Đến nội dung

Hình ảnh

Dãy số 11 khó nhai

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Bui Quang Dong

Bui Quang Dong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
Cho $(u_n)$ tm

u_1 = 2011
$u_{n+1} = \dfrac{2011u_n(1+{u_n}^2)}{2011{u_n}^2-u_n+2011} (n \ge 2) $

tìm $ lim(\dfrac{1}{n}.\sum\limit_{i=1}^n \dfrac{{u_i}^2}{1+{u_i}^2}) $
Xin lỗi mình khôn đánh được hệ ptrình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Quang Dong: 14-06-2011 - 21:54

Thôi.

Vì Đại Học
Ta quyết chiến
Không có con đường nào khác con đường cách mạng
I LOVE MATH

#2
truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết

Cho $(u_n)$ tm

u_1 = 2011
$u_{n+1} = \dfrac{2011u_n(1+{u_n}^2)}{2011{u_n}^2-u_n+2011} (n \ge 2) $

tìm $ lim(\dfrac{1}{n}.\sum\limit_{i=1}^n \dfrac{{u_i}^2}{1+{u_i}^2}) $
Xin lỗi mình khôn đánh được hệ ptrình


Dễ dàng chứng minh được đây là dãy tăng và không bị chặn trên , do đó :

$\mathop {\lim u(n)}\limits_{n \to + \infty } = + \infty $

Ta có :

${u_{n + 1}} = \dfrac{{2011{u_n}(1 + {u_n}^2)}}{{2011{u_n}^2 - {u_n} + 2011}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {u_n}^2}} = 2011\left( {\dfrac{1}{{{u_n}}} - \dfrac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)$

Vậy:

$\dfrac{1}{n}.\sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{{u_i}^2}}{{1 + {u_i}^2}}} = \dfrac{1}{n}\left( {n - \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{1 + {u_i}^2}}} } \right) = \dfrac{1}{n}\left( {n - 2011\left( {\dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)} \right)$

đến đây thì công việc tính giới hạn quá đơn giản

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 14-06-2011 - 22:17


#3
Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Dễ dàng chứng minh được đây là dãy tăng và không bị chặn trên , do đó :

$\mathop {\lim u(n)}\limits_{n \to + \infty } = + \infty $

Ta có :

${u_{n + 1}} = \dfrac{{2011{u_n}(1 + {u_n}^2)}}{{2011{u_n}^2 - {u_n} + 2011}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {u_n}^2}} = 2011\left( {\dfrac{1}{{{u_n}}} - \dfrac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)$

Vậy:

$\dfrac{1}{n}.\sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{{u_i}^2}}{{1 + {u_i}^2}}} = \dfrac{1}{n}\left( {n - \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{1 + {u_i}^2}}} } \right) = \dfrac{1}{n}\left( {n - 2011\left( {\dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)} \right)$

đến đây thì công việc tính giới hạn quá đơn giản

Chưa kịp post thì có người post rùi. mà cho tớ hỏi phần chứng minh $ (u_n) $ không bị chặn trên bằng cách nào nhỉ ? tớ hơi mơ hồ phần này .

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#4
truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết

Chưa kịp post thì có người post rùi. mà cho tớ hỏi phần chứng minh $ (u_n) $ không bị chặn trên bằng cách nào nhỉ ? tớ hơi mơ hồ phần này .


dễ thấy :

${u_{n + 1}} - {u_n} > 0$ với mọi n :) 2 nên đây là dãy tăng

giả sử :

$\begin{array}{l}\mathop {\lim u(n)}\limits_{n \to + \infty } = a \Rightarrow a \ge 2011\\\\\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_{n + 1}}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left({\dfrac{{2011{u_n}(1 + {u_n}^2)}}{{2011{u_n}^2 - {u_n} + 2011}}} \right) \Rightarrow a = \dfrac{{2011a(1 + a^2)}}{{2011{a^2} - a + 2011}}\end{array}$

Pt này không có nghiệm thỏa a :sqrt{a} 2011 , vậy dãy không bị chặn trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 14-06-2011 - 23:07





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh