Đến nội dung

Hình ảnh

Tản mạn BĐT


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 436 trả lời

#381
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Bài này mình xin đánh lại đề và làm luôn
Bài 145. Cho $a, b, c \ge 0 ; a + b + c > 0$. Tìm GTNN của
$$ P = \dfrac{a^3 + b^3 + 16c^3}{(a + b + c)^3}$$
Giải
Theo bđt Holder, ta có $$(a^3 + b^3 + 16c^3)(1 + 1 + \dfrac{1}{4})(1 + 1 + \dfrac{1}{4}) \ge (a + b + c)^3 \Leftrightarrow P \ge \dfrac{1}{\dfrac{9^2}{4^2}} = \dfrac{16}{81}$$
\

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 16-02-2012 - 20:26

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#382
Dont Cry

Dont Cry

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
Bài 146 :Cho $a,b,c$ dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=12$
Tìm GTN của biểu thức
P= $ \dfrac{1}{ \sqrt{1+a^3}} + \dfrac{1}{ \sqrt{1+b^3}} + \dfrac{1}{ \sqrt{1+c^3}}$
nhiều cách.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dont Cry: 16-02-2012 - 19:44


#383
Dont Cry

Dont Cry

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
Bài 147: Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$
.Tìm GTNN:
P= $\dfrac{a}{ \sqrt{a + \sqrt{6bc}}} + \dfrac{2b}{ \sqrt{2b + \sqrt{3ca}}} + \dfrac{3c}{ \sqrt{3c +\sqrt{2ab}}}$

#384
caoduylam

caoduylam

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
Bài 148:
Chứng minh bất đẳng thức:
$\frac{a}{{\sqrt {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {2{c^2} + 2{a^2} - {b^2}} }} + \frac{c}{{\sqrt {2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} }} \ge \sqrt 3 $
với $a,b,c$ là những số dương sao cho căn thức tồn tại.
Bài 149:
Chứng minh rằng với mọi $a,b,c > 0$, ta có:
$\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} \ge 3\sqrt[4]{{\frac{{{a^4} + {b^4} + {c^4}}}{3}}}$

#385
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết

Bài 148:
Chứng minh bất đẳng thức:
$\frac{a}{{\sqrt {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {2{c^2} + 2{a^2} - {b^2}} }} + \frac{c}{{\sqrt {2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} }} \ge \sqrt 3 $
với $a,b,c$ là những số dương sao cho căn thức tồn tại.
Bài 149:
Chứng minh rằng với mọi $a,b,c > 0$, ta có:
$\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} \ge 3\sqrt[4]{{\frac{{{a^4} + {b^4} + {c^4}}}{3}}}$

Cảm ơn bạn đã tham gia topic này
Mình xin làm trước Bài 148.
Ta có $$\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}.\sqrt{3}a \le \dfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2 + 3a^2}{2} = \dfrac{2(a^2 + b^2 + c^2)}{2} = a^2 + b^2 + c^2 \Leftrightarrow \dfrac{a}{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}} \ge \dfrac{\sqrt{3}a^2}{a^2 + b^2 + c^2}$$
Do đó :
$$\frac{a}{{\sqrt {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {2{c^2} + 2{a^2} - {b^2}} }} + \frac{c}{{\sqrt {2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} }} \ge \dfrac{\sqrt{3}(a^2 + b^2 + c^2)}{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{3}$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#386
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Góp một bài đơn giản.

Bài 150:

Cho $\left\{\begin{matrix}
x,y,z>0 & \\
x\geqslant 9& \\
x+y\geqslant 13& \\
x+y+z=14&
\end{matrix}\right.$. Tìm GTLN của $P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

#387
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Với bài này, Mình xin làm như sau
Ta có $$9P^2 = \left ((3\sqrt{x} + 3\sqrt{y} + 3\sqrt{z}\right) )^2 \le \left (9 + 6 + 3 )(x + \dfrac{3y}{2} + \dfrac3z \right ) = 18.\dfrac{2x + 3y + 6z}{2} = 9\left (2(x + y + z) + (y + z) + 3z\right )$$
Lại có $x + y + z = 14, x \ge 9 \Leftrightarrow y + z \le 5 ,$ $ x + y \ge 13 \Leftrightarrow z \le 1$
Nên $$ P^2 \le 2(x + y + z) + (y + z) + 2z \le 2.14 + 5 + 3 = 36 \Leftrightarrow P \le 6$$
Vậy $P_{max} = 6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 20-02-2012 - 21:44

