Bài 41::
Cho $a,b,c,d \in [-1;+ \infty]$.Tìm tất cả các số thực $k$ sao cho BĐT sau đúng:
$\sum_{sym}a^3 +1 \ge k\sum_{sym}a(1)$
Bài giải bài 41:Trong (1),chọn $a=b=c=d=1$,ta có:$k \le \dfrac{4}{3}$
Trong (1),chọn $a=b=c=d=\dfrac{1}{2}$,ta thu được:$k \ge \dfrac{4}{3}$
Vậy $k=\dfrac{4}{3}$,Ta sẽ chứng minh $k=\dfrac{4}{3}$ là giá trị duy nhất cần tìm.
Thay $k=\dfrac{4}{3}$ vào (1),BĐT trở thành:
$\sum_{a,b,c,d}\left(a^3+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}a \right) \ge 0$
Hay:
$\sum_{a,b,c,d}(a+1)\left(a-\dfrac{1}{2} \right)^2 \ge 0$(luôn đúng $\forall a,b,c,d \in [-1;+\infty)$)
Bài 45: Tìm tất cả các nghiệm dương $a,b,c,d$ của hệ sau:
$ \left\{\begin{array}{l}a+b+c+d=12\\abcd=27+ab+bc+ca+da+db+dc\end{array}\right.$
Bài giải bài 45:Theo
BĐT AM-GM:
$ab+bc+ca+da+db+dc+9+9+9 \overset{AM-GM}{\ge} 9\sqrt[9]{a^3b^3c^3d^3.27}(1)$
Và:
$a+b+c+d+a+b+c+d+3 \overset{AM-GM}{\ge} 9\sqrt[9]{a^2b^2c^2d^2.3}(2)$
Suy ra:
$[2(a+b+c+d)+3]^3(ab+bc+cd+da+db+dc+27) \ge 9^4\sqrt[9]{a^9b^9c^9d^9.27.27}$
Hay:
$ab+bc+ca+da+db+dc+27 \ge abcd$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=3$.Thử lại,ta thấy $a=b=c=d=3$ là nghiệm duy nhất của hệ.Xong.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
P/s:
Bài 57: Cho $n$ số thực $a_1;a_2;...a_n$ thỏa mãn:$\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}^2=3,n \ge 2$.Chứng minh rằng:
$\left|\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_{k}}{k+1} \right|<\sqrt{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-09-2011 - 21:25
Thêm đề !