dễ dàng và vì vậy xem ra có vẻ đơn giản một cách giả tạo; bạn không cần biết rất nhiều về toán để hiểu bài toán. Tuy nhiên, để rồi nhận ra rằng, theo kiến thức tốt nhất của bạn, cần phải biết rất nhiều về toán mới có thể giải được nó. Vẫn là một câu hỏi chưa có lời đáp rằng liệu có hay không một cách chứng minh Định lý lớn Fermat mà chỉ liên quan tới toán học và các phương pháp đã có vào thời Fermat. Chúng ta không có cách nào trả lời trừ phi ai đó tìm ra một chứng minh như vậy." (Wikipedia).

 

 

 

[bachhammer]

TIẾP THEO...
Ông có rất nhiều bài toán và định lí khá lí thú, mình sẽ lần lượt giới thiệu hết về chúng (chắc ko thể hết nổi... ):
ĐỊNH LÍ FERMAT NHỎ:

Không một học sinh nào có thể không biết đến định lí Fermat, nhất là các học sinh có đam mê toán học.... Định lí đó được phát biểu như sau:
"Cho a là một số nguyên, p là một số nguyên tố thoả mãn $(a,p)=1$ thì ta luôn có: $a^{p-1}-1\vdots p$."
Hay ta cũng có thể dịch sang ngôn ngữ đồng dư là $a^{p-1}\equiv 1(modp)$.
Và một dạng phát biểu tổng quát hơn: "Cho a là một số nguyên, p là số nguyên tố, ta luôn có: $a^{p}-a\vdots p$ hay $a^{p}\equiv a(modp)$.
Mình xin được đưa một hướng chứng minh ko quá dài (chứng minh bài toán ở trên cùng):
Hướng chứng minh: Ta thấy 1, 2, ..., p là một hệ thặng dư đầy đủ theo modulo p. Dễ chứng minh được vì (a, p)=1 nên 1a, 2a, ... , pa cũng tạo thành một hệ thặng dư đầy đủ theo modulo p. Khi đó ta có: Xét hai tập 1, 2,..., p - 1 (1) và 1a, 2a, ..., (p - 1)a (2). Ứng với một phần tử i thuộc tập (1) luôn xác định được duy nhất một phần tử j thuộc tập (2) sao cho $i\equiv j(modp)$ (cái này dễ chứng minh). Từ đó ta có: $\prod _{i=1}^{p-1}(ia)\equiv \prod _{i=1}^{p-1}i(modp)\Leftrightarrow a^{p-1}\equiv 1(modp)$$\prod _{i=1}^{p-1}(ia)\equiv \prod _{i=1}^{p-1}i(modp)\Leftrightarrow a^{p-1}\equiv 1(modp)$ (đpcm).
Việc chứng minh bài toán tổng quát bên dưới thì ta chỉ cần lặp luận thêm hai dòng: Nếu $a\vdots p$ thì ta có ngay đpcm. Nếu a không chia hết cho p thì ta thấy $(a,p)=1$ nên theo định lí trên ta có đpcm....
Định lí Fermat là một ứng dụng khá đẹp để giải quyết nhiều bài toán số học ...Có một định lí khá nổi tiếng và cũng là tổng quát cho định lí Fermat, đó là định lí Euler, tuy nhiên ở đây ta ko đề cập đến.
Có thể nói định lí Fermat đã khai sáng cho nhiều bài toán vốn bế tắc mà nay lại giải được...
HY VỌNG VỚI NHỮNG NGƯỞI ĐAM MÊ TOÁN HỌC, ĐỊNH LÍ FERMAT SẼ KHÔNG BÀO GIỜ BỊ BỎ QUÊN...
TO BE CONTINUE.......


À, suýt nữa là quên, còn một chi tiết khá thú vị là người truyền cảm hứng số học cho Fermat chính là tiền bối - nhà toán học Diophante. Fermat luôn giữ bên mình cuốn "Số học" của Diophante như là một người bạn, chính người bạn này đã khiến ông hứng thú với Lý thuyết số và dành cả cuộc đời mình cho Lý thuyết số...

Chắc các bạn sẽ không thể không biết đến bài toán tính tuổi của Diophante (thôi bỏ qua nhé!!! )...
ĐỊNH LÍ VỀ SỰ PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNG CỦA CÁC SỐ NGUYÊN TỐ:
Đây là một định lí khá thú vị , chắc cũng không nhiều bạn biết về định lí này, nhân đây mình xin giới thiệu. Trước hết xin nói về số nguyên tố. Số nguyên tố là một số chỉ có ước là 1 và chính nó. Ta đã biết rằng số nguyên tố có thể được chia thành hai dạng: 4n - 1 và 4n + 1. Và định lí đó được phát biểu như sau: "Tất cả các số nguyên tố có dạng 4n + 1 luôn có thể được phân tích thành tổng bình phương của hai số nguyên dương, còn nhóm còn lại thì không thể phân tích được như vậy".
--------------
--------------
Ta có thể lấy ngay một ví dụ, đó là số 13 (có dạng 4n + 1) sẽ được phân tích thành $13=2^{2}+3^{2}$. Trong khi 19 (có dạng 4n - 1) không làm được điều đó.
Đây không phải là một định lí dễ dàng chứng minh như ta đã biết.... Trên thực tế chỉ có một người duy nhất và đầu tiên đã chứng minh thành công định lí này. Và đó chính là ... Euler.

Euler đã thử chứng minh các định lí (thực chất là các ghi chú tao nhã của Fermat trong cuốn "Số học" của Diophante vốn không có một lời gợi ý chứng minh).
Euler đã dành 6 năm nghiên cứu kể từ khi Fermat qua đời hơn 1 thế kỉ và kết thúc chứng minh vào năm 1749.
Có thể thấy đây không phải là một bài toán dễ xơi,... có điều không đến nỗi kinh khủng như định lí Fermat lớn mà Thầy Thế đã đề cập ở trên. Tuy nhiên nó là một bài toán đẹp liên quan đến các con số.
Phạm vi các định lí của Fermat trải rộng từ định lí cơ bản đến những định lí đơn thuần chỉ có tính giải trí... Và thông thường định lí được phát biểu ở mức độ ngắn nhất có thể hiểu nổi và không có một lời gợi ý hay một chứng minh nào (có nhưng hơi bị ít... )...
HY VỌNG CÓ THỂ CÓ ĐƯỢC LỜI GIẢI ĐẸP HƠN TỪ CÁC BẠN....

TO BE CONTINUE

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-08-2013 - 10:21