Chủ đề này có 21 trả lời

[vietfrog]

Mình đang ôn về phần hệ phương trình. Mong mọi người post bài lên giúp đỡ nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 19-06-2011 - 13:48

[vietfrog]

Mình đang ôn về phần hệ phương trình. Mong mọi người post bài lên giúp đỡ nhé.

Đầu tiên
Bài 1: Giải hệ
$\left\{ \begin{array}{l}1 + {x^3}{y^3} = 19{x^3}\\y(1 + xy) = - 6{x^2}\end{array} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 19-06-2011 - 14:07

[h.vuong_pdl]

Dạng hệ này, ta có 2 hướng xử lí rất tự nhiên.

Trước hết, có 1 thao tác cần làm là xét x = 0 rồi x 0 sau đó nhân thêm y vào phương trình sau, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}1+x^3y^3=19x^3\\xy(1+xy)=-6x^3\end{array}\right.$

Giờ ta mới bàn đến hướng giải quyết

Hướng 1: rất dễ nghĩ đến, đó là đặt t = xy rồi chỉ việc nhân trên với 6, dưới với 19 rồi cộng lại nhằm đưa về phương trình chỉ chứa ẩn t.

Việc giải phương trình bậc 3 ẩn t cho ta 1 nghiệm đẹp và 2 nghiệm không được đẹp lắm. Chính vì vạy cách này vẫn giải được nhưng khá xấu 1 tí.

Hướng 2: Hình như là đi trúng hướng của người ra đề ( và theo mình thấy thì hầu như những bài dạng này đều chém đc ).

Hãy để ý: $(1+a)^3 = 1+a^3+3a(1+a)$ và quan sát 1 lần nữa cái hệ sau của chúng ta.

Như vậy chỉ cẩn nhân 3 vào phương trình sau rồi cộng theo vế ta thu đươc:L

$(1+xy)^3=x^3$ ( con số $x^3$ xuất hiện chính là cái "đúng hướng người ra đề" mà mình nghĩ )

Đến đây thì công việc dễ dàng hơn rồi, và dù có nghiệm xấu khi giải pt bậc 3 thì cũng ra kết quả của x, hay y luôn, không p[hải là t= xy như trên .

[h.vuong_pdl]

Mình cũng đang nghiên cứu về hệ phương trình, vì vậy rất vui khi các bạn có những topic như thế này.

Mình không góp vui thêm được bài nào cả .

Tuy nhiên, qua quá trình học tập + sưu tầm, mình post thêm các bài thuộc cùng dạng này để các bạn thử và ngẫm lại những ý kiến mình viết trên:

$\textup{vd 1 : }\left\{\begin{array}{l} 8x^3y^3+27=18y^3\\.\\4x^2y+6x=y^2\end{array}\right.$

$\textup{ vd 2 : } \left\{\begin{array}{l}9y^3\left(3x^3-1\right)=-125\\.\\45x^2y+75x=6y^2\end{array}\right.$



p/s: rất mong các bạn post và trao đổi thêm về những dạng hệ phương trình mới .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 19-06-2011 - 16:37

[vietfrog]

Cảm ơn bạn đã ủng hộ topic này.
Ngoài 2 cách của bạn, mình có một cách khác. Mình sẽ dùng pp Chia(tên rất chuối)
TH1: Ta xét y=0 suy ra vô lý
TH2:
Chia 2 vế pt thứ nhất cho y³, chia 2 vế pt 2 cho y². Ta được hệ:$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{y^3}}} + {x^3} = 19{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^3}\\\dfrac{1}{y} + x = - 6{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2}\end{array} \right.$
Đến đây ta đặt :$x + \dfrac{1}{y} = t\ và \dfrac{x}{y} = v$
Ta được hệ mới :
$\left\{ \begin{array}{l}{t^3} - 3vt = 19{v^3}\\t = - 6{v^2}\end{array} \right.$
Ta thế lên ta được PT bậc 2 ẩn ${v^3}$
Thế là ok rồi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 19-06-2011 - 17:26

[vietfrog]

Mình cũng đang nghiên cứu về hệ phương trình, vì vậy rất vui khi các bạn có những topic như thế này.

Mình không góp vui thêm được bài nào cả .

Tuy nhiên, qua quá trình học tập + sưu tầm, mình post thêm các bài thuộc cùng dạng này để các bạn thử và ngẫm lại những ý kiến mình viết trên:

$\textup{vd 1 : }\left\{\begin{array}{l} 8x^3y^3+27=18y^3\\.\\4x^2y+6x=y^2\end{array}\right.$

$\textup{ vd 2 : } \left\{\begin{array}{l}9y^3\left(3x^3-1\right)=-125\\.\\45x^2y+75x=6y^2\end{array}\right.$
p/s: rất mong các bạn post và trao đổi thêm về những dạng hệ phương trình mới .

Mình xin giải VD1 của bạn, dùng ý tưởng chia của mình ở trên nhé!
TH1: Xét x=0 suy ra vô nghiệm
TH2: Xét x #0
Ta chia 2 vế pt 1 cho x³ và chia 2 vế pt 2 cho x² .
Ta được hệ mới như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2y} \right)^3} + {\left( {\dfrac{3}{x}} \right)^3} = 18{\left( {\dfrac{y}{x}} \right)^3}\\4y + \dfrac{6}{x} = {\left( {\dfrac{y}{x}} \right)^2}\end{array} \right.$
Đơn giản ta đặt :
$(2y + \dfrac{3}{x}) = t$ và $\dfrac{y}{x} = v$
Ta được hệ mới :
$\left\{ \begin{array}{l}{t^3} - 3vt = {v^3}\\2t = {v^2}\end{array} \right.$
Thế PT dưới lên PT trên ta được 1 PT bậc 2 ẩn v³
Đến đây chắc ok!
Mọi người thấy sao?? Phương pháp chia(chuối)!

VD 2 của hvuong thì hoàn toàn tương tự
Ta chia 2 vế PT 1 cho y³ và 2 vế PT 2 cho y²
Việc còn lại hoàn toàn đơn giản khi ta có 1 PT bậc 2.
PP chia này có vẻ hợp với dạng bài của hvuong vì nó đưa về một PT bậc 2.
Ai có bài post tiếp nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 19-06-2011 - 19:38

[vietfrog]

Mình xin post 2 bài hệ cũng tương đối khó lên cho mọi người trao đổi với mình
Bài 1:
$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {3x} .(1 + \dfrac{1}{{x + y}}) = 2\\\sqrt {7y} .(1 - \dfrac{1}{{x + y}}) = 4\sqrt 2 \end{array} \right.$
Bài 2:
$\left\{ \begin{array}{l}(4 + \dfrac{1}{{y + 2x}})\sqrt x = 2\sqrt 3 \\(4 - \dfrac{1}{{y + 2x}})\sqrt y = 4\end{array} \right.$

[h.vuong_pdl]

Đây cũng là một dạng khá hay + thú vị, với 1 hướng nhân kết , sử dụng các kiến thức như:

tìm 2 số khi biết tổng hiệu, sau đó xài liên hợp nhằm tạo phương trình thuần nhất, đặt x=ty và giải.

Dạng + bài tập này cũng đã được thảo luận đâu dó trong box này. Tuy nhiên mình quên mất link rồi. đây chỉ là 1 ink thôi

[lipboy9x]

bài 1 là đề thi quốc gia năm nào đó của Trung Quốc

[caubeyeutoan2302]

Dạng hệ ở bài 1, bài 2 là rất hay cái cốt lõi phải thấy xài lượng liên hiệp ở đây, rồi vấn đề tiếp theo như anh h.vuong đã chỉ dẫn
Mình cũng xin post 1 bài tương tự như sau:
Bài 3:
$ \begin{cases} \sqrt{x}(1- \dfrac{12}{y+3x})=2 \\ \sqrt{y}(1+ \dfrac{12}{y+3x})=6 \end{cases} $
Đây là đề thi Quốc gia năm 2006-2007 , còn bài 1 là đề thi quốc gia 1996 , những bài này còn có cách giải khác là dùng số phức nữa

[vietfrog]

Đây cũng là một dạng khá hay + thú vị, với 1 hướng nhân kết , sử dụng các kiến thức như:

tìm 2 số khi biết tổng hiệu, sau đó xài liên hợp nhằm tạo phương trình thuần nhất, đặt x=ty và giải.

Dạng + bài tập này cũng đã được thảo luận đâu dó trong box này. Tuy nhiên mình quên mất link rồi. đây chỉ là 1 ink thôi

Thì ra đây cũng là một dạng.hay thiệt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 21-06-2011 - 12:12

[vietfrog]

Theo gợi ý của anh hvuong_pdl mình xin giải Bài 3 của caubeyeutoan cho mọi người ghé topic nắm được ý anh hvuong
$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\kern 1pt} \sqrt x (1 - \dfrac{{12}}{{y + 3x}}) = 2\\\sqrt y (1 + \dfrac{{12}}{{y + 3x}}) = 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \dfrac{{12}}{{y + 3x}} = \dfrac{2}{{\sqrt x }}\\1 + \dfrac{{12}}{{y + 3x}} = \dfrac{6}{{\sqrt y }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{3}{{\sqrt y }} = 1\\\dfrac{{12}}{{y + 3x}} = \dfrac{3}{{\sqrt y }} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{1}{x} - \dfrac{9}{y} = \dfrac{{12}}{{y + 3x}} \Leftrightarrow 3{x^2} + 10xy - {y^2} = 0\end{array}$
Đến đây được một PT đẳng cấp bậc 2.Thế là ok(không quên điều kiện nhé)
Anh hvuong_pdl pro kinh.Không biết anh tên gì, học lớp mấy để xưng hô cho tiện.Hì.Anh định dạng bài toán nhanh mà hay quá. Em cứ nghĩ bài này là bài không mẫu mực cơ. hì.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 22-06-2011 - 10:57

[devil_a1er]

Mình xin phép post 1 bài khá hay:
$\left\{ \begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + xy + \dfrac{3}{4. (x+y)^{2}} = \dfrac{85}{12} \\ 2x + \dfrac{1}{x+y} = \dfrac{13}{3} \end{array} \right. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi devil_a1er: 11-07-2011 - 16:06

[devil_a1er]

Còn em này thì mình chưa giải quyết được :
$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + \sqrt{ x^{2} + y^{2} } = 12 \\ y. \sqrt{ x^{2} - y^{2} } =12 \end{array} \right. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi devil_a1er: 11-07-2011 - 16:12

[vietfrog]

Mình xin phép post 1 bài khá hay:
$\left\{ \begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + xy + \dfrac{3}{4. (x+y)^{2}} = \dfrac{85}{12} \\ 2x + \dfrac{1}{x+y} = \dfrac{13}{3} \end{array} \right. $

Bài này cũng khá hay. Ta biến đổi hệ về dạng :
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{4}{(x + y)^2} + \dfrac{1}{4}{(x - y)^2} + \dfrac{3}{{4{{(x + y)}^2}}} = \dfrac{{85}}{{12}}\\(x + y) + (x - y) + \dfrac{1}{{x + y}} = \dfrac{{13}}{3}\end{array} \right.$
Đặt $\begin{array}{l}x + y + \dfrac{1}{{x + y}} = a\\x - y = b\end{array}$
Ta có hệ :
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{4}({a^2} - 2) + \dfrac{1}{4}{b^2} = \dfrac{{85}}{{12}}\\a + b = \dfrac{{13}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = \dfrac{{94}}{3}\\a + b = \dfrac{{13}}{3}\end{array} \right.$
Đến đây thì đơn giản rùi!

[h.vuong_pdl]

Tình ý trong quan sát + đặt cho ta những hệ đơn giản hơn. Thậm chí là những hệ quen thuộc như hệ đối xứng kiẻu I.

Bài trên, bạn vietfrog đã đặt, nhưng hệ cuối của chúng ta phải là:

$\left\{\begin{array}{l}3a^2+b^2=\dfrac{94}{3}\\a+b=\dfrac{13}{3}\end{array}\right.$

Tuy nhiên, hệ này cũng có thể nói là đơn giản rồi vì dễ dàng chuyển thầnh vệ đẳng cấp bậc 2 ẩn a, b để giải:

$\left(3a^2+b^2\right)\dfrac{169}{9} = (a+b)^2.\dfrac{94}{3}.$

P/s: các bạn hãy tiếp tục ý tường biến đổi + đặt với một số bài tpaaj mình thu thập được sau, bạn sẽ thấy rất thú vị:

$\textup{Vd 1: } \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 5 + 4x - 4y \\ 3x + xy - y = 15 \\ \end{array} \right.$

$\textup{vd 2 : } \left\{ \begin{array}{l} xy - 3x - 2y = 16 \\ {x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 33 \\ \end{array} \right.$

$\textup{vd 3: } \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 2{\rm{ (1)}} \\ 2{x^2} + 3xy - 2{y^2} + 3x + y = 7{\rm{ (2)}} \\ \end{array} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 12-07-2011 - 14:06

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Góp vui vậy :
$ \textup{Vd 1: } \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 5 + 4x - 4y \\ 3x + xy - y = 15 \\ \end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 + 4x - 4y-(x^2+y^2)=0 \\ 3x + xy - y = 15 \\ \end{array} \right. $
Nhân Pt 1 cho -1 và pt 2 cho 2 . Hệ thành :
$ \left\{ \begin{array}{l} -5 -4x +4y+(x^2+y^2)=0 \\ 6x + 2xy -2 y = 30 \\ \end{array} \right. $
Cộng 2 phương trình lại ta được
$ (x+y)^2+2(x+y)-35=0 $
Đến đây thì công việc còn lại khá đơn giản .

[zone]

vd 2:
Để ý pt 2 khiến ta nghĩ đến biến đổi thành tổng bình phương.
$ x^2+y^2-2x-4y+1+4=38$
$ (x-1)^2+(y-2)^2=38$
Thật là đẹp khi pt 1 cũng biến đổi thành tích của 2 thừa số mà mỗi thừa số là tổng của x và y với 1 số
$xy-2y-3x=16$
$ \Leftrightarrow (x-2)(y-3)=22$
Vậy đặt x-1=u; y-2=v
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}u^2+v^2=38\\(u-1)(v-1)=22\end{array}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}u^2+v^2=38\\-(u+v)+uv=21\end{array}\right.$
Và 1 câu nói quen thuộc mà em hay hỏi : Chắc đến đây là ổn?

[h.vuong_pdl]

@@@ Hoàng Lâm + zone: phương pháp của Hoàng Lâm là tìm hệ số nhân phân tích nhân tử. Bài giải rất ngắn gọn nhưng cái khó + vất vả của nó là tìm cho ra hệ số nhân -2. Có thể nói, nhân thêm ản t rồi giải khong hề ngắn gọn + đơn giản.

Vì vậy, nếu trong những TH mà có thể giải dược những hệ tương tự bằng pp khác thì chưa nên dùng pp của H.Lâm.

Hãy quan sát lơi giải của Zone xem. Một suy nghĩ khá tinh tế và không hề cứng nhắc.

Hyax thử dùng suy nghĩ đó để đên vs lời giải của bài vd 1 xem sao!

vd 3: có đến 3 cách giải hay + thú vị !

cùng suy nghĩ và bàn luận về vd này !

[devil_a1er]

$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{ x^{4} }{ y^{4} } - \dfrac{ y^{4} }{ x^{4} } - (\dfrac{ x^{2} }{ y^{2} } + \dfrac{ y^{2} }{ x^{2} }) + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} =-2 \\ x^{2} + y^{6} - 8x + 6 =0 \end{array} \right. $