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#388
Dont Cry

Dont Cry

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
Bài 151: Tìm GTLN
P=$\dfrac{16x^4+81y^4}{(2x+3y)^4}+ \dfrac{4x^2+9y^2}{(2x+3y)^2}+ \dfrac{5 \sqrt{6xy}}{2x+3y}$
với $x,y>0$.
(đề thi thử thpt Nguyễn Trãi Hải Dương.)
Mọi người dÙng kiến thức thi DH thôi nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dont Cry: 20-02-2012 - 22:30


#389
le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết

Bài 146 :Cho $a,b,c$ dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=12$
Tìm GTN của biểu thức
P= $ \dfrac{1}{ \sqrt{1+a^3}} + \dfrac{1}{ \sqrt{1+b^3}} + \dfrac{1}{ \sqrt{1+c^3}}$
nhiều cách.


Có 1 cách như thế này, sử dụng AM-GM và Cauchy-schwarz

$P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}=\sum \frac{1}{\sqrt{(1+a)(1-a+a^2)}}\geq \sum \frac{2}{2+a^2}\geq \frac{2*9}{6+a^2+b^2+c^2}=1$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 20-02-2012 - 22:09


#390
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Gần off lâu dài nên mình xin tặng mọi người một loạt các bài toán hay về bđt
Bài 152.Cho các số âm phân biệt $a, b, c$. Chứng minh :
$$\left (a^2 + b^2 + c^2\right )\left (\dfrac{1}{(a - b)^2} + \dfrac{1}{(b - c)^2} + \dfrac{1}{(c - a)^2} \right ) \ge \dfrac{11 + 5\sqrt{5}}{2}$$
Bài 153. Cho $\left\{\begin{array}{1}0 < a \le b \le c \le d \\bc \le ad \end{array} \right.$
Chứng minh rằng $$a^bb^cc^dd^a \le a^dd^cc^bb^a$$
Bài 154. Cho 3 số $x, y, z$ thay đổi thoả mãn :$\left\{\begin{array}{1} 2 \ge x \ge y \ge z \\ x + y \le 3 \\x + y + z \le 3 \end{array}\right.$
Tìm GTLN của $S = 2^x + 2^y + 2^z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-02-2012 - 22:22

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#391
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Topic yên lặng quá !

Bài 143 : Cho $x,y,z$ thuộc khoang $(1/3,1)$ thoa mãn $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$
Tìm GTNN của $P=x^2+y^2 +z^2$

Từ $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$, ta có $2(xy + yz + zx) = 2(2xyz + x + y + z - 1) \Leftrightarrow (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + zx) = (x + y + z)^2 - 2(x + y + z) - 4xyz + 2$ $
\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(x + y + z) + 2 - 4xyz \ge (x + y + z)^2 - 2(x + y + z) + 2 - 4\left (\dfrac{x + y + z}{3} \right )^3 = t^2 - 2t + 2 - \dfrac{4t^3}{27}$
$ = (\dfrac{2t}{3} - 1)^2(\dfrac{15}{12} - 3t) + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}$

Bài 147: Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$
.Tìm GTNN:
P= $\dfrac{a}{ \sqrt{a + \sqrt{6bc}}} + \dfrac{2b}{ \sqrt{2b + \sqrt{3ca}}} + \dfrac{3c}{ \sqrt{3c +\sqrt{2ab}}}$

Đặt : $\sqrt{2b} = y, \sqrt{3c} = z, \sqrt{a} = x$ Lúc đó $xyz = \sqrt{6}$
$$ P= \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2 + yz}} + \dfrac{y^2}{\sqrt{y^2 + xz}} + \dfrac{z^2}{\sqrt{z^2 + xy}} \ge \dfrac{(x + y + z)^2}{\sqrt{x^2 + yz} + \sqrt{y^2 + zx} + \sqrt{z^2 + xy}} $$
Nên $$ P^2 \ge \left (\dfrac{(x + y + z)^2}{\sqrt{x^2 + yz} + \sqrt{y^2 + zx} + \sqrt{z^2 + xy}}\right )^2$$ $$ \ge \dfrac{(x + y + z)^4}{3.(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx} = \dfrac{t^2}{3.t - 9(xy + yz + zx)} \ge \dfrac{t^2}{3t - 27\sqrt[3]{6}}$$
Với $t = (x + y + z)^2 \ge 9\sqrt[3]{6}$
Đến đây khảo sát hàm số (x = y = z)

Bài 149:
Chứng minh rằng với mọi $a,b,c > 0$, ta có:
$\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} \ge 3\sqrt[4]{{\frac{{{a^4} + {b^4} + {c^4}}}{3}}}$

Ta có :$$\left (\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a}\right )^2.(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) \ge (a^2 + b^2 + c^2)^3$$
Ta sẽ chứng minh $ (a^2 + b^2 + c^2)^3 \ge 3(a^2b^2 + b^2c^2 +c^2a^2)\sqrt{3(a^4 + b^4 + c^4)}$
Thật vậy, chỉ cần chuẩn hoá $a^2 + b^2 + c^2 = 3$, viết lại
BĐT $3^3 \ge 3t.\sqrt{3(9 - t)}$
đến đây thì rất dễ dàng rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 23-02-2012 - 18:30

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#392
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 155: Tìm GTNN của
$T=\frac{ab+bc}{a^2-b^2+c^2}+\frac{bc+ac}{b^2+a^2-c^2}+\frac{ab+ac}{c^2-a^2+b^2}$
Trong đó a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác và abc=1
Bài 156: Cho a,b,c thực dương thoả mãn $abc=1$
CMR: $\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+2c^3+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^3+2a^3+6}}\leq 1$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#393
caoduylam

caoduylam

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Topic yên lặng quá !

Từ $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$, ta có $2(xy + yz + zx) = 2(2xyz + x + y + z - 1) \Leftrightarrow (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + zx) = (x + y + z)^2 - 2(x + y + z) - 4xyz + 2$ $
\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(x + y + z) + 2 - 4xyz \ge (x + y + z)^2 - 2(x + y + z) + 2 - 4\left (\dfrac{x + y + z}{3} \right )^3 = t^2 - 2t + 2 - \dfrac{4t^3}{27}$
$ = (\dfrac{2t}{3} - 1)^2(\dfrac{15}{12} - 3t) + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}$


Đặt : $\sqrt{2b} = y, \sqrt{3c} = z, \sqrt{a} = x$ Lúc đó $xyz = \sqrt{6}$
$$ P= \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2 + yz}} + \dfrac{y^2}{\sqrt{y^2 + xz}} + \dfrac{z^2}{\sqrt{z^2 + xy}} \ge \dfrac{(x + y + z)^2}{\sqrt{x^2 + yz} + \sqrt{y^2 + zx} + \sqrt{z^2 + xy}} $$
Nên $$ P^2 \ge \left (\dfrac{(x + y + z)^2}{\sqrt{x^2 + yz} + \sqrt{y^2 + zx} + \sqrt{z^2 + xy}}\right )^2$$ $$ \ge \dfrac{(x + y + z)^4}{3.(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx} = \dfrac{t^2}{3.t - 9(xy + yz + zx)} \ge \dfrac{t^2}{3t - 27\sqrt[3]{6}}$$
Với $t = (x + y + z)^2 \ge 9\sqrt[3]{6}$
Đến đây khảo sát hàm số (x = y = z)

Bài 149:
Chứng minh rằng với mọi $a,b,c > 0$, ta có:
$\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} \ge 3\sqrt[4]{{\frac{{{a^4} + {b^4} + {c^4}}}{3}}}$

Ta có :$$\left (\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a}\right )^2.(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) \ge (a^2 + b^2 + c^2)^3$$
Ta sẽ chứng minh $ (a^2 + b^2 + c^2)^3 \ge 3(a^2b^2 + b^2c^2 +c^2a^2)\sqrt{3(a^4 + b^4 + c^4)}$
Thật vậy, chỉ cần chuẩn hoá $a^2 + b^2 + c^2 = 3$, viết lại
BĐT $3^3 \ge 3t.\sqrt{3(9 - t)}$
đến đây thì rất dễ dàng rồi.

Bạn có thể giải bài 149 bằng bất đẳng thức Holder không ?

#394
Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
Bài 157:Cho $x$, $y$, $z$ $\in\mathbb{R}$, $(x-y)(y-z)(z-x)\neq 0$, $m>0$, chứng minh rằng:
$\sum_{cyc} \frac{x^my^m}{(x-z)^m(y-z)^m}\geq\frac{1}{2^{m-1}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trần Đức Anh @@: 03-03-2012 - 21:24

Chữ ký spam! Không cần xoá!

#395
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 151: Tìm GTLN
P=$\dfrac{16x^4+81y^4}{(2x+3y)^4}+ \dfrac{4x^2+9y^2}{(2x+3y)^2}+ \dfrac{5 \sqrt{6xy}}{2x+3y}$
với $x,y>0$.
(đề thi thử thpt Nguyễn Trãi Hải Dương.)
Mọi người dÙng kiến thức thi DH thôi nhé.

Biến đổi ta có:
$ P=2+\frac{2x^2y^2}{(x+y)^4}-\frac{6xy}{(x+y)^2}+ \frac{5\sqrt{xy}}{x+y} $
Từ đó đặt $ t=\frac{\sqrt{xy}}{x+y} $ thì $ 0< t\leq \frac{1}{2} $ và
$$ P=2t^{4}-6t^2+5t+2=(2t-1)^2(\frac{t^2}{2}+\frac{t}{2}- \frac{9}{8})+\frac{25}{8}\leq \frac{25}{8} $$
Vì $ t\leq \frac{1}{2} $ nên Max $ P=\frac{25}{8} $ khi $ x=y $

Nguồn MS
Khúc cuối để không phải tách :) ta cũng có thể khảo sát hàm số.

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#396
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 154. Cho 3 số $x, y, z$ thay đổi thoả mãn :$\left\{\begin{array}{1} 2 \ge x \ge y \ge z \\ x + y \le 3 \\x + y + z \le 3 \end{array}\right.$
Tìm GTLN của $S = 2^x + 2^y + 2^z$

Đây là lời giải của anh Cẩn
Nếu $x \le 1$ thì ta có $0 \le x,\,y,\, z \le 1.$ Suy ra $$S \le 2^1+2^1+2^1 =6.$$ Xét trường hợp $1 \le x \le 2$: Do $2^y \ge 1,\,2^z \ge 1$ nên ta có $(2^y-1)(2^z-1) \ge 0,$ suy ra $$2^y+2^z \le 2^{y+z} +1 \le 2^{3-x}+1 \text{ (do $y+z \le 3-x$)}.$$ Từ đó, ta thu được $$S \le 2^x +2^{3-x}+1 =2^x+\frac{8}{2^x} +1 =\frac{(2^x-2)(2^x-4)}{2^x} +7 \le 7.$$ (Chú ý rằng $2^1 \le 2^x \le 2^2$). Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có $S \le 7.$ Ngoài ra, dễ thấy với $x=2,\,y=1$ và $z=0$ thì $S=7.$ Vì vậy, ta đi dến kết luận $\max S =7.$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 04-03-2012 - 11:26

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#397
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 154. Cho 3 số $x, y, z$ thay đổi thoả mãn :$\left\{\begin{array}{1} 2 \ge x \ge y \ge z \\ x + y \le 3 \\x + y + z \le 3 \end{array}\right.$
Tìm GTLN của $S = 2^x + 2^y + 2^z$

Từ giả thiết suy ra $2^x\le 4,2^{x+y}\leq 8,2^{x+y+z}\Rightarrow \frac{4}{2^x}\ge 1,\frac{4}{2^x}+\frac{2}{2^y}\geq 2;\frac{4}{2^x}+\frac{2}{2^y}+\frac{1}{2^z}\geq 3$
Ta có: $4+2+1=\frac{4}{26x}(2^x-2^y)+(\frac{4}{2^x}+\frac{2}{2^y})(2^y-2^z)+(\frac{4}{2^x}+\frac{2}{2^y}+\frac{1}{2^z})2^z\geq 1(2^x-2^y)+2(2^y-2^z)+3.2^z$

Suy ra $S\le7$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=2;y=1;z=0$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#398
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 155: Tìm GTNN của
$T=\frac{ab+bc}{a^2-b^2+c^2}+\frac{bc+ac}{b^2+a^2-c^2}+\frac{ab+ac}{c^2-a^2+b^2}$
Trong đó a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác và abc=1


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$T=\frac{ab+bc}{a^2-b^2+c^2}+\frac{bc+ca}{b^2-c^2+a^2}+\frac{ac+ab}{c^2-a^2+b^2}$$

Với a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác ABC và $abc=1$

Lời giải:

Nhận xét rằng T chỉ là GTNN trong trường hợp tam giác ABC nhọn. Thật vậy.
  • Nếu tam giác ABC vuông chẳng hạn tại A thì $c^2-a^2+b^2=0$, biểu thức T không xác định.
  • Nếu tam giác ABC tù chẳng hạn tại A.

Chọn $b=c=\frac{1}{\sqrt[6]{a}}-\alpha (\alpha \in \mathbb{R}$ đủ nhỏ ), $a=\frac{1}{bc}$. Khi đó rõ ràng $T \to + \infty $ khi $\alpha \to 0$. Lúc này T không đạt GTNN.
  • Xét trường hợp tam giác ABC nhọn. Khi đó $a^2-b^2+c^2;a^2+b^2-c^2;c^2-a^2+b^2$ là các số dương.

Áp dụng BĐT AM-GM

$$T = ab(\frac{1}{{a^2 - b^2 + c^2 }} + \frac{1}{{c^2 - a^2 + b^2 }}) + bc(\frac{1}{{b^2 - c^2 + a^2 }} + \frac{1}{{b^2 - c^2 + a^2 }}) + ac(\frac{1}{{c^2 - a^2 + b^2 }} + \frac{1}{{b^2 + a^2 - c^2 }}) $$

$$\ge 2(\frac{{ab}}{{c^2 }} + \frac{{bc}}{{a^2 }} + \frac{{ac}}{{b^2 }})$$

$$\frac{{ab}}{{c^2 }} + \frac{{bc}}{{a^2 }} + \frac{{ac}}{{b^2 }} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{ab}}{{c^2 }}.\frac{{bc}}{{a^2 }}.\frac{{ac}}{{b^2 }}}} = 3$$

Do đó $$T \ge 3$$ đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ khi này tam giác ABC đều. $\blacksquare$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#399
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 159: Cho a,b,c thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=3$ .Tìm GTNN của biểu thức
$P=(5a+\frac{2}{b+c})^2+(5b+\frac{2}{a+c})^2+(5c+\frac{2}{b+a})^2$
THTT

Bài 160: Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $xyz=x+y+z+2$
Chứng minh rằng:
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{3}{2}\sqrt{xyz}$
Đề thi thử đại học trường Trần Quốc Tuấn 2011-2012

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 10-03-2012 - 17:23

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#400
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết

Bài 159: Cho a,b,c thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=3$ .Tìm GTNN của biểu thức
$P=(5a+\frac{2}{b+c})^2+(5b+\frac{2}{a+c})^2+(5c+\frac{2}{b+a})^2$
THTT


$$P = 25\left (a^2 + b^2 + c^2 \right ) + 20\left (\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b} \right ) + 4\left (\dfrac{1}{(a + b)^2} + \dfrac{1}{(b + c)^2} + \dfrac{1}{(c + a)^2}\right )$$
Lại có $$20\left (\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b} \right ) \ge 20.\dfrac{3}{2} = 30$$
$$4\left (\dfrac{1}{(a + b)^2} + \dfrac{1}{(c + b)^2} + \dfrac{1}{(c + a)^2} \right ) \ge 4.\dfrac{\left (\dfrac{1}{a + b} + \dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{c + 1} \right )^2}{3} $$ $$\ge \dfrac{4}{3}.\dfrac{81}{4.(a + b + c)^2} \ge \dfrac{27}{9} = 3$$
Nên $$P \ge 25.3 + 30 + 3 = 108$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 11-03-2012 - 23:22

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh