Cho $(u_n)$ tm
u_1 = 2011
$u_{n+1} = \dfrac{2011u_n(1+{u_n}^2)}{2011{u_n}^2-u_n+2011} (n \ge 2) $
tìm $ lim(\dfrac{1}{n}.\sum\limit_{i=1}^n \dfrac{{u_i}^2}{1+{u_i}^2}) $
Xin lỗi mình khôn đánh được hệ ptrình
Dễ dàng chứng minh được đây là dãy tăng và không bị chặn trên , do đó :
$\mathop {\lim u(n)}\limits_{n \to + \infty } = + \infty $
Ta có :
${u_{n + 1}} = \dfrac{{2011{u_n}(1 + {u_n}^2)}}{{2011{u_n}^2 - {u_n} + 2011}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {u_n}^2}} = 2011\left( {\dfrac{1}{{{u_n}}} - \dfrac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)$
Vậy:
$\dfrac{1}{n}.\sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{{u_i}^2}}{{1 + {u_i}^2}}} = \dfrac{1}{n}\left( {n - \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{1 + {u_i}^2}}} } \right) = \dfrac{1}{n}\left( {n - 2011\left( {\dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)} \right)$
đến đây thì công việc tính giới hạn quá đơn giản
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 14-06-2011 - 22:17