Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh giúp các bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Hoang_kang

Hoang_kang

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
1/ Cho $x,y \geq 0; x+y \leq 4; 3x+y \leq 6$. Tìm $\max P= 9\sqrt[3]{x} + 4\sqrt{y}$
2/ $a,b,c > 0,a+b+c=1$. Tìm $\max P=\dfrac{ab}{1+c} + \dfrac{bc}{1+a}+\dfrac{ca}{1+b}$
3/$ a^2+b^2+c^2=1$. CMR $\dfrac{a}{b^2+c^2} + \dfrac{b}{c^2+a^2} + \dfrac{c}{a^2+b^2} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-06-2011 - 08:58
Học gõ Latex trong bài viết


#2
Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Câu 2 :
$a,b,c >0 $ và $ a^2+b^2+c^2 =1 $ CMR :
$ \dfrac {a}{b^2+c^2}+ \dfrac {b}{a^2+c^2}+ \dfrac {c}{b^2+a^2} \geq \dfrac {3\sqrt{3}}{2} $

Ta sẽ cm :
$ \dfrac {a}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{1-a^2} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 (1) $
Thật vậy :
$ (1) \leftrightarrow (a-\dfrac{1}{\sqrt{3}} )^2(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}x+3} )\geq 0 $ (Luôn đúng)
Vậy :
$ \sum \dfrac {a}{b^2+c^2} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} $
Dấu ''='' xảy ra khi $ a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 17-06-2011 - 09:03

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#3
zone

zone

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết

Ta sẽ cm :
$ \dfrac {a}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{1-a^2} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 (1) $
Thật vậy :
$ (1) \leftrightarrow (a-\dfrac{1}{\sqrt{3}} )^2(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}x+3} )\geq 0 $ (Luôn đúng)
Vậy :
$ \sum \dfrac {a}{b^2+c^2} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} $
Dấu ''='' xảy ra khi $ a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}} $

Bài của Lâm hay đấy
$ \dfrac {a}{1-a^{2}} =\dfrac{a^{2}}{a(1-a^{2}} $
Áp dụng bất Caushy cho 3 số có
$2a^{2}(1-a^{2})(1-a^{2}) \leq \dfrac{8}{27}$
$ \Rightarrow \dfrac {a^{2}}{a(1-a^{2}} \geq \dfrac {3 \sqrt{3} a^{2}}{2} $
Từ đó cũng suy ra được điều phải chứng minh. :lol: :lol: :D

#4
hoangduc

hoangduc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
Làm bài 2.
$P= \dfrac{ab}{a+c+b+c}+\dfrac{bc}{a+b+a+c}+\dfrac{ca}{b+a+b+c}$
$P\le \dfrac{1}{4}(\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c})$
$=\dfrac{1}{4}(\dfrac{ab+bc}{c+a}+\dfrac{ab+ca}{b+c}+\dfrac{bc+ca}{a+b})=\dfrac{1}{4}(a+b+c)=\dfrac{1}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$


Bài 1 thấy nó kì kì sao ấy. Nếu cho $P=9\sqrt[3]{x}+4\sqrt{3y} $ thì mình giải được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangduc: 19-06-2011 - 20:55

----------------------------------------------------

HỌC, HỌC NỮA, HỌC MÃI




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh