Đến nội dung

Hình ảnh

Tản mạn BĐT


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 436 trả lời

#161
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết

Bài 53
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự ta phải chỉ phải chứng minh
$\dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} + 6}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}} \le 1$
Nhưng rõ ràng bất đẳng thức này có thể dễ dàng cm bởi AM-GM vậy ta có đpcm

Bạn Hoàng chứng minh rõ chỗ này cho mọi người cũng xem đi.
Thanks!

P/s: Bài này vẫn còn 1 cách nữa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 11-09-2011 - 08:48

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#162
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết

Bạn Hoàng chứng minh rõ chỗ này cho mọi người cũng xem đi.
Thanks!

P/s: Bài này vẫn còn 1 cách nữa.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
${a^3} + {b^3} + {c^3} + 6 \le {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} = {a^4} + {b^4} + {c^4} + 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2}$

${\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} = {a^4} + {b^4} + {c^4} + 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2} \ge 2({a^3} + {b^3} + {c^3}) - 3 + 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3} + 6$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#163
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài 41::
Cho $a,b,c,d \in [-1;+ \infty]$.Tìm tất cả các số thực $k$ sao cho BĐT sau đúng:

$\sum_{sym}a^3 +1 \ge k\sum_{sym}a(1)$

Bài giải bài 41:
Trong (1),chọn $a=b=c=d=1$,ta có:$k \le \dfrac{4}{3}$
Trong (1),chọn $a=b=c=d=\dfrac{1}{2}$,ta thu được:$k \ge \dfrac{4}{3}$
Vậy $k=\dfrac{4}{3}$,Ta sẽ chứng minh $k=\dfrac{4}{3}$ là giá trị duy nhất cần tìm.
Thay $k=\dfrac{4}{3}$ vào (1),BĐT trở thành:

$\sum_{a,b,c,d}\left(a^3+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}a \right) \ge 0$

Hay:

$\sum_{a,b,c,d}(a+1)\left(a-\dfrac{1}{2} \right)^2 \ge 0$(luôn đúng $\forall a,b,c,d \in [-1;+\infty)$)


Bài 45: Tìm tất cả các nghiệm dương $a,b,c,d$ của hệ sau:

$ \left\{\begin{array}{l}a+b+c+d=12\\abcd=27+ab+bc+ca+da+db+dc\end{array}\right.$

Bài giải bài 45:
Theo BĐT AM-GM:

$ab+bc+ca+da+db+dc+9+9+9 \overset{AM-GM}{\ge} 9\sqrt[9]{a^3b^3c^3d^3.27}(1)$

Và:

$a+b+c+d+a+b+c+d+3 \overset{AM-GM}{\ge} 9\sqrt[9]{a^2b^2c^2d^2.3}(2)$

Suy ra:

$[2(a+b+c+d)+3]^3(ab+bc+cd+da+db+dc+27) \ge 9^4\sqrt[9]{a^9b^9c^9d^9.27.27}$

Hay:

$ab+bc+ca+da+db+dc+27 \ge abcd$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=3$.Thử lại,ta thấy $a=b=c=d=3$ là nghiệm duy nhất của hệ.Xong.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
P/s:Bài 57: Cho $n$ số thực $a_1;a_2;...a_n$ thỏa mãn:$\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}^2=3,n \ge 2$.Chứng minh rằng:

$\left|\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_{k}}{k+1} \right|<\sqrt{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-09-2011 - 21:25
Thêm đề !

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#164
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết


${\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} = {a^4} + {b^4} + {c^4} + 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2} \ge 2({a^3} + {b^3} + {c^3}) - 3 + 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3} + 6$


Đoạn này mình vẫn chưa hiểu. Hoàng trình bày kĩ hơn nhé. Cảm ơn rất nhiều . ;) ( tại hạ ngu nguội mong được chỉ giáo :D )
Thực ra còn 1 cách nữa như sau:
Ta đánh giá từng phân thức một.
Ta có:
$\dfrac{a}{{a + {b^4} + {c^4}}} = \dfrac{{{a^2}bc}}{{{a^2}bc + {b^4} + {c^4}}} \le \dfrac{{{a^2}bc}}{{{a^2}bc + bc({b^2} + {c^2})}} \le \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$
Làm tương tự với 2 phân thức còn lại rồi cộng lại ta được :
$\sum\limits_{cyc}^{a,b,c} {\dfrac{a}{{a + {b^4} + {c^4}}}} \le 1$ (đpcm)
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 21-09-2011 - 00:20

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#165
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
Thêm một BĐT nữa khá hay, mình đưa lên để mọi người cùng chém.

Bài 58:
Cho $a,b,c \ge 0$. Chứng minh rằng:

$({a^2} + 2)({b^2} + 2)({c^2} + 2) \ge 9(ab + ac + bc)$


P/s: Mọi người thử suy nghĩ trong trường hợp $a,b,c \in R$ nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 13-09-2011 - 12:10
Đánh số cho đúng nhé!

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#166
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết

Thêm một BĐT nữa khá hay, mình đưa lên để mọi người cùng chém.

Bài 57:
Cho $a,b,c \ge 0$. Chứng minh rằng:

$({a^2} + 2)({b^2} + 2)({c^2} + 2) \ge 9(ab + ac + bc)$


P/s: Mọi người thử suy nghĩ trong trường hợp $a,b,c \in R$ nhé!

APMO 2004 phải không.Một bất đẳng thức mạnh hơn cũng đúng
$\left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) \ge 3{\left( {a + b + c} \right)^2}$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#167
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết

Thêm một BĐT nữa khá hay, mình đưa lên để mọi người cùng chém.

Bài 57:
Cho $a,b,c \ge 0$. Chứng minh rằng:

$({a^2} + 2)({b^2} + 2)({c^2} + 2) \ge 9(ab + ac + bc)$


P/s: Mọi người thử suy nghĩ trong trường hợp $a,b,c \in R$ nhé!

Sẽ không có gì đáng bàn lắm trong TH a,b,c là các số thực vì
$VT \ge 9(\left| {ab} \right| + \left| {bc} \right| + \left| {ca} \right|) \ge VP$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#168
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết

Sẽ không có gì đáng bàn lắm trong TH a,b,c là các số thực vì
$VT \ge 9(\left| {ab} \right| + \left| {bc} \right| + \left| {ca} \right|) \ge VP$

Cậu nêu cách chứng minh rõ ràng ra đi.Mình và mọi người đều muốn biết cách làm của Hoàng.
Viết vắn tắt như vậy có vẻ không hay cho lắm.
Topic cần những lời giải rõ ràng bạn ạ!
Thanks.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 12-09-2011 - 16:11

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#169
HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
Bài 58:
BĐT đã cho :-? $ a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+2( a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+4( a^{2}+ b^{2}+ c^{2})+8+a^{2}b^{2}c^{2}\geq 9(ab+bc+ca) $
Ta có:
$3( a^{2}+ b^{2}+ c^{2})\geq 3(ab+bc+ca)$

$2( a^{2}b^{2}+1)+2( b^{2}c^{2}+1)+2(c^{2}a^{2}+1)\geq 4(ab+bc+ca)$
Áp dụng AM-GM:
$ a^{2}b^{2}c^{2}+1+1\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq\dfrac{9abc}{a+b+c}\geq 4(ab+bc+ca)- (a+b+c)^{2}$
$=2(ab+bc+ca)-( a^{2}+ b^{2}+ c^{2})$
Cộng các bất đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh.
Dấu"="xảy ra ;) $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 13-09-2011 - 12:11


#170
HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
Bài 59:(VMO1996) Cho x,y,z là các số không âm thỏa mãn $xy+yz+zx+xyz=4$.Chứng minh
$x+y+z \geq xy+yz+zx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 03-10-2011 - 22:06
Latex


#171
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
vietfrog thông cảm nha :-? Đang cơn lười gõ Latex ;) Cjhi3 gợi ý thôi -_-)

APMO 2004 phải không.Một bất đẳng thức mạnh hơn cũng đúng
$\left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) \ge 3{\left( {a + b + c} \right)^2}$

Xài BDT Bernoulli -_-

Bài 58:(VMO1996) Cho x,y,z là các số không âm thỏa mãn $xy+yz+zx+xyz=4#$.Chứng minh
$x+y+z \geq xy+yz+zx#$

Đổi biến $x=\dfrac{2a}{b+c};....;a,b,c>0$ :Leftrightarrow
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#172
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết

vietfrog thông cảm nha :-? Đang cơn lười gõ Latex ;) Cjhi3 gợi ý thôi -_-

Xài BDT Bernoulli :Leftrightarrow


Bài APMO 2004 có rất nhiều cách giải và đã được mở rộng, làm chặt rất nhiều. Bên cạnh cách như của bạn Hà Quốc Đạt hay cách xài BĐT Bernoulli như của dark templar thì còn có thể có thêm các cách khác.
Không nêu ra hết được nhưng có thể kể tới :
Cách 1: Sử dụng Cauchy-Schwarz :
$({a^2} + 2)({b^2} + c) = ({a^2} + 1)({b^2} + 1) + {a^2} + {b^2} + 3 \ge \dfrac{3}{2}\left[ {{{(a + b)}^2} + 2} \right]$...

Cách 2: Dồn biến với việc đặt : $\dfrac{{a + b}}{2} = t$ sau đó chứng minh : $f(t;t;c) \ge 0$...

@vietfrog :Có rất nhiều hương giải quyết nhưng mong mọi người post lời giải cụ thể lên để các thành viên tiện theo dõi.

@to dark templar : Đi cai bệnh lười gõ latex đi, chứ cứ để đang cơn lười gõ latex thế nguy hiểm lắm -_- . Đi cai đi. VMF vẫn mở rộng vòng tay với những người biết làm lại :Leftrightarrow :Leftrightarrow :Leftrightarrow :Rightarrow

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 13-09-2011 - 12:25

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#173
HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
anh dark templar có thể làm chi tiết hơn được không

#174
Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

P/s:Bài 57: Cho $n$ số thực $a_1;a_2;...a_n$ thỏa mãn:$\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}^2=3,n \ge 2$.Chứng minh rằng:

$\left|\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_{k}}{k+1} \right|<\sqrt{2}$

Không biết tớ làm sai hay sao mà không đụng tới cái điều kiện $n \geq 2 $.
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz .
$ VT < \sqrt{2(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{(n+1)^2} }) $.
Ta có :
$ \dfrac{1}{k^2} < \dfrac{1}{k^2-\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{k-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{1}{k+\dfrac{1}{2}} $.
suy ra $ \dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{(n+1)^2} <\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2}} -\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{3-\dfrac{1}{2}}+...+\dfrac{1}{n+1-\dfrac{1}{2}} -\dfrac{1}{n+1+\dfrac{1}{2}} $.
Do đó $ \dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}-...+\dfrac{1}{(n+1)^2} < \dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{1}{n+1+\dfrac{1}{2}}<1 $.
Từ đó ta có $.\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_{k}}{k+1} \right|<\sqrt{2} $.
Không biết tớ làm sai hay sao mà không đụng tới cái điều kiện $n \geq 2 $.

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#175
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
Lâu lắm mới post bài.
Bài 60:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 \ge 2(ab + ac + bc)\]

P/s: Đây là một Bất đẳng thức có thể ứng dụng rất hay.

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#176
Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
bài này một số bạn sẽ xài pqr nhưng cũng có thể cm theo cách đơn giản sau
luôn tồn tại
$ (a-1)(b-1)\geq 0$
$ \Leftrightarrow ab+1\geq a+b$
$ \Leftrightarrow abc+c+ab\geq ac+bc+ab$
$ \Leftrightarrow 2abc+2ab+2c\geq 2(ab+bc+ca)$
vậy ta chỉ cm $ a^{2}+b^{2}+c^{2}+1\geq 2ab+2c$
cauchy là finish thôi


#177
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
Tiếp theo:
Sử dụng BĐT bài 60 để chứng minh BĐT bài 58.
Bài 58
Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng:
\[({a^2} + 2)({b^2} + 2)({c^2} + 2) \ge 9(ab + bc + ac)\]

P/s: Có 2 cách cho bài 58 rồi nhưng các bạn hãy thử sử dụng BĐT bài 60 để chứng minh xem sao....

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#178
NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1468 Bài viết
Cho các số thực dương a,b,c,c .CMR:
$ \dfrac {a + b +c+ d}{4}\geq\sqrt {\dfrac {ab+bc+ cd + da + ac + bd}{6}}\geq\sqrt [3]{\dfrac {bcd+ cda +dab+ abc}{4}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 22-09-2011 - 21:15

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


#179
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Bài 61:Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:

$$\dfrac{1}{a(b+1)}+\dfrac{1}{b(c+1)}+\dfrac{1}{c(a+1)} \ge \dfrac{3}{1+abc}$$

BĐT chặt hơn vẫn còn đúng:

$$\dfrac{1}{a(b+1)}+\dfrac{1}{b(c+1)}+\dfrac{1}{c(a+1)} \ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$$

Bài 62:(Nguyễn Bảo Phúc) Cho $n \in N^*$.Chứng minh rằng:

$$ \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \dfrac{j^2-\dfrac{1}{2}}{j^4+\dfrac{1}{4}} >\dfrac{2}{5}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 23-09-2011 - 21:18

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#180
NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1468 Bài viết

Bài 61:Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{a(b+1)}+\dfrac{1}{b(c+1)}+\dfrac{1}{c(a+1)} \ge \dfrac{3}{1+abc}$

BĐT chặt hơn vẫn còn đúng:

$\dfrac{1}{a(b+1)}+\dfrac{1}{b(c+1)}+\dfrac{1}{c(a+1)} \ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$

Bài 62:(Nguyễn Bảo Phúc) Cho $n \in N^*$.Chứng minh rằng:

$$ \ sum\limits_{k=1}^{n} \ sum\limits_{j=1}^{k} \dfrac{j^2-\dfrac{1}{2}}{j^4+\dfrac{1}{4}} >\dfrac{2}{5} $$



Bài 61:
Em giải ở đây rồi:
http://math.vn/showthread.php?t=16454

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh