Chủ đề này có 7 trả lời

[perfectstrong]

Thời gian: 150 phút.

Bài 1: (1,5 điểm)
a) Cho $a=xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}$ và $b=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}$ trong đó x, y là 2 số thực. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b độc lập với x và y.
b) Đặt $x_1=\dfrac{m-\sqrt{m^2+1}}{2};x_2=\dfrac{m+\sqrt{m^2+1}}{2}$ ( m là tham số). Hãy tính theo m giá trị biểu thức $A=[(2m+1)x_1-(2m-1)x_2]^2+[(m-2)x_1+(m+2)x_2]^2$

Bài 2: (1,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\vartriangle: y=\dfrac{3}{5}x-\dfrac{12}{25}$
a) Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng $\vartriangle$ và trục Ox. CMR: $sin\alpha>\dfrac{1}{2}$
b)CMR: trong mọi hình tròn bán kính $\dfrac{1}{30}$ với tâm nằm trên đường thẳng $\vartriangle$, không có điểm nào có hoành độ và tung độ là các số nguyên.

Bài 3: (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} yz(x+y)(x+z)=72 \\ zx(y+z)(y+x)=45 \\ xy(z+x)(z+y)=40 \end{gathered} \right. $
b) Với mỗi số tự nhiên $n \geq 3$, gọi $x_n$ là số đo góc mỗi đỉnh (tính theo đơn vị độ) của một đa giác đều n cạnh. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $m,n(m\geq 3,n\geq 3)$ sao cho $x_m-x_n=30^o$

Bài 4: (2,0 điểm)
a) Tìm a,b,c,d biết rằng $5(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d+2)^2-20$
b) Cho $x;y;z \in [1;3]$. Đặt $S_n=x^n+y^n+z^n$ với mỗi số nguyên dương n. CMR: nếu $S_1 \leq 5; S_2 \geq 11$ thì $S_n=3^n+2$ với mọi số nguyên dương n

Bài 5: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng r. M là một điểm di động trên cạnh BC, M không trùng B và C. Trên CD lấy N sao cho $\angle MAN=45^o$. Gọi P là giao điểm của BD và AM, Q là giao điểm của BD và AN.
a) CMR: MQ vuông góc với AN.
b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP. Tìm quỹ tích giao điểm K của các đường thẳng AH và MN.
c) Tính diện tích phần chung của bốn hình tròn có tâm lần lượt là các đỉnh A,B,C,D có cùng bán kính r.
=================================================================
Đề năm nay ác gớm. Khác một trời một vực các đề năm ngoái. (

@ supermember :

Có thể do vài năm gần đây ; chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng liên tục thành công ở các giải VMO - IMO ; 2 năm liền có người giải nhất quốc gia và TST ; nên đề tuyển vào đương nhiên theo đó cũng phải khó nhằn r�ồi . Ngay đến học ĐH mà giờ supermember vô lớp đụng mấy tay Lê Quý Đôn Đà Nẵng còn thấy khó đỡ nữa là

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 23-10-2022 - 01:11

[Peter Pan]

@ supmember: Vấn đề ko phải ở chỗ thành tích đâu anh, tại quy chế thi năm nay có thay đổi, những môn hệ số 1 đề chung với lớp 10 toàn thành phố nên quá dễ thì đề chuyên phải khó chứ . Mà đề này thằng nào trình bày tốt, có kí năng thi cử thì OK thôi chứ thật sự nó không quá khó, chẳng có câu nào mới mẻ, chỉ có câu nào cũng mang cấp độ đều nhau nên nhìn vào thằng nào ko có kinh nghiệm thì die thôi )
P/s: Chúc mấy em ĐN,QN trên VMF đậu nhá

@ Winwave :

Cái đề này làm được khoảng bao nhiêu % thì đậu ?

Ý anh là đa số mấy đứa đậu làm dc khoảng bao nhiêu % cái đề này ?

Cái đề này nhìn sơ qua thì các câu 1 ; 2 ; 3 là không khó ; tuy nhiên cái hình cho quỹ tích thì có thể làm con dân " sợ " đấy .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 26-06-2011 - 13:06

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1: (1,5 điểm)
a) Cho $a=xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}$ và $b=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}$ trong đó x, y là 2 số thực. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b độc lập với x và y.
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} yz(x+y)(x+z)=72 \hfill \\ zx(y+z)(y+x)=45 \hfill \\ xy(z+x)(z+y)=40 \hfill \end{gathered} \right. $
Giải :
Bài 1
a, Ta có :
$ a^2 = (xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)})^2 = x^2y^2 + 1 + x^2 + y^2 + x^2y^2 + 2xy\sqrt{( 1 + x^2 )( 1 + y^2 )} = 1 + x^2 + y^2 + 2x^2y^2 + 2xy\sqrt{( 1 + x^2 )( 1 + y^2 )}$
$ b^2 = (x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2})^2 = x^2( 1 + y^2 ) + y^2( 1 + x^2) + 2xy\sqrt{( 1 + x^2)( 1 + y^2 )} $
Dễ thấy : $ a^2 - 1 = b^2$
Vậy hệ thức liên hệ giữa a và b độc lập với x và y là $ a^2 - 1 = b^2 $
Bài 3 :
Nhân vế theo vế của 3 phương trình với nhau, ta được :
$ x^2.y^2.z^2.( x + 1 )^2.( y + 1)^2.( z + 1 )^2 = 72.45.40 = ( 5.8.9)^2 = 360^2$
$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} xyz( x + 1 )(y + 1)( z + 1 ) = 360 \\xyz( x + 1 )(y + 1)( z + 1 ) = - 360\end{array}\right.$
• $ xyz( x + 1 )(y + 1)( z + 1 ) = 360 $
Chia phương trình trên vế theo vế lần lượt cho các phương trình ở hệ ban đầu, ta có hệ :
$ \left\{\begin{array}{l}x.( y + z ) = 5\\y( x + z ) = 8\\ z( x + y ) = \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}xy + xz = 5\\xy + yz = 8\\ xz + yz = 9\end{array}\right. $
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}yz - xz = 3\\yz + xz = 9 \\ xy = 5 - xz \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}yz = 6\\xz = 3\\xy = 2\end{array}\right. \Rightarrow xyz = \pm 6 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x = \pm 1\\y = \pm 2\\ z = \pm 3\end{array}\right.$
( Khi x = 1 thì y = 2, z = 3 và khi x = -1 thì y = -2; z = -3 )
Tương tự với trường hợp còn lại

[caubeyeutoan2302]

Mình chém bài 4a trước :
Bài 4a Tìm các số a,b,c,d sao cho $ 5(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d+2)^2-20 $
Theo đề thì ta có:
$ 5(a^2+b^2+c^2+d^2+4)=(a+b+c+d+2)^2$
Nếu tinh ý ta sẽ nhận thấy đây là BĐT BCS
Thật vậy: $ (a+b+c+d+2)^2 \le (1^2+1^2+1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2+d^2+2^2)\\ \Leftrightarrow (a+b+c+d+2)^2 \le 5(a^2+b^2+c^2+d^2+4)$
Do dấu bằng xảy ra nên ta có các bộ tỉ lệ $ \dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{1}=\dfrac{c}{1}=\dfrac{d}{1}=\dfrac{2}{1} \Leftrightarrow a=b=c=d=2 $
Thử lại thấy thỏa nên a=b=c=d=2 là nghiệm duy nhất của PT đã cho

supermember thấy bài 4b cũng được đấy :

$ 11 \le x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2 (xy + yz + zx) \le 25 - 2 (xy + yz + zx) $

$ \implies 7 \ge xy + yz + zx $

$ \implies (x-1)(y-1) + (y-1)(z-1)+ (z-1)(x-1) + 2(x+y+z) - 3 \le 7$

$ \implies (x-1)(y-1) + (y-1)(z-1)+ (z-1)(x-1) + 2(x+y+z) \le 10 \ \ (2)$

Nhưng do $ x ; y ; z \in [1 ; 3 ] ; (x+y+z) \ge 5$

$ \implies (x-1)(y-1) + (y-1)(z-1)+ (z-1)(x-1) + 2(x+y+z) \ge 10 ( 3) $

Từng $ (2) ; (3) $ suy ra $(x-1)(y-1) + (y-1)(z-1)+ (z-1)(x-1) + 2(x+y+z) = 10$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong $3$ số $ x -1 ; y-1 ; z-1 $ có ít nhất $2$ số bằng $0$ và $ x + y + z = 5$

Tức là trong $3$ số $ x ; y ; z$ có $2$ số bằng $1$ ; số còn lại bằng $3$

$ \implies S_n = 3^n + 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 26-06-2011 - 13:18

[Peter Pan]

@supermember: theo thông tin em được biết thì làm 6 điểm là đậu rồi ( có thế 5,5 là đậu )

[together1995]

@supermember: theo thông tin em được biết thì làm 6 điểm là đậu rồi ( có thế 5,5 là đậu )

Xem ra đề chuyên LQĐ năm nay khó hơn năm ngoái nhỉ?

[binvippro]

Mình chém bài 4a trước :
Bài 4a Tìm các số a,b,c,d sao cho $ 5(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d+2)^2-20 $
Theo đề thì ta có:
$ 5(a^2+b^2+c^2+d^2+4)=(a+b+c+d+2)^2$
Nếu tinh ý ta sẽ nhận thấy đây là BĐT BCS
Thật vậy: $ (a+b+c+d+2)^2 \le (1^2+1^2+1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2+d^2+2^2)\\ \Leftrightarrow (a+b+c+d+2)^2 \le 5(a^2+b^2+c^2+d^2+4)$
Do dấu bằng xảy ra nên ta có các bộ tỉ lệ $ \dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{1}=\dfrac{c}{1}=\dfrac{d}{1}=\dfrac{2}{1} \Leftrightarrow a=b=c=d=2 $
Thử lại thấy thỏa nên a=b=c=d=2 là nghiệm duy nhất của PT đã cho

supermember thấy bài 4b cũng được đấy :

$ 11 \le x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2 (xy + yz + zx) \le 25 - 2 (xy + yz + zx) $

$ \implies 7 \ge xy + yz + zx $

$ \implies (x-1)(y-1) + (y-1)(z-1)+ (z-1)(x-1) + 2(x+y+z) - 3 \le 7$

$ \implies (x-1)(y-1) + (y-1)(z-1)+ (z-1)(x-1) + 2(x+y+z) \le 10 \ \ (2)$

Nhưng do $ x ; y ; z \in [1 ; 3 ] ; (x+y+z) \ge 5$

$ \implies (x-1)(y-1) + (y-1)(z-1)+ (z-1)(x-1) + 2(x+y+z) \ge 10 ( 3) $

Từng $ (2) ; (3) $ suy ra $(x-1)(y-1) + (y-1)(z-1)+ (z-1)(x-1) + 2(x+y+z) = 10$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong $3$ số $ x -1 ; y-1 ; z-1 $ có ít nhất $2$ số bằng $0$ và $ x + y + z = 5$

Tức là trong $3$ số $ x ; y ; z$ có $2$ số bằng $1$ ; số còn lại bằng $3$

$ \implies S_n = 3^n + 2$

$S1\leq 5$ mà bạn

[binvippro]

cho em hỏi chút các anh ai có đề Lê Quý Đôn ( Đà Nẵng ) năm 2009 không cho em xin với . Đề mà có câu tìm m,n tự nhiên để $m^2+n^2+2mn+m+3n+2$ là số chính phương ấy