Chủ đề này có 2 trả lời

[caipro]

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $x^{2} + y^{2} = 9$. Tìm $m$ để trên đường thẳng $y = m$ tìm được đúng $4$ điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được $2$ tiếp tuyến tới đường tròn và hai tiếp tuyến đó tạo với nhau góc $45^o$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 24-04-2014 - 22:28

[anhminhkhon]

Mình nghĩ là không có đường thẳng nào như vậy(không chắc là không có đâu)

Thật vậy xét đường tròn $x^{2}+y^{2}=9\Leftrightarrow R=3$

Ta có GS A là một điểm trên đường thẳng đã cho

Ta có AB, AC lần lượt là hai tiếp tuyến

Ta có $\angle BAC=45^{\circ}\Leftrightarrow \angle BAO=22,5^{\circ}\Leftrightarrow AO=R/(sin22,5^{\circ})$ luôn luôn xác định

Vậy A chạy trên đường tròn tâm O bk $\frac{3}{sin22,5^{\circ}}$

Mặt khác một đường tròn chỉ cắt đường thẳng tại 2 điểm

Vậy không tồn tại 4 điểm nói trên

[chanhquocnghiem]

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $x^{2} + y^{2} = 9$. Tìm $m$ để trên đường thẳng $y = m$ tìm được đúng $4$ điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được $2$ tiếp tuyến tới đường tròn và hai tiếp tuyến đó tạo với nhau góc $45^o$.

Giả sử $M$ là một điểm trên đường thẳng $y=m$ sao cho từ $M$ có thể kẻ được $2$ tiếp tuyến $MA$ và $MB$ đến đường tròn $x^{2} + y^{2} = 9$ ($A$ và $B$ là các tiếp điểm) và các tiếp tuyến đó tạo với nhau góc $45^o$.

Có $2$ trường hợp xảy ra :

$1)$ $\widehat{AMB}=45^o\Rightarrow \widehat{OMA}=22^o30'\Rightarrow OM=\frac{OA}{sin22^o30'}=\frac{3}{sin22^o30'}$

$\Rightarrow M$ thuộc đường tròn $(C_{1}):x^2+y^2=\frac{9}{sin^{2}22^o30'}$

 

$2)$ $\widehat{AMB}=135^o\Rightarrow \widehat{OMA}=67^o30'\Rightarrow OM=\frac{OA}{cos22^o30'}=\frac{3}{cos22^o30'}$

$\Rightarrow M$ thuộc đường tròn $(C_{2}):x^2+y^2=\frac{9}{cos^{2}22^o30'}$

 

Trên đường thẳng $y=m$ có đúng $4$ điểm $M$ thỏa mãn điều kiện nêu trên khi và chỉ khi đường thẳng $y=m$ cắt $(C_{1})$ tại $2$ điểm phân biệt và cũng cắt $(C_{2})$ tại $2$ điểm phân biệt $\Leftrightarrow -\frac{3}{cos22^o30'}< m< \frac{3}{cos22^o30'}$ (vì $\frac{3}{cos22^o30'}< \frac{3}{sin22^o30'}$)

 

Trả lời : Điều kiện cần tìm của $m$ là $-\frac{3}{cos22^o30'}< m< \frac{3}{cos22^o30'}$.

(Có vô số đường thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-04-2014 - 20:44