Thử sức với bài Bất đẳng thức này nữa (dùng AM-GM)
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn :$21ab + 2bc + 8ac \le 12$
Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge \dfrac{{15}}{2}$
Sao lại cho x,y,z mà ở dưới là a,b,c. Bạn nhầm rồi. Mình làm theo a,b,c.
Đặt $x = \dfrac{1}{a},\,y = \dfrac{1}{b},\,z = \dfrac{1}{c}$ bài toán trở thành:
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $2x + 8y + 21z \le 12xyz$. Chứng minh rằng: $x + 2y + 3z \ge \dfrac{{15}}{2}\,\,\,\,(1)$
Từ giả thiết $z(12xy - 21) \ge 2x + 8y > 0$, từ đó $z \ge \dfrac{{2x + 8y}}{{12xy - 21}}$ với $x > \dfrac{7}{{4y}}\,\,\,(2)$.
Suy ra VT(1)$\ge x + 2y + \dfrac{{2x + 8y}}{{4xy - 7}}\,\,\,(3)$.
Xét hàm số $f(x) = x + \dfrac{{2x + 8y}}{{4xy - 7}} = \dfrac{{4x^2 y - 5x + 8y}}{{4xy - 7}}$ với biến $x > \dfrac{7}{{4y}}$ và y là tham số thực dương
$\Rightarrow f'(x) = \dfrac{{16x^2 y^2 - 56xy - 32y^2 + 35}}{{\left( {4xy - 7} \right)^2 }}$
Trên $\left( {\dfrac{7}{{4y}}; + \infty } \right)$ thì $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = x_0 = \dfrac{7}{{4y}} + \dfrac{{\sqrt {32y^2 + 14}}}{{4y}}$ và qua $x_0 $ thì $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên f(x) đạt cự tiểu tại $x_0 $.
Suy ra $f(x) \ge f(x_0 ) = 2x_0 - \dfrac{5}{{4y}} \Rightarrow VT(1) \ge f(x) + 2y \ge f(x_0 ) + 2y = g(y)\,\,\,\,(4)$.
Xét hàm số $g(y) = 2y + \dfrac{9}{{4y}} + \dfrac{1}{2}\sqrt {32y^2 + 14}$
$ \Rightarrow g'(y) = 0 \Leftrightarrow (8y^2 - 9)\sqrt {32y^2 + 14} - 28=0$.
Đặt $t = \sqrt {32y^2 + 14} > 0$ thì pt trên trở thành $t^3 - 50t - 112 = 0$. Phương trình này có duy nhất một nghiệm dương $t = 8 \Leftrightarrow y = y_0 = \dfrac{5}{4}$.
Vậy $g'\left( {\dfrac{5}{4}} \right) = 0$. Với y>0 và qua $y_0 $ thì $g'(y)$ đổi dấu từ âm sang dương nên g(y) đạt cực tiểu tại $y_0 $. Lúc đó $g(y_0 ) = g\left( {\dfrac{5}{4}} \right) = \dfrac{{15}}{2}$.
Từ đó kết hợp với (4) suy ra VT(1) $\ge g(y) \ge g(y_0 ) = \dfrac{{15}}{2}$. Dấu "=" xảy ra với $x = 3,\,y = \dfrac{5}{4},\,z = \dfrac{2}{3}$ hay $a = \dfrac{1}{3},\,\,b = \dfrac{4}{5},\,\,c = \dfrac{3}{2}$.
P/s: Bài này có thể sử dụng pp cân bằng hệ số nhưng mình nghĩ sử dụng pp hàm số là khá đơn giản.
---------------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!