Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tản mạn BĐT


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 437 trả lời

#401 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 20-03-2012 - 12:29

Bài 161: Cho hai số dương $x, y$ thỏa mãn $12{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=5.$
Chứng minh rằng $$x+y+\frac{1}{xy}\ge \frac{7}{2}.$$
Đề thi thử Đại học khối A năm 2012 - lần 2 - trường THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)
Bài 162: Cho các số dương $a,b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3.$
Chứng minh rằng $$a\sqrt[3]{1-b+c}+b\sqrt[3]{1-c+a}+c\sqrt[3]{1-a+b}\le 3.$$
Đề thi thử Đại học khối B năm 2012 - lần 2 - trường THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#402 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 28-03-2012 - 17:58

Bài 163: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\geq \frac{3}{2}$$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#403 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 28-03-2012 - 22:27

Bài 161: Cho hai số dương $x, y$ thỏa mãn $12{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=5.$
Chứng minh rằng $$x+y+\frac{1}{xy}\ge \frac{7}{2}.$$
Đề thi thử Đại học khối A năm 2012 - lần 2 - trường THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)
Bài 162: Cho các số dương $a,b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3.$
Chứng minh rằng $$a\sqrt[3]{1-b+c}+b\sqrt[3]{1-c+a}+c\sqrt[3]{1-a+b}\le 3.$$
Đề thi thử Đại học khối B năm 2012 - lần 2 - trường THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)

Giải :
Bài 161
Ta có :$$5 = 4x^2 + 4x^2 + 4x^2 + y^2 + y^2 \ge 5\sqrt[5]{64.x^6y^4}\Leftrightarrow x^3y^2 \le \dfrac{1}{8}$$
Ta có $$x + y + \dfrac{1}{xy} = x + \dfrac{y}{2} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{1}{4xy} + \dfrac{1}{4xy} + \dfrac{1}{4xy} + \dfrac{1}{4xy}\ge 7\sqrt[7]{\dfrac{xy^2}{2^2.4^4.x^4y^4}}$$ $$ = \dfrac{7}{\sqrt[7]{4^5.x^3y^2}} \ge \dfrac{7}{\sqrt[7]{4^5.\dfrac{1}{8}}} = \dfrac{7}{2}$$
Bài 162.
Áp dụng $AM-GM$ ta có :
$$a\sqrt[3]{1 - b + c} = \sqrt[3]{a.a.(a - ab + ac)} \le \dfrac{a + a + a - ab + ac}{3} = \dfrac{3a - ab + ac}{3}$$
Nên $$VT \le \dfrac{3(a + b + c)}{3} = a + b + c$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 28-03-2012 - 22:30

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#404 tuithichtoan

tuithichtoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-03-2012 - 08:02

Bài 163: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\geq \frac{3}{2}$$

Có:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+c}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b}$
$=\frac{a^{4}}{b^{2}a+ac}+\frac{b^{4}}{c^{2}b+ab}+\frac{c^{4}}{a^{2}c+bc}$
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{b^{2}a+c^{2}b+a^{2}c+ca+ab+bc} $
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}}{2}+\frac{c^{2}b^{2}+c^{2}}{2}+\frac{a^{2}c^{2}+a^{2}}{2}+ca+ab+bc}$
$= \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{2}b^{2}+c^{2}b^{2}+a^{2}c^{2})+(a+b+c)^{2}}$
$\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+\frac{(a+b+c)^{4}}{9}}$
$\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}\geq \frac{3}{2}$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuithichtoan: 31-03-2012 - 08:05

Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.

