Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tản mạn BĐT


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 436 trả lời

#421 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 02-05-2012 - 20:53

Lời giải :
Ta dễ dàng nhận ra , đây là bài tìm giá trị nhỏ nhất cua ba bất đẳng thức nhỏ :

$A = \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} ( Nesbit )$
$B=\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2} =\frac{1}{2}$
$C=\frac{c^3}{b+c}+\frac{a^3}{c+a}+\frac{b^3}{a+b} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{bc+c^2+ac+a^2+ab+b^2}$
$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$ $\geq \frac{a+b+c}{6}=\frac{1}{6}$
$A+B+C=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$
$\Longrightarrow$ điều phải chứng minh

$a,b,c$ đã dương đâu mà áp dụng như vậy. Xem lại nhé! :D

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#422 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 02-05-2012 - 21:03

Thêm ít bài cho phong phú :D
Bài 174.
Cho $a,b,c,d \in \left (0, \dfrac{1}{2}\right ]$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{abcd}{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}\le \dfrac{a^4+b^4+c^4+d^4}{(1-a)^4+(1-b)^4+(1-c)^4+(1-d)^4}$$
Bài 175.
Cho $n \ge 1$ . Chứng minh rằng :
$$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+\sqrt{...+\sqrt{2n-1}}}}} <2$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#423 Jelouis

Jelouis

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-05-2012 - 21:18

$a,b,c$ đã dương đâu mà áp dụng như vậy. Xem lại nhé! :D


Xin lỗi ạ . thiếu đề ;)
đây là một câu trong đề thi thử , nguyên văn đề của nó là :
Cho các số thực dương $a,b,c$ thay đổi thoả mãn $a+b+c=1 $. Chứng minh rằng :
$\frac{a+b^2}{b+c}+\frac{b+c^2}{a+c}+\frac{c+a^2}{a+b} \geq 2$

@vietfrog: Chế đề hả :D. Anh đã sửa đề! Mọi người thử xem xét xem Bài 168 nếu đề cho là 3 số thực thì có giải được không và giải như thế nào nhé. :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 02-05-2012 - 21:54

Hope for the best , prepare for the worst.!!!

#424 nhana1

nhana1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:hãy cố gắng khi còn có thể !!!!!!!!!cố lên !

Đã gửi 14-06-2012 - 21:43

Bài 176 : cho a,b,c>0 vvà abc=1. tìm min P

p=
$\frac{b}{1+ab}+\frac{c}{1+bc}+\frac{a}{1+ca}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhana1: 14-06-2012 - 21:47

Hình đã gửi

Hỡi nhân gian ai là người giỏi toán
Xin giải cho tôi bài toán về tình yêu
Giả thiết cho rằng tôi yêu người đó
Chứng minh rằng người đó cũng yêu tôi?

#425 kainguyen

kainguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-06-2012 - 21:54

Bài 176 : cho a,b,c>0 vvà abc=1. tìm min P

p=
$\frac{b}{1+ab}+\frac{c}{1+bc}+\frac{a}{1+ca}$



Do $abc=1$ nên không mất tính tổng quát, ta đặt: $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$

Khi đó, ta có:

$P=\frac{b}{1+ab}+\frac{c}{1+bc}+\frac{a}{1+ca}$

$=\frac{\frac{y}{z}}{1+\frac{x}{y}.\frac{y}{z}}+ \frac{\frac{z}{x}}{1+\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}+ \frac { \frac{x}{y}}{1+\frac{z}{x}.\frac{x}{y}}$

$=\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}$

Theo Cauchy - Schwarz, ta có:

$P \geq \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)}\geq \frac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Vậy $MinP=\frac{3}{2}$ tại $a=b=c=1$

#426 nhana1

nhana1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:hãy cố gắng khi còn có thể !!!!!!!!!cố lên !

Đã gửi 15-06-2012 - 11:26

Bài 177:cho a,b,c>0 và a+b+c=$\frac{3}{4}$ tìm MinP

P=
$\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$
Bài178 choa,b,c>0 a2 +b2 +c2=3. Tìm min P

P=
$\frac{a^3{}}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{b^3{}}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{c^3{}}{\sqrt[3]{c+3a}}$
Hình đã gửi

Hỡi nhân gian ai là người giỏi toán
Xin giải cho tôi bài toán về tình yêu
Giả thiết cho rằng tôi yêu người đó
Chứng minh rằng người đó cũng yêu tôi?

#427 kainguyen

kainguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 15-06-2012 - 20:48

Bài 177:cho a,b,c>0 và a+b+c=$\frac{3}{4}$ tìm MinP

P=
$\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$



Theo AM - GM, ta có:

$P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{(a+3b)(b+3c)(c+3a)}}}$

Cũng theo AM - GM, ta có:

$(a+3b)(b+3c)(c+3a)\leq (\frac{4(a+b+c)}{3})^3=1$

Từ đây, ta suy ra: $P\geq 3$

Vậy $MinP=3$ tại $a=b=c=\frac{1}{4}$

#428 kainguyen

kainguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 15-06-2012 - 21:18

Bài178 choa,b,c>0 a2 +b2 +c2=3. Tìm min P

P=
$\frac{a^3{}}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{b^3{}}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{c^3{}}{\sqrt[3]{c+3a}}$



Theo Cauchy - Schwarz, ta có:

$P=\frac{a^3}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{b^3}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{c^3}{\sqrt[3]{c+3a}}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a\sqrt[3]{a+3b}+b\sqrt[3]{b+3c}+c\sqrt[3]{c+3a}}$

Cũng theo Cauchy - Schwarz, ta có:

$(a\sqrt[3]{a+3b}+b\sqrt[3]{b+3c}+c\sqrt[3]{c+3a})^2\leq (a^2+b^2+c^2)(\sqrt[3]{(a+3b)^2}+\sqrt[3]{(b+3c)^2}+\sqrt[3]{(c+3a)^2})=3(\sqrt[3]{(a+3b)^2}+\sqrt[3]{(b+3c)^2}+\sqrt[3]{(c+3a)^2})$

Theo AM - GM, ta có:

$\sqrt[3]{(a+3b)^2}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}\sqrt[3]{(a+3b)(a+3b).4}\leq \frac{1}{\sqrt[3]{4}}.\frac{2a+6b+4}{3} $

Tương tự với các biểu thức còn lại, cộng theo từng vế, ta được:

$\sqrt[3]{(a+3b)^2}+\sqrt[3]{(b+3c)^2}+\sqrt[3]{(c+3a)^2}\leq \frac{1}{\sqrt[3]{4}}.\frac{8(a+b+c)+12}{3}\leq \frac{12}{\sqrt[3]{4}}$

do $(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow a+b+c\leq 3$

Từ đây, suy ra:

$(a\sqrt[3]{a+3b}+b\sqrt[3]{b+3c}+c\sqrt[3]{c+3a})^2\leq 3.\frac{12}{\sqrt[3]{4}}=\frac{36}{\sqrt[3]{4}}$

$\Rightarrow a\sqrt[3]{a+3b}+b\sqrt[3]{b+3c}+c\sqrt[3]{c+3a}\leq \frac{6}{\sqrt[6]{4}}$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{\frac{6}{\sqrt[6]{4}}}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$

Vậy $MinP=\frac{3}{\sqrt[3]{4}} $ tại $a=b=c=1$.

#429 pnhungqt

pnhungqt

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-06-2012 - 21:46

Bài178 choa,b,c>0 a2 +b2 +c2=3. Tìm min P

P=
$\frac{a^3{}}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{b^3{}}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{c^3{}}{\sqrt[3]{c+3a}}$

Lời giải:
Ta có Theo BĐT Cauchy:
$\sqrt[3]{16}.\sqrt[3]{a+3b}=\sqrt[3]{4.4.(a+3b)}\leq \frac{a+3b+8}{3}\Leftrightarrow \sqrt[3]{a+3b}\leq \frac{a+3b+8}{3\sqrt[3]{16}}$$\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq \frac{3\sqrt[3]{16}.a^{3}}{a+3b+8}=\frac{3\sqrt[3]{16}.a^{4}}{a^{2}+3ab+8a}$
Tương tự ta cũng có các BĐT:$\frac{b^{3}}{\sqrt[3]{b+3c}}\geq \frac{3\sqrt[3]{16}.b^{4}}{b^{2}+3bc+8b}$ và $\frac{c^{3}}{\sqrt[3]{c+3a}}\geq \frac{3\sqrt[3]{16}.c^{4}}{c^{2}+3ca+8c}$
Vậy theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$P=\sum \frac{a^{3}}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq \sum \frac{3\sqrt[3]{16}.a^{4}}{a^{2}+3ab+8a}\geq 3\sqrt[3]{16}.\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3(ab+bc+ca)+8(a+b+c)}$
Mặt khác áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho các bộ 3 số ta có:
$3(ab+bc+ca)\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$8(a+b+c)\leq 8\sqrt{(1^{2}+1^{2}+1^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=8\sqrt{3.3}=24$
Vậy $P\geq 3\sqrt[3]{16}.\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+24}=\frac{3\sqrt[3]{16}.9}{4.3+24}\doteq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Vậy $Min P=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$ tại $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pnhungqt: 15-06-2012 - 21:54


#430 nhana1

nhana1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:hãy cố gắng khi còn có thể !!!!!!!!!cố lên !

Đã gửi 15-06-2012 - 22:18

Bài 179: cho a,b,c>0 cm

$\frac{a^{2}}{b^{5}}+ \frac{b^{2}}{c^{5}}+\frac{c^{2}}{d^{5}}+\frac{d^{2}}{a^{}5}\geq \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{}3}+\frac{1}{d^{3}}$
Hình đã gửi

Hỡi nhân gian ai là người giỏi toán
Xin giải cho tôi bài toán về tình yêu
Giả thiết cho rằng tôi yêu người đó
Chứng minh rằng người đó cũng yêu tôi?

#431 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 15-06-2012 - 23:07

Bài 179: cho a,b,c>0 cm

$\frac{a^{2}}{b^{5}}+ \frac{b^{2}}{c^{5}}+\frac{c^{2}}{d^{5}}+\frac{d^{2}}{a^{}5}\geq \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{}3}+\frac{1}{d^{3}}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$$\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{a^{3}} \geq \frac{5}{b^3}$$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng lại là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 15-06-2012 - 23:08

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#432 nhana1

nhana1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:hãy cố gắng khi còn có thể !!!!!!!!!cố lên !

Đã gửi 15-06-2012 - 23:23

Bài180 cho a,b,c $\in$ R. Cm

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$
Hình đã gửi

Hỡi nhân gian ai là người giỏi toán
Xin giải cho tôi bài toán về tình yêu
Giả thiết cho rằng tôi yêu người đó
Chứng minh rằng người đó cũng yêu tôi?

#433 kainguyen

kainguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 16-06-2012 - 10:01

Bài180 cho a,b,c $\in$ R. Cm

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$



Bạn ơi, bđt này đúng với $a,b,c>0$ thôi (cứ thử với $a=-3;b=-2;c=-1$ là rõ :) )

Ta sẽ chứng minh: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}$

Thật vậy, ta có:

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}$

$\Rightarrow a^3-a^2b-ab^2+b^3\geq 0$

$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0$

đúng do $a,b,c >0$

Tương tự với các biểu thức khác, cộng lại ta được đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kainguyen: 16-06-2012 - 10:02


#434 nhana1

nhana1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:hãy cố gắng khi còn có thể !!!!!!!!!cố lên !

Đã gửi 16-06-2012 - 12:34

Bạn ơi, bđt này đúng với $a,b,c>0$ thôi (cứ thử với $a=-3;b=-2;c=-1$ là rõ :) )

Ta sẽ chứng minh: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}$

Thật vậy, ta có:

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}$

$\Rightarrow a^3-a^2b-ab^2+b^3\geq 0$

$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0$

đúng do $a,b,c >0$

Tương tự với các biểu thức khác, cộng lại ta được đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$


bạn ơi theo mình nghĩ thì a,b,c thuộc R là đúng mà !
____
Theo mình là a,b,c>0 mới đúng đó bạn ạ. :closedeyes:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-06-2012 - 12:39

Hình đã gửi

Hỡi nhân gian ai là người giỏi toán
Xin giải cho tôi bài toán về tình yêu
Giả thiết cho rằng tôi yêu người đó
Chứng minh rằng người đó cũng yêu tôi?

#435 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 08-07-2012 - 17:24

Bài toán 181.
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng :
$$3\sqrt[9]{\dfrac{a^9+b^9+c^9}{3}}\ge \sqrt[10]{\dfrac{a^{10}+b^{10}}{2}}+\sqrt[10]{\dfrac{b^{10}+c^{10}}{2}}+\sqrt[10]{\dfrac{c^{10}+a^{10}}{2}}$$
Bài toán 182.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\dfrac{(4\sqrt{2}-3)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\ge 4\sqrt{2}$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#436 MaiAn2604

MaiAn2604

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 09-09-2014 - 22:54

Ta có $2=a+\frac{2*b}{2}+\frac{3*c}{3}+\frac{6*36abc}{6}\geq 12\sqrt[12]{\frac{36^6*a^7*b^8*c^9}{2^2*3^3*6^6}}=12\sqrt[12]{432*P}
 

cho mình hỏi tại sao bạn lại suy ra chỗ này. 



#437 MaiAn2604

MaiAn2604

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 09-09-2014 - 23:00

Ta có $2=a+\frac{2*b}{2}+\frac{3*c}{3}+\frac{6*36abc}{6}\geq 12\sqrt[12]{\frac{36^6*a^7*b^8*c^9}{2^2*3^3*6^6}}=12\sqrt[12]{432*P}\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{11^{12}*432}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=\frac{1}{6},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{2}$

cho mình hỏi cái đầu tiên bạn suy ra ntn vậy. dấu $\geq$ đầu tiên ấy


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MaiAn2604: 09-09-2014 - 23:04





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh