Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic: Các bài toán về tính chia hết


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 303 trả lời

#41 Hoa Hồng Lắm Gai

Hoa Hồng Lắm Gai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-09-2011 - 20:34

Bài 17. Chứng minh $S=n^2+3n-38$ không chia hết cho $49$ với mọi $n \in \mathbb{N}$.

Bài 18. Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{N}$ thì

$A=2005^n+60^n-1897^n-168^n \, \vdots \, 2004$




Bài 19. $5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1} \, \vdots \, 23$

Bài 20. $29^{2n}-140n-1 \, \vdots \, 700$

Bài 21. $2^{2n+2}+24n+14 \, \vdots \, 18$

Bài 22. $3^{2n+3}+40n-27 \, \vdots \, 64$

Bài 23. $19^n-18n^2-1 \, \vdots \, 72$

Bài 24. $3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5 \, \vdots \, 22$

Bài 25. $(n+1)^n-1 \, \vdots \, n^2$

Bài 26. $1961^{1962}+1963^{1964}+1965^{1966}+2 \, \vdots \, 7$



Bài 19.
$5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}=25^n.5 +2^n.16+2^n.2 \equiv 2^n.5+2^n.16+2^n.2=2^n.(5+16+2) =2^n.23 \equiv 0 (mod 23) $
$ \Rightarrow 5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1} \, \vdots \, 23 $ (đpcm)

Bài 24. Ta có:

$3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5= 3^{32n}}+2^{243n}+5 = 243^{6n}.9+ 32^{48n}.8+5\equiv 9+8+5 \equiv 0 $ (mod 22)

$\Rightarrow 3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5 \, \vdots \, 22$ (đpcm)

mới làm ra 2 bài này. :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoa Hồng Lắm Gai: 21-09-2011 - 11:08

Ác Ma Học Đường- Cá Sấu


#42 phuonganh_lms

phuonganh_lms

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:The unborn
  • Sở thích:Nghe Linkin Park, harmonica

Đã gửi 11-09-2011 - 22:03

Bài 26. $1961^{1962}+1963^{1964}+1965^{1966}+2 \, \vdots \, 7$

$ 1961 \equiv 1 (mod 7) \Rightarrow 1961^{1962} \equiv 1 (mod 7)$
$ 1963^{1964} \equiv 2(mod 7)$ do
$ 1963 \equiv 3(mod 7), 3^{20} \equiv 2(mod 7) \Rightarrow 3^{600} \equiv 1(mod7) \Rightarrow 3^{1800} \equiv 1(mod 7), 3^{164} \equiv 2(mod7)$
$ 1965^{1966} \equiv 2(mod 7)$
Suy ra dpcm.

Hình đã gửi


#43 heongoccanchibao

heongoccanchibao

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 18-06-2012 - 15:23

cho đa thức bậc 4:P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+eco các hệ số đều là các số nguyên.Chứng minh rằng nếu đa thức P(x) chia hết cho 7 với mọi số nguyên x thì tất cả các hệ số của da thức P(x) đều chia hết cho 7.
Làm ơn giai dùm tôi đi

@nguyenta98: cực kì đơn giản, xét $x=-1,0,1$ sau đó dùng tính chất chia hết thôi, nếu chưa được xét tiếp $x=-2,2,....$ cho đến khi nào có được tất cả hệ số chia hết cho $7$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 18-06-2012 - 17:23


#44 prozui

prozui

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 30-07-2012 - 19:50

Bai 27: cho a,b la so nguyen va a^2+b^2 chia het cho 3.CMR: a chia het cho 3 va b chia het cho 3

#45 prozui

prozui

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 30-07-2012 - 19:53

cho x+1/x la so nguyen.CMR: x^n+1/x^n cung la so nguyen

#46 dactai10a1

dactai10a1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 277 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Da Nang ,Viet Nam

Đã gửi 15-08-2012 - 19:56

cho x+1/x la so nguyen.CMR: x^n+1/x^n cung la so nguyen

Đặt ${S_k} = {x^k} + \frac{1}{{{x^k}}}$
Dễ chứng minh được hệ thức truy hồi ${S_k}{S_1} = {S_{k + 1}} + {S_{k - 1}}$
Do giả thiết ${S_2} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 2 \in Z$
Từ đó bằng qui nạp suy ra đpcm

#47 dactai10a1

dactai10a1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 277 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Da Nang ,Viet Nam

Đã gửi 15-08-2012 - 20:10

Bai 27: cho a,b la so nguyen va a^2+b^2 chia het cho 3.CMR: a chia het cho 3 va b chia het cho 3

Bài này phản chứng
Ta có ${x^2} \equiv \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{0(\bmod 3) \Leftrightarrow x \vdots 3}\\
{1(\bmod 3) \Leftrightarrow x \ne 3k}
\end{array}} \right.$
Nếu 2 số đều ko chia hết cho 3 thì ${a^2} + {b^2} \equiv 2(\bmod 3)$
Nếu trong 2 số có 1 số chia hết cho 3 , 1 số ko chia hết cho 3 thì ${a^2} + {b^2} \equiv 1(\bmod 3)$
Suy ra đpcm
Tổng quát ${a^2} + {b^2} \vdots p \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a \vdots p}\\
{b \vdots p}
\end{array}} \right.$ với p là số nguyên tố dạng 4k+3(CM bằng định lí Fecma)

#48 dactai10a1

dactai10a1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 277 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Da Nang ,Viet Nam

Đã gửi 16-08-2012 - 12:22

Bài 17. Chứng minh $S=n^2+3n-38$ không chia hết cho $49$ với mọi $n \in \mathbb{N}$.

Ta có $S = {n^2} + 3n - 38 = {n^2} + 3n - 10 - 28 = (n + 5)(n - 2) - 28$
Dễ thấy n+5,n-2 có cung số dư khi chia cho 7
Nếu (n+5)(n-2) không chia hết cho 7 thì S không chia hết cho 7
Nếu (n+5)(n-2) chia hết cho 7 thì 1 trong 2 số phải chia hết cho 7.Do nhân xét suy ra cả 2 số chia hết cho 7.suy ra (n+5)(n-2) chia hết cho 49,mà 28 không chia hết cho 49,suy ra S không chia hết cho 49

#49 hahahano1

hahahano1

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:đọc sách

Đã gửi 27-10-2012 - 15:40

Trong các đa thức sau ,đa thức nào chia hết cho x^2+x+1
f1(x)=x^2012+x^1006+1
f2(x)=X^2013+x^1006+1
f3(x)=x^2014+x^1006+1.
Ai làm được mình bái phục luôn đó.

#50 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 27-10-2012 - 17:28

Trong các đa thức sau ,đa thức nào chia hết cho x^2+x+1
f1(x)=x^2012+x^1006+1
f2(x)=X^2013+x^1006+1
f3(x)=x^2014+x^1006+1.
Ai làm được mình bái phục luôn đó.

Giải như sau:
Ta sẽ cm bài toán tổng quát hơn $x^{3k+2}+x^{3t+1}+1 \vdots x^2+x+1$
TH1: $k\geq t$
Khi ấy $x^{3k+2}-x^{3t+2}+x^{3t+2}+x^{3t+1}+x^{3t}-(x^{3t}-1)$
Ta thấy $x^{3k+2}-x^{3t+2}=x^{3t+2}((x^{k-t})^3-1) \vdots (x^{k-t})^3-1) \vdots x^3-1 \vdots x^2+x+1$
Lại có $x^{3t+2}+x^{3t+1}+x^{3t}=x^{3t}(x^2+x+1)$
Và $x^{3t}-1 \vdots x^3-1 \vdots x^2+x+1$
Suy ra $x^{3k+2}+x^{3t+1}+1 \vdots x^2+x+1$ đây chính là $đpcm$
TH2: $k\le t$ làm hoàn toàn tương tự
Áp dụng vào bài ta thấy ngay $f_3(x)=x^{2014}+x^{1006}+1$ với số mũ $2014,1006 \equiv 2,1 \pmod{3}$ nên theo nhận định mình vừa cm suy ra $f_3(x) \vdots x^2+x+1$
Vậy $\boxed{f_3(x) \vdots x^2+x+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 27-10-2012 - 17:29


#51 Nguyen Tho The Cuong

Nguyen Tho The Cuong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường trung học cơ sở Bạch Liêu

Đã gửi 04-11-2012 - 19:31

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 05-12-2012 - 17:42


#52 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 04-11-2012 - 20:19


Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=4$


Đk: $x,y \ne 0$.
Không mất tính tổng quát, giả sử $x \ge y$.
Do đó $\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{x^2+y^2} \le \frac 2y + \frac{1}{2y^2} = \frac{4y+1}{2y^2}$
Suy ra $4 \le \frac{4y+1}{2y^2} \Rightarrow 8y^2 \le 4y+1 \Rightarrow 8y^2-4y-1 \le 0 \Rightarrow 4(y-1)^2 \le 5$.
Do đó $(y-1)^2=0$ hoặc $(y-1)^2=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 05-12-2012 - 17:43

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#53 Math269999

Math269999

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Đã gửi 15-11-2012 - 22:22

Ta có:
f3(x)=x^2014+x^1006+1=x^2014-x^2+x^1006-x+x^2+x+1=x^2(x^2012-1)+x(x^1005-1)+(x^2+x+1)
Ta thấy:
- x^2(x^2012-1)$\vdots$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$\vdots$x^2+x+1
-x(x^1005-1)$\vdots$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$\vdots$x^2+x+1
-x^2+x+1$\vdots$x^2+x+1
$\Rightarrow$ f3(x)$\vdots$x^
bài anh hahahano1
Gia Cát - Khổng Minh

#54 Khanh 6c Hoang Liet

Khanh 6c Hoang Liet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 188 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathfrak{THCS Hoàng Liệt}$

Đã gửi 17-11-2012 - 21:46

Cho $a \in \mathbb{Z}$ không chia hết cho $2$ và $3$. Chứng minh :
$A = 4a^2 + 3a + 5$ $\vdots$ $6$.
Hình đã gửi

#55 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 18-11-2012 - 16:09

Cho $a \in \mathbb{Z}$ không chia hết cho $2$ và $3$. Chứng minh :
$A = 4a^2 + 3a + 5$ $\vdots$ $6$.

Vì a không chia hết cho 2 nên $A$ sẽ là số chẵn nên $A \vdots 2$(1)
Vì $a$ không chia hết cho 3 nên $a$ có dạng $3k+1$ và $3k+2$
Khi $a=3k+1$
$\Rightarrow A=4(3k+1)^2+3(3k+1)+5=36k^2+24k+4+9k+3+5=36k^2+24k+9k+12$$\equiv 0 (mod3)$
Tương tự ta cũng chứng minh được khi $a=3k+2$ thì $A$ cũng chia hết cho 3
:icon6: Vậy tóm lại một cục là A chia hết cho 2;3 mà (2;3)=1 nên ta có dpcm :icon10:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 18-11-2012 - 16:09

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#56 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 25-11-2012 - 22:46

CMR : $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^11$ $\vdots$ $13$

#57 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 29-11-2012 - 22:14

CMR : $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^11$ $\vdots$ $13$

$1+2+..+2^{11}=2^{12}-1$=4095=13.315=> dpcm

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#58 NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:I Love Mathematics :) <3

Đã gửi 30-11-2012 - 16:19

Chứng minh rằng không tồn tại $n$ nguyên dương thỏa mãn: $2012^n - 1 \vdots 1010^n-1$.
___
NLT

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#59 cAnmOtkhOaNglAng

cAnmOtkhOaNglAng

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:toán học là ông vua của mọi thời đại

Đã gửi 01-12-2012 - 22:29

cmr: tồn tại 1 số viết bởi 1 chữ số chia hết cho 2011

#60 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 05-12-2012 - 17:41

cmr: tồn tại 1 số viết bởi 1 chữ số chia hết cho 2011

Thì đó là số $0$ chứ còn sao nữa !




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh