Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tản mạn BĐT


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 436 trả lời

#1 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 30-06-2011 - 19:04

TẢN MẠN BẤT ĐẲNG THỨC

Topic với những Bất đẳng thức không quá khó, cách giải không quá cầu kì.

Mong rằng mọi người sẽ cùng trao đổi và thư giãn với Bất đẳng thức



Bài 1: ( Nhiều cách càng tốt)
Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn: $a+b+c=1$
Tìm Max :
$S = \dfrac{{ab}}{{1 + c}} + \dfrac{{ac}}{{1 + b}} + \dfrac{{bc}}{{1 + a}}$
Bài 2:(nhiều cách hơn nữa)
Cho $a,b,c$ dương thỏa: $a+b+c=2$
Tìm Max:
$S = \dfrac{{ab}}{{2 - c}} + \dfrac{{ac}}{{2 - b}} + \dfrac{{bc}}{{2 - a}}$
Bài 3:(tùy tâm)
CMR: với $n>2$ thì :
$C_n^0C_n^1C_n^2...C_n^n \le {\left( {\dfrac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01-11-2011 - 19:46

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#2 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 30-06-2011 - 19:39

Bài 2 :(nhiều cách hơn nữa)
Cho a,b,c dương thỏa: a+b+c=2
Tìm Max:
$S = \dfrac{{ab}}{{2 - c}} + \dfrac{{ac}}{{2 - b}} + \dfrac{{bc}}{{2 - a}}$

Em xin trình bày một cách cho bài 2, đơn giản dễ hiểu :
Ta có :
$S=\dfrac{{ab}}{{2 - c}} + \dfrac{{ac}}{{2 - b}} + \dfrac{{bc}}{{2 - a}}=\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{ac}{a+c}+\dfrac{bc}{b+c}$
Do : $(a+b)^2 \ge 4ab \Leftrightarrow \dfrac{ab}{a+b} \le \dfrac{a+b}{4}$
Chứng minh tương tự ta có:$\dfrac{bc}{b+c} \le \dfrac{b+c}{4}; \dfrac{ca}{c+a} \le \dfrac{c+a}{4}$
Vậy $S=\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{ac}{a+c}+\dfrac{bc}{b+c} \le \dfrac{a+b+c}{2}=1$
MaxS=1 khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caubeyeutoan2302: 30-06-2011 - 20:19

CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#3 Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 30-06-2011 - 20:09

Bài 1: ( Nhiều cách càng tốt)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: a+b+c=1
Tìm Max :
$S = \dfrac{{ab}}{{1 + c}} + \dfrac{{ac}}{{1 + b}} + \dfrac{{bc}}{{1 + a}}$
Bài 2 :(nhiều cách hơn nữa)
Cho a,b,c dương thỏa: a+b+c=2
Tìm Max:
$S = \dfrac{{ab}}{{2 - c}} + \dfrac{{ac}}{{2 - b}} + \dfrac{{bc}}{{2 - a}}$
Bài 3: (tùy tâm)
CMR: với n>2 thì :
$C_n^0C_n^1C_n^2...C_n^n \le {\left( {\dfrac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}}$

Bài 1 :
$ S = \sum \dfrac{ab}{a+b+2c} =\sum \dfrac{ab}{(a+b)+(b+c)} \leq \dfrac{1}{4}( \sum ( \dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}) =\dfrac{1}{4} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 30-06-2011 - 21:33

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#4 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 30-06-2011 - 20:13

Em xin trình bày một cách cho bài 2, đơn giản dễ hiểu :
Ta có :
$S=\dfrac{{ab}}{{2 - c}} + \dfrac{{ac}}{{2 - b}} + \dfrac{{bc}}{{2 - a}}=\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{ac}{a+c}+\dfrac{bc}{b+c}$
Do : $(a+b)^2 \ge 4ab \Leftrightarrow \dfrac{ab}{a+b} \le 4(a+b)$
Chứng minh tương tự ta có:$\dfrac{bc}{b+c} \le 4(b+c); \dfrac{ca}{c+a} \le 4(a+c)$
Vậy $S=\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{ac}{a+c}+\dfrac{bc}{b+c} \le 8(a+b+c)=16$
MaxS=16 khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{2}{3}$

Tú làm nhanh ghê. Nhưng nên cẩn thận nhé. Tú nhầm chỗ này :
${(a + b)^2} \ge 4ab \Leftrightarrow \dfrac{{ab}}{{a + b}} \le \dfrac{{a + b}}{4}$
Vì vậy Max bằng 1.Hi

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#5 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 30-06-2011 - 20:21

Bài 1 :
$ S = \sum \dfrac{ab}{a+b+2c} =\sum \dfrac{ab}{(a+b)+(b+c)} \leq \dfrac{1}{4}( \sum ( \dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}) =\dfrac{3}{4} $

Lâm có thể giải chi tiết hơn một chút cho mọi người dễ quan sát được không? Hộ mình nhé!

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#6 Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 30-06-2011 - 21:42

Lâm có thể giải chi tiết hơn một chút cho mọi người dễ quan sát được không? Hộ mình nhé!

Bài làm đó ý tưởng đúng nhưng tớ đánh latex hơi nhầm tí :-B :
Áp dụng Bđt Cauchy-schwarz dạng Engel ta có :
$ S = \sum \dfrac {ab}{(a+c)+(b+c)} \leq \dfrac{1}{4}(\sum \dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}) $
Để ý cái $ \sum (\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}) =\sum \dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{bc}{c+a}) =a+b+c=1 $

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#7 truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trúc Lâm

Đã gửi 30-06-2011 - 21:52

Bài 1: ( Nhiều cách càng tốt)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: a+b+c=1
Tìm Max :
$S = \dfrac{{ab}}{{1 + c}} + \dfrac{{ac}}{{1 + b}} + \dfrac{{bc}}{{1 + a}}$
Bài 2 :(nhiều cách hơn nữa)
Cho a,b,c dương thỏa: a+b+c=2
Tìm Max:
$S = \dfrac{{ab}}{{2 - c}} + \dfrac{{ac}}{{2 - b}} + \dfrac{{bc}}{{2 - a}}$
Bài 3: (tùy tâm)
CMR: với n>2 thì :
$C_n^0C_n^1C_n^2...C_n^n \le {\left( {\dfrac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}}$


Bài 3 :

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}C_n^0 = C_n^n = 1\\C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n = {2^n}\end{array} \right.\\\Rightarrow C_n^0C_n^1C_n^2...C_n^n = C_n^1C_n^2...C_n^{n - 1} \le {\left( {\dfrac{{C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1}}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}}\\\\= {\left( {\dfrac{{(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n) - (C_n^0 + C_n^n)}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\dfrac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}}\end{array}$

#8 Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 06-07-2011 - 17:33

Tặng các bạn 1 bài khá đẹp :
Bài 4:Cho $ a,b,c $ là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng :
$ (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 \leq a^3b+b^3c+c^3a $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-08-2011 - 20:13

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#9 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 07-07-2011 - 11:08

Tặng các bạn 1 bài khá đẹp :
Cho $ a,b,c $ là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng :
$ (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 \leq a^3b+b^3c+c^3a $

Giả sử $a \ge b \ge c$

Sử dụng BĐT Chebyshev cho 2 bộ 3 số :
${a^2} + bc \ge {b^2} + ac \ge {c^2} + ab$ và

$\dfrac{1}{a} \le \dfrac{1}{b} \le \dfrac{1}{c}$

Theo BĐT Chebyshev ta có:

$3\sum {\dfrac{{{a^2} + bc}}{a} \le \sum {({a^2} + bc)\sum {\dfrac{1}{a}} } } $

$ \Leftrightarrow 3\sum {(a + \dfrac{{bc}}{a}) \le \sum {(a + b + c + \dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{a^2}}}{c} + \dfrac{{bc}}{a}} )} $

$ \Leftrightarrow 2\sum {\dfrac{{bc}}{a} \le \sum {(\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{a^2}}}{c}) \le 2\sum {\dfrac{{{a^2}}}{c}} } } $

$ \Leftrightarrow \sum {\dfrac{{bc}}{a} \le } \sum {\dfrac{{{a^2}}}{c}} $

$ \Leftrightarrow \sum {{{(bc)}^2} \le \sum {{a^3}b} ({\rm{ ok)}}} $

Hí. Bài nữa đi Lâm ơi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 07-07-2011 - 11:10

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#10 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 07-07-2011 - 11:25

Tặng các bạn 1 bài khá đẹp :
Cho $ a,b,c $ là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng :
$ (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 \leq a^3b+b^3c+c^3a $


Đáp lễ. Xin tặng lại Lâm 1 BĐT đơn giản nhưng khá hay như sau:
Bài 5:Cho ABC là tam giác nhọn. $A,B,C$ là ba góc, $a,b,c$ là 3 cạnh đối diện 3 góc đó.
CMR:
$3(a + b + c) \le \pi (\dfrac{a}{A} + \dfrac{b}{B} + \dfrac{c}{C})$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-08-2011 - 20:14

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#11 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 07-07-2011 - 12:19

Đáp lễ. Xin tặng lại Lâm 1 BĐT đơn giản nhưng khá hay như sau:
Cho ABC là tam giác nhọn. $A,B,C$ là ba góc, $a,b,c$ là 3 cạnh đối diện 3 góc đó.
CMR:
$3(a + b + c) \le \pi (\dfrac{a}{A} + \dfrac{b}{B} + \dfrac{c}{C})$

Cho tiểu đệ xin phép được cướp lễ ạ:
Thật vậy:
Ta giả sử trong tam giác ABC thì $A \ge B \ge C$ . Từ đó sẽ có $a \ge b \ge c$
Vậy thì : $ \dfrac{a}{A} \le \dfrac{b}{B} \le \dfrac{c}{C}$
Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu ngược chiều ta có :
$(\dfrac{a}{A} + \dfrac{b}{B} + \dfrac{c}{C})(A+B+C) \ge 3(a+b+c) \Leftrightarrow \pi (\dfrac{a}{A} + \dfrac{b}{B} + \dfrac{c}{C}) \ge 3(a+b+c)$
Từ đây suy ra đpcm :)
CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#12 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 07-07-2011 - 12:25

Em xin trả lại cho anh Lâm BĐT khác ạ:
Bài 6:Cho n số dương $x_1,x_2,....,x_n$ có tổng bằng 1:
Chứng minh rằng :
$\dfrac{x_1}{\sqrt{1-x_1}}+\dfrac{x_2}{\sqrt{1-x_2}}+...+\dfrac{x_n}{\sqrt{1-x_n}} \ge \dfrac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}}{\sqrt{n-1}} $ :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-08-2011 - 20:14

CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#13 Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 07-07-2011 - 17:49

Em xin trả lại cho anh Lâm BĐT khác ạ:
Cho n số dương $x_1,x_2,....,x_n$ có tổng bằng 1:
Chứng minh rằng :
$\dfrac{x_1}{\sqrt{1-x_1}}+\dfrac{x_2}{\sqrt{1-x_2}}+...+\dfrac{x_n}{\sqrt{1-x_n}} \ge \dfrac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}}{\sqrt{n-1}} $ Hình đã gửi

Giả sử $ x_1 \geq x_2 \geq ...\geq x_n $ Suy ra
$ \dfrac{1}{\sqrt{1-x_1}} \geq \dfrac{1}{\sqrt{1-x_2}} \geq ... \geq \dfrac{1}{\sqrt{1-x_n}} $
áp dung Chebyshev ta có :
$ VT \geq \dfrac{1}{n}(\dfrac{1}{\sqrt{1-x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-x_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{1-x_n}}) $
Mà $ \dfrac{1}{\sqrt{1-x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-x_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{1-x_n}} \geq \dfrac{n^2}{\sqrt{1-x_1}+\sqrt{1-x_2}+...+\sqrt{1-x_n}}$
Áp dụng BCS ta lại có :
$ \sqrt{1-x_1}+\sqrt{1-x_2}+...+\sqrt{1-x_n} \leq \sqrt{n(n-1)} $
do vậy $VT \ge \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n - 1} }} = \frac{{\sqrt {n({x_1} + {x_2} + .. + {x_n})} }}{{\sqrt {n - 1} }} \ge \frac{{\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} + ... + \sqrt {{x_n}} }}{{\sqrt {n - 1} }}$ ( Theo BCS )

Tiếp với 1 bài này nhé ( Tặng Vietfrog và Caubeyeutoan ) :
Bài 7:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức với $ a,b,c $ dương :
$ P= \dfrac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}} + \dfrac{\sqrt{ac}}{b+3\sqrt{ac}} + \dfrac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}} $

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#14 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 07-07-2011 - 19:36

Tiếp với 1 bài này nhé ( Tặng Vietfrog và Caubeyeutoan ) :
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức với $ a,b,c $ dương :
$ P= \dfrac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}} + \dfrac{\sqrt{ac}}{b+3\sqrt{ac}} + \dfrac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}} $


Xin giải bài của Lâm, nếu sai xin thứ tội.:)
Để ý thấy BĐT đồng bậc. Chuẩn hóa cho $abc = 1$

$abc = 1 \Rightarrow bc = \dfrac{1}{a} \Rightarrow \sqrt {bc} = \dfrac{1}{{\sqrt a }}$

Tương tự:

$\sqrt {ac} = \dfrac{1}{{\sqrt b }};\sqrt {ab} = \dfrac{1}{{\sqrt c }}$

Ta có :

$S = \sum {\dfrac{{\dfrac{1}{{\sqrt a }}}}{{a + \dfrac{3}{{\sqrt a }}}}} = \sum {\dfrac{1}{{{{(\sqrt a )}^3} + 3}}} \le \sum { - \dfrac{3}{{16}}(\sqrt a - 1) + \dfrac{1}{4}} $(*dùng pp tiếp tuyến*)

$S \le \sum {( - \dfrac{3}{{16}}\sqrt a + \dfrac{7}{{16}}) \le 3\sum {(\dfrac{7}{{16}} - \dfrac{3}{{16}})} } $

$S \le \dfrac{3}{4}$

Dấu = xảy ra khi $a = b = c$

Vậy ${S_{m{\rm{ax}}}} = \dfrac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 07-07-2011 - 19:39

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#15 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 07-07-2011 - 20:10

Xin trả lễ Lâm và Tú bài này:

Bài 8:Cho $x \ge y \ge z > 0$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{{{x^2}y}}{z} + \dfrac{{{y^2}z}}{x} + \dfrac{{{z^2}x}}{y} \ge xy + yz + xz$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-08-2011 - 20:16

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#16 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 07-07-2011 - 20:26

Xin trả lễ Lâm và Tú bài này:

Cho $x \ge y \ge z > 0$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{{{x^2}y}}{z} + \dfrac{{{y^2}z}}{x} + \dfrac{{{z^2}x}}{y} \ge xy + yz + xz$

Chém luôn :
Theo BCS thì :
$(\dfrac{{{x^2}y}}{z} + \dfrac{{{y^2}z}}{x} + \dfrac{{{z^2}x}}{y})(\dfrac{{x^2}z}{y}+\dfrac{{y^2}x}{z}+\dfrac{{z^2}y}{x}) \ge (x^2+y^2+z^2)^2$(1)
Mà $ x \ge y \ge z$
Thế nên :
$\dfrac{{{x^2}y}}{z} + \dfrac{{{y^2}z}}{x} + \dfrac{{{z^2}x}}{y}-(\dfrac{{x^2}z}{y}+\dfrac{{y^2}x}{z}+\dfrac{{z^2}y}{x}) \ge \dfrac{(xy+yz+xz)(x-y)(y-z)(x-z)}{xyz} \ge 0$(2)
Từ (1),(2) thì :
$(\dfrac{{{x^2}y}}{z} + \dfrac{{{y^2}z}}{x} + \dfrac{{{z^2}x}}{y})^2 \ge (x^2+y^2+z^2)^2 \ge (xy+yz+zx)^2 $
Từ đó suy ra dpcm
Đây là bài VMO 1991 , có lẽ anh vietfrog đã cố tình thêm vài BĐT $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$ đẩ làm cho BĐT ban đầu khó hơn phải không , hihi
CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#17 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 07-07-2011 - 21:09

Tú không post bài thì để anh tiếp chiêu vậy.

Bài 9:Chứng minh rằng: $\forall n$ nguyên dương ta có:

$\sqrt[n]{{(n + 1)!}} \ge 1 + \sqrt[n]{{n!}}$
p/s:Có ai chém không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-08-2011 - 20:17

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#18 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 10-07-2011 - 09:56

Tú không post bài thì để anh tiếp chiêu vậy.

Chứng minh rằng: $\forall n$ nguyên dương ta có:

$\sqrt[n]{{(n + 1)!}} \ge 1 + \sqrt[n]{{n!}}$
p/s:Có ai chém không?


Bài này do mình đọc được trong 1 cuốn sách nhưng rất tiếc không có lời giải.
Mình xin trình bày hướng giải quyết, tuy nhiên vẫn còn 1 số điểm trục trặc.
Giả sử: $\sqrt[n]{{(n + 1)!}} \ge 1 + \sqrt[n]{n}$
$ \Leftrightarrow 1 \ge \dfrac{1}{{\sqrt[n]{{(n + 1)!}}}} + \sqrt[n]{{\dfrac{{n!}}{{(n + 1)!}}}} $
Áp dụng BĐT AM-GM cho n số : $\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{4};...;\dfrac{1}{{n + 1}}$ ta được:
$\dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{{n + 1}}}}{n} \ge \sqrt[n]{{\dfrac{1}{{(n + 1)!}}}}{\rm{ (1)}}$
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM cho n số $\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4};...;\dfrac{n}{{n + 1}}$ ta được:
$\dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} + ...\dfrac{n}{{n + 1}}}}{n} \ge \sqrt[n]{{\dfrac{{n!}}{{(n + 1)!}}}}{\rm{ }}(2)$
Cộng theo vế (1) ; (2) ta được:
$1 \ge \dfrac{1}{{\sqrt[n]{{(n + 1)!}}}} + \sqrt[n]{{\dfrac{{n!}}{{(n + 1)!}}}}$ (đpcm)
Vấn đề còn lại là dấu =... vẫn chờ mọi người giải quyết!!
Theo ý kiến của hoangduc mình xin phép bổ sung:
Dấu = xảy ra khi n=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10-07-2011 - 21:06

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#19 hoangduc

hoangduc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ

Đã gửi 10-07-2011 - 21:01

Dấu = xảy ra khi $n=1$
Với $n\ge 2$ thì dấu bằng ko thể xảy ra do $\dfrac{1}{2}\ne \dfrac{1}{3} $ (AM-GM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangduc: 10-07-2011 - 21:02

----------------------------------------------------

HỌC, HỌC NỮA, HỌC MÃI

#20 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 10-07-2011 - 21:10

Dấu = xảy ra khi $n=1$
Với $n\ge 2$ thì dấu bằng ko thể xảy ra do $\dfrac{1}{2}\ne \dfrac{1}{3} $ (AM-GM)

Rất cảm ơn ý kiến của hoangduc. Bạn có thể post vài bài BĐT lên để mọi người cùng làm được không?
Thanks!

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh