Chủ đề này có 3 trả lời

[vietfrog]

Cho 2 số phức z₁,z₂ đều có môđun bẳng 1.
CMR: $z = \dfrac{{1 + {z_1}{z_2}}}{{{z_1} + {z_2}}}$ là một số thực.

[stuart clark]

Here $z_{1}=1\Leftrightarrow |z_{1}|^2=1\Leftrightarrow z_{1}\bar{z_{1}}=1\Leftrightarrow \bar{z_{1}}=\dfrac{1}{z_{1}}$

similarly $z_{2}=1\Leftrightarrow |z_{2}|^2=1\Leftrightarrow z_{2}\bar{z_{2}}=1\Leftrightarrow \bar{z_{2}}=\dfrac{1}{z_{2}}$

Now Let $z=\dfrac{1+z_{1}z_{2}}{z_{1}+z_{2}}$

taking Conjugate on both side

$\bar{z}=\dfrac{1+\bar{z_{1}}\bar{z_{2}}}{\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}}=\dfrac{1+\dfrac{1}{z_{1}}.\dfrac{1}{z_{2}}}{\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{2}}}$

So $\bar{z}=\dfrac{1+z_{1}z_{2}}{z_{1}+z_{2}}=z$

So $z$ is purely real number.

[vietfrog]

Here $z_{1}=1\Leftrightarrow |z_{1}|^2=1\Leftrightarrow z_{1}\bar{z_{1}}=1\Leftrightarrow \bar{z_{1}}=\dfrac{1}{z_{1}}$

similarly $z_{2}=1\Leftrightarrow |z_{2}|^2=1\Leftrightarrow z_{2}\bar{z_{2}}=1\Leftrightarrow \bar{z_{2}}=\dfrac{1}{z_{2}}$

Now Let $z=\dfrac{1+z_{1}z_{2}}{z_{1}+z_{2}}$

taking Conjugate on both side

$\bar{z}=\dfrac{1+\bar{z_{1}}\bar{z_{2}}}{\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}}=\dfrac{1+\dfrac{1}{z_{1}}.\dfrac{1}{z_{2}}}{\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{2}}}$

So $\bar{z}=\dfrac{1+z_{1}z_{2}}{z_{1}+z_{2}}=z$

So $z$ is purely real number.

Bạn ơi cho mình hỏi. Đề cho z1,z2 là 2 số có môđun bằng 1 chứ đâu cho z1,z2 bằng 1 đâu.VD: i,-i,...
Mà sao tự nhiên lại có : $\bar{z}=\dfrac{1+\bar{z_{1}}\bar{z_{2}}}{\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}}$
P/s: Mình đọc trước phần số phức nên còn nhiều chỗ chưa thạo. Mong bạn giúp đỡ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 27-06-2011 - 08:07

[emmuongioitoan]

Bạn ơi cho mình hỏi. Đề cho z1,z2 là 2 số có môđun bằng 1 chứ đâu cho z1,z2 bằng 1 đâu.VD: i,-i,...
Mà sao tự nhiên lại có : $\bar{z}=\dfrac{1+\bar{z_{1}}\bar{z_{2}}}{\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}}$
P/s: Mình đọc trước phần số phức nên còn nhiều chỗ chưa thạo. Mong bạn giúp đỡ!

Chú ý rằng $z = a+bi$ thì $\bar{z} = a-bi$ (a,b thuộc R)

nên mô đun của $z_1$ là $a_{z_1}^2+b_{z_1}^2 = z_1.\bar{z_{1}}$

Như vậy dễ thấy, $\bar{z_{1}}=\dfrac{1}{z_{1}}, \bar{z_{2}}=\dfrac{1}{z_{2}}$

Từ đó xét $z = \dfrac{1+z_{1}z_{2}}{z_{1}+z_{2}}$

Chú ý các hệ thức cơ bản sau với 2 số phức $u,v$

$\bar{(u+v)} =\bar{u}+\bar{v}, \bar{(uv)} = \bar{u}.\bar{v}, \bar{(\dfrac{u}{v})} = \dfrac{\bar{u}}{\bar{v}}$

Từ đó, giống như ở trên ta dễ dàng có $\bar{z} = z$. Suy ra $2z = \bar{z} + z =2a \in R$. Vậy $z \in R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 05-08-2011 - 08:28