Chủ đề này có 3 trả lời

[Ngô Văn Trung]

Bài 1: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC=10cm, CB=40cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AB, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K).
a. Chứng minh EC=MN.
b. Chứng minh MN là itếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K).
c. Tính MN
d. Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn.
Bài 2:Cho đường tròn (O;R) và (O';R') có R>R' tiếp xúc ngoài nhau tại C. Goi AC và BC là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O'). DE là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Goi giao điểm thứ hai của DC với đường tròn (O') là F. BD cắt (O') tại G. Chứng minh răng:
a. Tứ giác MDGC nội tiếp
b. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn
c. Tứ giác ADBE là hình thoi
d. B, E, F thẳng hàng
e. DF, EG, AB đồng quy
f. MF= 1/2 DE
g. MF là tiếp tuyến của (O')
Bài 3:Cho đường tròn (O) đường kinh AB = 6cm. Gọi H là điểm nằm giữa A và B sao cho AH=1cm. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại C và D. Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M. Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB (N thuộc đường thẳng AB)
a. Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp
b. Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tgABC
c. Chứng minh CN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC ở E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kinh AB = 6cm. Gọi H là điểm nằm giữa A và B sao cho AH=1cm. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại C và D. Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M. Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB (N thuộc đường thẳng AB)
a. Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp
b. Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tgABC
c. Chứng minh CN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC ở E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.
Giải :

a, Ta có :
$ \widehat{ACB} = 90^o $ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ).
$ \Rightarrow \widehat{ACM} = 90^o$
Mặt khác : $ \widehat{MNA} = 90^o $ ( giả thiết ).
$ \Rightarrow $ Tứ giác MNAC có : $ \widehat{ACM} + \widehat{MNA} = 90^o + 90^o = 180^o $
$ \Rightarrow $ Tứ giác MNAC nội tiếp ( tổng hai góc đối bằng 180 độ )
b, Ta có : $ AH = 1 (cm) \Rightarrow BH = 5 (cm)$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB, ta có :
$ CH^2 = AH.HB = 1.5 = 5 \Rightarrow CH = \sqrt{5} ( CH \geq 0 ) $
Trong tam giác vuông CHB có : $ \tg{\widehat{ABC}} = \dfrac{CH}{BH} = \dfrac{\sqrt{5}}{5} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$
c, Ta thấy :
$ \widehat{MAN} = \widehat{DAB }$ ( đối đỉnh )
$ \widehat{DAB} = \widehat{DCB}$ ( Tứ giác DACB nội tiếp )
$ \Rightarow \widehat{MAN} = \widehat{DCB}$
$ \Rightarrow \widehat{NMA} =\widehat{ABC } $ (1)
- Tứ giác MNAC nội tiếp ( câu a ) : $ \Rightarrow \widehat{NMA} = \widehat{NCA}$ (2)
- $ \Delta $ OAC cân tại O $ \Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{OCB} $ (3)
Từ (1) ; (2) và (3) $ \Rightarow \widehat{NCA} = \widehat{OCB} \Rightarrow \widehat{OCB} + \widehat{ACO} = \widehat{NCA} + \widehat{ACO} \Rightarrow \widehat{ACB} = \widehat{NCO}$
Mà $ \widehat{ACB} = 90^o \Righatrrow \widehat{NCO} = 90^o$
$ \Righatrow $ NC là tiếp tuyến đường tròn (O).
d, Gọi K là giao điểm của AE với MB, I là giao điểm của EB với CH.
Dễ dàng chứng minh được EC = EA ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau - 2 tiếp tuyến AK và CN ) $ \Rightarrow \widehat{ECA} = \widehat{EAC} $
Trong tam giác vuông KCA , ta có :
$ \widehat{ECA} = \widehat{EAC} \Rightarrow \widehat{AKC} = \widehat{ECK }$ ( phụ với 2 góc bằng nhau).
$ \Rightarrow $ Tam giác KCE cân tại E $ \Rightarrow CE = KE $
Từ và (*) $ \Rightarrow EA = EK ( = EC ) $
Dễ thấy $ CH // AK $ ( cùng vuông góc với AB )
Ta có :
$ CI // KE \Rightarrow \dfrac{BI}{BE} = \dfrac{CI}{KE}$ ( Định lý Talets )
$ IH // EA \Rightarrow \dfrac{BI}{BE} = \dfrac{HI}{AE}$ ( Định lý Talets )
$ \Rightarrow \dfrac{CI}{KE} = \dfrac{HI}{EA}$
Mà EA = KE $ \Rightarrow CI = IH $
$ \Rightarrow $ I là trung điểm CH hay EB đi qua trung điểm CH.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 12-06-2011 - 11:33

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC=10cm, CB=40cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K).
a. Chứng minh EC=MN.
b. Chứng minh MN là itếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K).
c. Tính MN
d. Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn.
Giải :

a, Ta có :
- $\widehat{AMC} = 90^o$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I)).
$ \Rightarrow \widehat{EMC} = 90^o$
- $\widehat{CNB} = 90^o$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (K)).
$ \Rightarrow \widehat{ENC} = 90^o$
- $\widehat{AEB} = 90^o$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Tứ giác EMCN có : $ \widehat{EMC} = \widehat{ENC} =\widehat{AEB} = 90^o \Rightarrow $ EMCN là hình chữ nhật $ \Rightarrow MN = EC $.
b, Do EMCN là hình chữ nhật :
$ \Rightarrow \widehat{MEC} = \widehat{MNC} = \widehat{ECN} = \widehat{EMN}$
Ta có : $ \widehat{ACM} = \widehat{AEC} $ ( cùng phụ $ \widehat{EAC} $) $ \Righatrrow \widehat{ACM} = \widehat{EMN}$
Mặt khác : $ \Delta ICM $ cân tại I $ \Rightarrow \widehat{ACM} = \widehat{IMC} $
$ \Rightarrow \widehat{IMC} = \widehat{EMN} \Rightarrow \widehat{IMC} + \widehat{CMN} = \widehat{EMN} + \widehat{CMN} \Rightarrow \widehat{IMN} = \widehat{EMC }$
Mà $ \widehat{EMC} = 90^o \Rightarrow \widehat{IMN} = 90^o$
$ \Rightarrow $ MN là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Tương tự với đường tròn (K).
c, Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AEB, ta có :
$ EC^2 = AC = BC = 10.40 = 400 (cm) \Rightarrow EC = 20 (cm) ( EC > 0 )$
Mặt khác MN = EC ( theo câu a )
$ \Rightarrow MN = 20 (cm) $
d, Dễ dàng tính được bán kính của các đường tròn tâm (O); (I); (K) lần lượt là $ r_{(O)} = 25; r_{(I)} = 5 ; r_{(K)} = 20 $
Diện tích đường tròn tâm O là :
$ S _{(O)} = r_{(O)}^2. \pi = 25^2.\pi = 625 \pi ( cm^2)$
Diện tích đường tròn tâm I là :
$ S _{(I)} = r_{(I)}^2. \pi = 5^2.\pi = 25 \pi (cm^2) $
Diện tích đường tròn tâm K là :
$ S _{(K)} = r_{(K)}^2. \pi = 20^2.\pi = 400 \pi ( cm^2) $
Vậy diện tích hình được giới hạn bởi 3 nửa đường tròn là :
$ S = S _{(O)} - ( S _{(I)} +S _{(K)} ) = 200\pi ( cm^2) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 12-06-2011 - 11:25

[perfectstrong]

Bài 2:

a)$\angle DMC+\angle DGC=180^o \Rightarrow Q.E.D$
b)$\angle DMB=\angle DFB \Rightarrow Q.E.D$
c) AEBD có 2 đường chéo vuông góc nhau tại trung điểm mỗi đường nên ta có đpcm.
d)$\angle GBF=\angle DCG=\angle DAE=\angle DBE \Rightarrow Q.E.D$
e)Cần cm E,C,G thẳng hàng.
Thực vậy, CG DB.
Lại có C là trực tâm DEB nên EC BD đpcm.
f)$\angle MFO'=\angle MFC+\angle CFO'=\angle MDC+\angle FCO'=\angle MDC+\angle MCD=90^o \Rightarrow Q.E.D$