#405 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 11-04-2012 - 20:28

Hưởng ứng lời kêu gọi của Kiên , Mình xin tiếp tực với một số bài toán sau :
Bài 164.
Cho các số thực bất kì $a,b,c$ .Chứng minh rằng :
$$a(a+b)^3+b(b+c)^3)+c(c+a)^3\ge 0$$
Bài 165.
'Cho các số thực $x\ge y\ge z>0$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\ge2\left (x^2+y^2+z^2\right ) -\left (xy+yz+zx\right )$$

VMO 1991


Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#406 huou202

huou202

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Phan Bội Châu Nghệ An

Đã gửi 23-04-2012 - 20:27

Bài 166
Cho các số thực không âm x,y,z và không có 2 số nào đồng thời bằng 0 .Chứng minh
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$

#407 reddevil123

reddevil123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Đã gửi 24-04-2012 - 21:27

Bài 166
Cho các số thực không âm x,y,z và không có 2 số nào đồng thời bằng 0 .Chứng minh
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$


Giả sử có 1 số bằng 0, không mất tính tổng quát giả sử x=0 ta cần chứng minh:
$$\begin{aligned} & \frac{y}{z} + \frac{z}{y} + 4 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \ge 6 \\ \Leftrightarrow& \frac{y^2+z^2}{yz} + 2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} + 2 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \ge 6 \end{aligned} $$
Mà điều này đúng theo BĐT AM-GM cho 3 số dương : $$ \frac{y^2+z^2}{yz} + 2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} + 2 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \ge 3 \sqrt[3]{ \frac{y^2+z^2}{yz} . 2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} . 2 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}}} = 6 $$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $$ \frac{y^2+z^2}{yz} =2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \Leftrightarrow y=z $$

Nếu $x,\ y,\ z>0$ thì ta có: $$ \dfrac{y}{z+x}+\dfrac{x}{y+z}+ \dfrac{z}{x+y} = \dfrac{y^2}{yz+xy}+\dfrac{x^2}{xy+xz}+ \dfrac{z^2}{xz+yz} > \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} $$
Lại theo BĐT AM-GM thì ta có: $$ \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} + 2\sqrt{\frac{2(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2}} + 2\sqrt{\frac{2(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2}} \ge 3.2 = 6 \text{(điều phải chứng minh)} $$
Phép chứng minh hoàn tất!
Đẳng thức xảy ra khi: 1 số bằng 0, 2 số còn lại bằng nhau.

Nguồn: boxmath.vn
________________________nản______________________

#408 huou202

huou202

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Phan Bội Châu Nghệ An

Đã gửi 25-04-2012 - 20:50

Vẫn còn cách khác ngắn hơn bạn ạ , các bạn tiếp tục suy nghĩ nha

#409 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 29-04-2012 - 09:10

Bài 167: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=xyz$ . CMR:
$$xy+zy+zx+9\geq 4(x+y+z)$$
Đề thi thử Trường THPT Trần Hưng Đạo Hưng Yên 2012

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 29-04-2012 - 09:12

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#410 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 01-05-2012 - 09:35

Bài 165:

Xin trả lễ Lâm và Tú bài này:

Bài 8:Cho $x \ge y \ge z > 0$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{{{x^2}y}}{z} + \dfrac{{{y^2}z}}{x} + \dfrac{{{z^2}x}}{y} \ge xy + yz + xz$


Chém luôn :
Theo BCS thì :
$(\dfrac{{{x^2}y}}{z} + \dfrac{{{y^2}z}}{x} + \dfrac{{{z^2}x}}{y})(\dfrac{{x^2}z}{y}+\dfrac{{y^2}x}{z}+\dfrac{{z^2}y}{x}) \ge (x^2+y^2+z^2)^2$(1)
Mà $ x \ge y \ge z$
Thế nên :
$\dfrac{{{x^2}y}}{z} + \dfrac{{{y^2}z}}{x} + \dfrac{{{z^2}x}}{y}-(\dfrac{{x^2}z}{y}+\dfrac{{y^2}x}{z}+\dfrac{{z^2}y}{x}) \ge \dfrac{(xy+yz+xz)(x-y)(y-z)(x-z)}{xyz} \ge 0$(2)
Từ (1),(2) thì :
$(\dfrac{{{x^2}y}}{z} + \dfrac{{{y^2}z}}{x} + \dfrac{{{z^2}x}}{y})^2 \ge (x^2+y^2+z^2)^2 \ge (xy+yz+zx)^2 $
Từ đó suy ra dpcm
Đây là bài VMO 1991 , có lẽ anh vietfrog đã cố tình thêm vài BĐT $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$ đẩ làm cho BĐT ban đầu khó hơn phải không , hihi


Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#411 Jelouis

Jelouis

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-05-2012 - 13:08

Bài 167: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=xyz$ . CMR:
$$xy+zy+zx+9\geq 4(x+y+z)$$
Đề thi thử Trường THPT Trần Hưng Đạo Hưng Yên 2012



Lâu quá mới được onl , toàn cắm đầu vào thi , chán ghê =.=!!
Ta có :
$xy+yz+zx+9 \geq 4\sqrt[4]{9x^2y^2z^2} = 4 \sqrt{3xyz} $
$= 4\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh :
$\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} \geq x+y+z .$
Điều này đúng theo $Cauchy-Schwarz.$
$\Longrightarrow$ điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jelouis: 02-05-2012 - 13:26

Hope for the best , prepare for the worst.!!!

#412 Jelouis

Jelouis

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-05-2012 - 13:23

Bài 168 : Cho các số thực dương $a,b,c$ thay đổi thoả mãn $a+b+c=1.$Chứng minh rằng :
$\frac{a+b^2+c^3}{b+c}+\frac{b+c^2+a^3}{c+a}+\frac{c+a^2+b^3}{a+b} \geq \frac{13}{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 02-05-2012 - 21:50
thiếu đề

Hope for the best , prepare for the worst.!!!

#413 werfdsa

werfdsa

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-05-2012 - 14:48

cho em hỏi:
$\left(a+b+c\right )^{2}\geq \left( ac+ab+bc\right )$
phải không ạ?

@vietfrog: Không nên hỏi những câu let tẻ như thế này nhé :D.
P/s: ${\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3.\left( {xy + yz + xz} \right)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 02-05-2012 - 16:52


#414 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 02-05-2012 - 16:20

Bài 170.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$ . Chứng ,minh rằng :
$$\dfrac{1+ab^2}{c^3}+\dfrac{1+bc^2}{a^3}+\dfrac{1+ca^2}{b^3}\ge \dfrac{18}{a^3+b^3+c^3}$$
Bài 171.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#415 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 02-05-2012 - 16:57

Bài 170.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$ . Chứng ,minh rằng :
$$\dfrac{1+ab^2}{c^3}+\dfrac{1+bc^2}{a^3}+\dfrac{1+ca^2}{b^3}\ge \dfrac{18}{a^3+b^3+c^3}$$

Lời giải
Áp dụng lần lượt BĐT Cauchy -Schwarz , Minkowsky ,AM-GM, Giả thiết ta có: :D
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{1 + a{b^2}}}{{{c^3}}} + \frac{{1 + b{c^2}}}{{{a^3}}} + \frac{{1 + c{a^2}}}{{{b^3}}} \ge \frac{{{{\left( {\sqrt {1 + a{b^2}} + \sqrt {1 + b{c^2}} + \sqrt {1 + c{a^2}} } \right)}^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} \ge \frac{{{{\left( {\sqrt {{{\left( {1 + 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {b\sqrt a + c\sqrt b + a\sqrt c } \right)}^2}} } \right)}^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}}\\
{ \ge \frac{{{3^2} + {{\left( {3\sqrt[3]{{abc\sqrt {abc} }}} \right)}^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} = \frac{{{3^2} + {3^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} = \frac{{18}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}}
\end{array}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 02-05-2012 - 17:16

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#416 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 02-05-2012 - 17:23

Bài 171.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Lời giải
Áp dụng BĐT Cauchy -Schwarz và AM-GM ta có:
\[a\sqrt b + b\sqrt c + c\sqrt a \le \sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + ac + bc} \right)} = \sqrt {ab + ac + bc} \le \sqrt {\frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]
Dấu $=$ khi $a=b=c=1/3$

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#417 Jewellery

Jewellery

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 02-05-2012 - 17:25

Bài 171.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-Cop-ski ta có:
$$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\leq \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ac)}=\sqrt{ab+bc+ac}$$
Mà $$(ab+bc+ac)\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$$
Nên $$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Điều phải chứng minh $\square$

#418 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 02-05-2012 - 17:37

Lâu lắm không làm BĐT ở đây, dạo này cũng hơi bận :D. Cảm ơn Huy và Kiên cùng mọi người đã duy trì topic. :D
Xin góp vài bài.
Bài 172: ( Bài này chắc cũng quen nhưng chế đi tí :D )
Cho $a,b,c>0;a+b+c=k$ với $k$ là số thực.
Tìm GTNN của biểu thức: \[P = \frac{{a + 1}}{{{b^2} + 1}} + \frac{{b + 1}}{{{c^2} + 1}} + \frac{{c + 1}}{{{a^2} + 1}}\]
Bài 173: (Sưu tầm )
Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác nhau. Chứng minh rằng:
\[3m < a + b + c - \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} < a + b + c + \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} < 3M\]
Trong đó: $m = Min\{ a,b,c\} ;M = Max\{ a,b,c\} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 02-05-2012 - 17:38

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#419 Jelouis

Jelouis

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-05-2012 - 18:46

Bài 168 : Cho các số thực $a,b,c$ thay đổi thoả mãn $a+b+c=1.$Chứng minh rằng :
$\frac{a+b^2+c^3}{b+c}+\frac{b+c^2+a^3}{c+a}+\frac{c+a^2+b^3}{a+b} \geq \frac{13}{6}$


Lời giải :
Ta dễ dàng nhận ra , đây là bài tìm giá trị nhỏ nhất cua ba bất đẳng thức nhỏ :

$A = \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} ( Nesbit )$
$B=\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2} =\frac{1}{2}$
$C=\frac{c^3}{b+c}+\frac{a^3}{c+a}+\frac{b^3}{a+b} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{bc+c^2+ac+a^2+ab+b^2}$
$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$ $\geq \frac{a+b+c}{6}=\frac{1}{6}$
$A+B+C=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$
$\Longrightarrow$ điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jelouis: 02-05-2012 - 18:48

Hope for the best , prepare for the worst.!!!

#420 Jewellery

Jewellery

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 02-05-2012 - 20:42

Bài 173: (Sưu tầm )
Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác nhau. Chứng minh rằng:
\[3m < a + b + c - \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} < a + b + c + \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} < 3M\]
Trong đó: $m = Min\{ a,b,c\} ;M = Max\{ a,b,c\} $

#418 em làm trùng ^_^ anh xóa hộ
Chả biết làm như thế này được không
Giả sử $a<b<c$
Ta quy về chứng minh BĐT sau
\[
3a < a + b + c - \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} < 3b < a + b + c + \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} < 3c
\]
Xét hàm số $f(x) = (x - a)(x - b)(x - c) \Rightarrow f(a) = f(b) = f© = 0$
Theo định lý Lagrage tồn tại $a < x_1 < b < x_2 < c$ sao cho $f(a) - f(b) = (a - b)f'(x_1 )$
\[
f© - f(b) = (c - b)f'(x_1 ) \Rightarrow f'(x_1 ) = f'(x_2 ) = 0
\]
\[
f'(x) = 3x^2 - 2(a + b + c)x + ab + bc + ca
\]
\[
\Rightarrow x_1 = \frac{{a + b + c - \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} }}{3}
\]
\[
x_2 = \frac{{a + b + c + \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} }}{3}
\]
Do đó từ $a < x_1 < b < x_2 < c$
Suy ra $$3a < a + b + c - \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} < 3b < a + b + c + \sqrt {a^2+ b^2 + c^2 ab -bc -ca} < 3c$$
Suy ra điều phải chứng minh :icon10:.
@vietfrog: Lời giải bài 173 của bạn rất hay. :D. Ngoài ra bài làm ở #418 hoàn toàn đúng nên mình sẽ không xóa đâu :D.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 02-05-2012 - 21:56





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh