Thời gian: 150 phút.
Bài 1: (1,5 điểm)
a) Cho $a=xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}$ và $b=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}$ trong đó x, y là 2 số thực. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b độc lập với x và y.
b) Đặt $x_1=\dfrac{m-\sqrt{m^2+1}}{2};x_2=\dfrac{m+\sqrt{m^2+1}}{2}$ ( m là tham số). Hãy tính theo m giá trị biểu thức $A=[(2m+1)x_1-(2m-1)x_2]^2+[(m-2)x_1+(m+2)x_2]^2$
Bài 2: (1,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\vartriangle: y=\dfrac{3}{5}x-\dfrac{12}{25}$
a) Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng $\vartriangle$ và trục Ox. CMR: $sin\alpha>\dfrac{1}{2}$
b)CMR: trong mọi hình tròn bán kính $\dfrac{1}{30}$ với tâm nằm trên đường thẳng $\vartriangle$, không có điểm nào có hoành độ và tung độ là các số nguyên.
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} yz(x+y)(x+z)=72 \\ zx(y+z)(y+x)=45 \\ xy(z+x)(z+y)=40 \end{gathered} \right. $
b) Với mỗi số tự nhiên $n \geq 3$, gọi $x_n$ là số đo góc mỗi đỉnh (tính theo đơn vị độ) của một đa giác đều n cạnh. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $m,n(m\geq 3,n\geq 3)$ sao cho $x_m-x_n=30^o$
Bài 4: (2,0 điểm)
a) Tìm a,b,c,d biết rằng $5(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d+2)^2-20$
b) Cho $x;y;z \in [1;3]$. Đặt $S_n=x^n+y^n+z^n$ với mỗi số nguyên dương n. CMR: nếu $S_1 \leq 5; S_2 \geq 11$ thì $S_n=3^n+2$ với mọi số nguyên dương n
Bài 5: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng r. M là một điểm di động trên cạnh BC, M không trùng B và C. Trên CD lấy N sao cho $\angle MAN=45^o$. Gọi P là giao điểm của BD và AM, Q là giao điểm của BD và AN.
a) CMR: MQ vuông góc với AN.
b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP. Tìm quỹ tích giao điểm K của các đường thẳng AH và MN.
c) Tính diện tích phần chung của bốn hình tròn có tâm lần lượt là các đỉnh A,B,C,D có cùng bán kính r.
=================================================================
Đề năm nay ác gớm. Khác một trời một vực các đề năm ngoái. (
@ supermember :
Có thể do vài năm gần đây ; chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng liên tục thành công ở các giải VMO - IMO ; 2 năm liền có người giải nhất quốc gia và TST ; nên đề tuyển vào đương nhiên theo đó cũng phải khó nhằn r�ồi . Ngay đến học ĐH mà giờ supermember vô lớp đụng mấy tay Lê Quý Đôn Đà Nẵng còn thấy khó đỡ nữa là
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 23-10-2022 - 01:11