Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Hung Phong]

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn : a + b = 4ab. Chứng minh rằng :
$\dfrac{a}{{4{b^2} + 1}} + \dfrac{b}{{4{a^2} + 1}} \ge \dfrac{1}{2}$

[ldhung_94]

qui đ�ồng. thế $ab =\dfrac{a+b}{4}$, bđt ban đầu tương đương:
$4(a^3+b^3)+a+b \geq \dfrac{1}{2}(5(a+b)^2 -2(a+b)+1)$
áp dụng bđt $a^3+b^3 \geq \dfrac{(a+b)^3}{4}$
r�ồi đặt$ t = a+b$,ta có $VT \geq t^3+t$
Mà dễ cm được $t^3+t \geq \dfrac{1}{2}(5t^2 - 2t+1)=VP$
từ đó suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 30-06-2011 - 08:40

[perfectstrong]

Có thể làm cách khác như sau:
$LHS=\dfrac{a^2}{4ab^2+a}+\dfrac{b^2}{4a^2b+b}$

$\geq \dfrac{(a+b)^2}{4ab^2+4ba^2+a+b}=\dfrac{16a^2b^2}{4ab^2+4ba^2+4ab}$

$=\dfrac{4ab}{a+b+1}=\dfrac{4ab}{4ab+1}$

$=1-\dfrac{1}{4ab+1}$
Mà $4ab=a+b \geq 2\sqrt{ab} \Rightarrow 2\sqrt{ab} \geq 1 \Rightarrow 4ab \geq 1$

$\Rightarrow 4ab+1 \geq 2 >0 \Rightarrow 1-\dfrac{1}{4ab+1} \geq 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$

Từ đó ta có đpcm