Chủ đề này có 3 trả lời

[zGenz]

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của$ M = x^{25} - 5x^5 + 5 ( x>0 )$
2) Cho$ 0<x<1; 0<y<2.$ Tìm giá trị lớn nhất của$ A = (1-x)(2-y)(4x+3y)$
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của $y = 2x + \dfrac{1}{x^2} ( x>0)$

Hết ạ ~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 20-06-2011 - 15:23

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1 :
Tìm GTNN của $ M = x^{25} - 5x^5 + 5 ( x > 0 ) $
Giải :
Đặt $ x^5 = a $
Vậy $ M = a^5 - 5a + 5 = a^5 - a^4 + a^4 - a^3 + a^3 - a^2 + a^2 - a - 4a + 4 + 1 $
$ M = a^4( a - 1 ) + a^3( a - 1 ) + a^2( a - 1 ) + a( a - 1 ) -4( a - 1 ) + 1 = ( a - 1 )(a^4 + a^3 + a^2 + a - 4 ) + 1$
Với $ a > 1 $
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a > 1\\a^4 + a^3 + a^2 + a > 1 + 1 + 1 + 1 = 4\end{array}\right. $
$ \Rightarrow M = ( a - 1 )(a^4 + a^3 + a^2 + a - 4 ) + 1 > 1$
Với $ 0 < a < 1 $
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a < 1\\a^4 + a^3 + a^2 + a < 1 + 1 + 1 + 1 = 4\end{array}\right. $
$ \Rightarrow M = ( a - 1 )(a^4 + a^3 + a^2 + a - 4 ) + 1 > 1$
Với $ a = 1 $
$\Rightarrow M = 1$
Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 1 khi $ a = 1 \Rightarrow x^5 = 1 \Rightarrow x = 1$
Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của $y = 2x + \dfrac{1}{x^2} ( x>0)$
Giải :
Ta có : $ y = 2x + \dfrac{1}{x^2} = x + x + \dfrac{1}{x^2} \geq 3\sqrt[3]{x.x.\dfrac{1}{x^2}} = 3 $ ( Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực dương )
Vậy GTNN của y là 3. Dấu " = " xảy ra khi $ x = x = \dfrac{1}{x^2} \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 20-06-2011 - 16:57

[l.kuzz.l]

$x^{25} = ( x^5)^2 $
Thê này là sao ???

[dark templar]

2) Cho$ 0<x<1; 0<y<2.$ Tìm giá trị lớn nhất của$ A = (1-x)(2-y)(4x+3y)$

Vui vui tí vậy
Ta có:
$12A=(4-4x)(6-3y)(4x+3y) \le\limits^{AM-GM} \left(\dfrac{4-4x+6-3y+4x+3y}{3} \right)^3=\left(\dfrac{10}{3} \right)^3$
Suy ra $A \le \dfrac{\left(\dfrac{10}{3} \right)^3}{12}.A_{\max}=\dfrac{\left(\dfrac{10}{3} \right)^3}{12} \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{6};y=\dfrac{8}{9}$
P/s:@Chung:Khúc dấu bằng xảy ra để dấu tương đương chứ không phải suy ra,em nhé
@l.kuzz.l:$x^{25} \neq (x^5)^2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-06-2011 - 20:36