Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoang_kang]

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2} + a\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganh_lms: 19-06-2011 - 21:13

[caubeyeutoan2302]

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2} + a\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right.$

Mình làm bài này :
Nhận xét: Nếu thay x bởi -x thì hệ không thay đổi.
Do vậy nếu hệ có nghiệm (x;y)=(a;b) thì cũng có nghiệm (x;y)=(-a;b)
Giả sử hệ có nghiệm duy nhất thì a=-a , suy ra a=0 , vậy x=0 thế vào tính toán ta nhận được y=1 hay y=-1. Từ đó tìm được a=0 hay a=2
Xét a=0 , hệ có dạng
$ \begin{cases} x^2=2^{|x|}+|x|-y \\ x^2+y^2=1 \end{cases} $ ( * )
Từ PT số 2 của hệ ( * ) ta có , $ -1 \le y \le 1 $ và $ 0 \le |x| \le 1 \Rightarrow |x|(1-|x|) \ge 0 $
Do đó từ PT số 1 của hệ ( * ) và các điều trên ta có $ y = 2^{|x|}+ |x|(1-|x|) \ge 2^0+0 =1$
Với các đánh giá trên ta có y=1 . Thay vào PT số 2 ta được x=0. Dễ thấy các nghiệm này thỏa hệ ban đầu nên với a=0 , hệ có nghiệm duy nhất
Với a=2 . Ta có hệ
$ \begin{cases} x^2=2^{|x|}+|x|-y-2 \\ x^2+y^2=1 \end{cases}$
Nhận thấy hệ có ít nhất 2 nghiệm là (x;y)=(0;-1) và (1;0) nên khi a=2 hệ không có nghiệm duy nhất
KL: a=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán