Chủ đề này có 306 trả lời

[Joker9999]

Chứng minh rằng không tồn tại $n$ nguyên dương thỏa mãn: $2012^n - 1 \vdots 1010^n-1$.
___
NLT

Anh ơi chữa bài này đc ko? . Em thấy lâu rùi k ai giải và e k giải đc.

[cAnmOtkhOaNglAng]

Bài $1$ :
Tìm chữ số tận cùng của : $\text{A} = \sum_{k = 1}^{2012}k^{5} - 5\sum_{x = 1}^{2010}x^{3}$.
Bài $2$ :
Tìm các số thực dương $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ thỏa : $a^{3} + b^{3} + c^{3} = \left ( a + b - c \right )^{3} + \left ( b + c - a \right )^{3} + \left ( c + a - b \right )^{3}$.
Bài $3$ :
Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $\frac{n\left ( 2n - 1 \right )}{26}$ là số chính phương.
Bài $4$ :
Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{p + 1}{2}$ và $\frac{p^{2} + 1}{2}$ là số chính phương.
Bài $5$ :
Viết $2012^{2013}$ thành tổng của $2013$ số nguyên dương $a_{1}$ $,$ $a_{2}$ $,$ $a_{3}$ $,$ $...$ $,$ $a_{2013}$.
Đặt $\text{T} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{2013}$.
Chứng minh rằng : $\text{T} + 2012^{2013}$ không phải là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 01-01-2013 - 12:20

[Joker9999]

• tìm chữ số tận cùng của: A=1⁵+2⁵+3⁵+...+2012⁵ - 5(1+2³+3³​+.....+2010³)

Giải như sau:
Xét 10 số:$1^5+2^5+....+10^5$. Do 5 chia 4 dư 1 nên tổng này có TC=$1+2+3+4+5+6+7+6+9=51$
Vậy tổng $1^5+2^5+..+2012^5$ có TC=51.201+1+2=..4
Xét 10 số$1^3+2^3+..+10^3$. 3 chia 4 dư 3 nên tổng này có TC=$1+8+7+4+5+6+3+2+9=55$
Vậy A có TC=4-5.0=4

[Nguyen Tho The Cuong]

Cho $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ là ba số nguyên dương, đôi một nguyên tố cùng nhau và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$
Chứng minh $x + y$ là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 08-12-2012 - 22:25

[Nguyen Tho The Cuong]

Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p^{2}+2^{p}$ cũng là số nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 08-12-2012 - 22:23

[DarkBlood]

Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p^{2}+2^{p}$ cũng là số nguyên tố.

Bài tổng quát hơn:
Tìm 3 số nguyên tố $p;q;r$ thỏa mãn $p^q+q^p=r$

Vì $p$ và $q$ là số nguyên tố nên $p^q+q^p>2$, do đó $r>2$, mà $r$ cũng là số nguyên tố nên $r$ lẻ.
$\Rightarrow $ $p^q+q^p$ lẻ.
Vậy trong 2 số $p$ hoặc $q$ có một số chẵn, số còn lại là số lẻ.
Vì $p$ và $q$ là số nguyên tố nên $p=2$ hoặc $q=2.$

Trường hợp 1: $p=2$
$\Rightarrow $ $q=2k+1$ $(k\in N^*)$
$+)$ Xét $q=3$ thì $r=2^3+3^2=17$ $($ là số nguyên tố $)$ $($ Thảo mãn đề bài $)$
$+)$ Xét $q>3$
Ta có: $2^q=2^{2k+1}$
Do đó $2^q-2=2^{2k+1}-2=4^k.2-2=2(4^k-1)=2.3.a$ $\vdots 3$
Vậy $2^q=3n+2$ $(n\in N^*)$

Vì $q$ là số nguyên tố và $q>3$ nên $q=3a\pm 1$ $(a\in N^*)$
Do đó: $q^2=(3a\pm1)^2=9a^2\pm6a+1=3m+1$ $(m\in N^*)$

Ta có:
$2^q+q^2=r$
$r=3n+2+3m+1=3(n+m+1)$ $\vdots 3$ $($ loại, vì $r$ là số nguyên tố $)$

Vậy khi $p=2$ thì $q=3$ $($ là số nguyên tố $)$ và $r=17$ $($ là số nguyên tố $)$

Trường hợp 2: $q=2$
Giải tương tự như trên ta được: $q=2$ thì $p=3$ $($ là số nguyên tố $)$ và $r=17$ $($ là số nguyên tố $)$

Kết luận: $(p;q;r)=(2;3;17);(3;2;17)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 08-12-2012 - 22:26

[Joker9999]

Cho $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ là ba số nguyên dương, đôi một nguyên tố cùng nhau và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$
Chứng minh $x + y$ là số chính phương.

Từ giả thiết ta có : $(x + y)z = xy$ do $(x,y,z)$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $xy$ $\not \vdots$ $z$ $\Rightarrow$ $z = 1$.
Giải ra đc $x = y = 2$.
$\Rightarrow$ Vô lý vì $(2,2) = 2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 08-12-2012 - 22:22

[linh91]

Chứng minh : $n^{4} - 14n^{3} + 71n^{2} - 154n + 120$ $\vdots$ $24$ với $n \in \mathbb{N}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 01-01-2013 - 10:19

[duaconcuachua98]

Chứng minh : $n^{4} - 14n^{3} + 71n^{2} - 154n + 120$ $\vdots$ $24$ với $n \in \mathbb{N}$.

Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta phân tích đa thức đã cho thành
$(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$
Vì $(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$ là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho 4; ít nhất 1 số chia hết cho 2 nên tích chia hết cho 8; ít nhất 1 số chia hết cho 3 nên tích chia hết cho 3.
Mà $(3;8)=1$ nên $(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\vdots 24$ (đpcm)

[tramyvodoi]

Chứng minh : $ n^{4} - 14n^{3} + 71n^{2} - 154n + 120$ $\vdots$ $24$ với $n \in \mathbb{N}$.

Đặt $\text{A} = n^{4} - 14n^{3} + 71n^{2} - 154n + 120$.
Biến đổi $\text{A} = n\left ( n - 1 \right )\left ( n + 1 \right )\left ( n + 2 \right ) + 8n\left ( n - 1 \right )\left ( n + 1 \right ) - 24n^{3} + 72n^{2} - 144n + 120$.
$\Rightarrow$ $\text{A}$ $\vdots$ $24$. $\left ( \text{đpcm} \right )$

[Zony Nguyen]

Mọi người có cần bài không ?
- Nếu $a+b+c$ chia hết cho 6 thì $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ chia hết cho 6.
- $2009^{2010}$ không chia hết cho 2010 .
- $n^{2}+7n+22$ không chia hết cho 9 .

[DarkBlood]

Mọi người có cần bài không ?
- Nếu $a+b+c$ chia hết cho 6 thì $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ chia hết cho 6.
- $2009^{2010}$ không chia hết cho 2010 .
- $n^{2}+7n+22$ không chia hết cho 9 .

$a)$Ta có:
$a^3+b^3+c^3-a-b-c=(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c)=(a-1)a(a+1)+(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)$
Vì $a+b+c$ $\vdots $ $6$ và $(a-1)a(a+1)+(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)$ $\vdots $ $6$ nên $a^3+b^3+c^3$ $\vdots $ $6$.

$b)$ $2009^{2010}$ không chia hết cho 2 nên $2009^{2010}$ không chia hết cho $2010$

$c)$ Giả sử $n^2+7n+22$ chia hết cho $9,$ suy ra $n^2+7n+22$ chia hết cho $3$.
Ta có:
$(n+5)^2=n^2+10n+25=n^2+7n+22+3(n+1)$
Mà $n^2+7n+22$ chia hết cho $3$ nên $(n+5)^2$ chia hết cho $3$.
Do đó $n+5$ chia hết cho $3$.
Suy ra $n=3k-5$ $(t\in Z)$
Ta có:
$n^2+7n+22=(3k-5)^2+7(3k-5)+22$
$=9k^2-39k+25+21k-35+22=9k^2-9k+9+3,$
không chia hết cho 3, trái với điều giả sử.
Vậy $n^{2}+7n+22$ không chia hết cho $9$ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 06-01-2013 - 22:04

[tramyvodoi]

Chứng minh rằng :
$11^{10} - 1$ $\vdots$ $100$.

[Zony Nguyen]

Nữa nhé :
a, tìm số dư của $2^{100}$ cho 9 và 25
b, $a^{3}-3$ chia hết cho 3 ; $a^{5}-a$ cia hết cho 5 ; $a^{7}-a$ chia hết cho 7
c, Tìm n$ sao cho $2^{n}-1$ cia hết cho 7 ; $5^{n}-2^{n}$ chia hết cho 9

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DUY MAM: 06-01-2013 - 22:21

[duaconcuachua98]

Chứng minh rằng :
$11^{10} - 1$ $\vdots$ $100$.

Ta có: $11^{10}-1=(11^{5}-1)(11^{5}+1)=10.(11^{4}+11^{3}+11^{2}+11+1).12.(11^{4}-11^{3}+11^{2}-11+1)$
Vì $11^{4}+11^{3}+11^{2}+11+1$ tận cùng là 5 nên chia hết cho 5
$\Rightarrow 12(11^{4}+11^{3}+11^{2}+11+1)\vdots 10\Rightarrow dpcm$

[DarkBlood]

Chứng minh rằng :
$11^{10} - 1$ $\vdots$ $100$.

Ta có:
$11^10-1=10(11^9+11^8+11^7+11^6+11^5+11^4+11^3+11^2+11^1+1)$
Mà $11^9+11^8+11^7+11^6+11^5+11^4+11^3+11^2+11^1+1=...0$
Nên $11^9+11^8+11^7+11^6+11^5+11^4+11^3+11^2+11^1+1$ chia hết cho $10$
Vậy $11^{10} - 1$ $\vdots$ $100$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 06-01-2013 - 22:45

[DarkBlood]

Nữa nhé :
a, tìm số dư của $2^{100}$ cho 9 và 25
b, $a^{3}-3$ chia hết cho 3 ; $a^{5}-a$ cia hết cho 5 ; $a^{7}-a$ chia hết cho 7
c, Tìm $n$ sao cho $2^{n}-1$ cia hết cho 7 ; $5^{n}-2^{n}$ chia hết cho 9

$a)$ Ta có: $2^{100}=2^{99}.2=(2^3)^{33}.2=(9-1)^{33}.2=(9a-1).2=9b-2=9c+7$
Vậy $2^{100}$ chia $9$ dư $7.$

Ta có: $2^{100}=(2^{10})^{10}=(1025-1)^{10}=25a+1$
Vậy $2^{100}$ chia $25$ dư $1.$

$b)$ Ta có: $a^3-a=(a-1)a(a+1)$ chia hết cho $3$
$a^5-a=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)+5(n-1)n(n+1)$ chia hết cho $5$
$a^7-a=(a-3)(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)(a+3)+7(n-1)n(n+1)(2n^2-5)$ chia hết cho $7$
Bài này cũng có thể làm bằng cách xét số dư của $a$ khi chia cho $3;$ $5;$ $7.$

$c)$
Xét $n=3k$ $(k\in N),$ ta có: $2^n-1=2^{3k}-1=8^k-1=7a$
Xét $n=3k+1$ $(k\in N),$ ta có: $2^n-1=2^{3k+1}-1=2.2^{3k}-2+1=2(2^{3k}-1)+1=7b+1$
Xét $n=3k+2$ $(k\in N),$ ta có: $2^n-1=2^{3k+2}-1=4.2^{3k}-4+3=4(2^{3k}-1)+1=7c+3$
Vậy để $2^n-1$ chia hết cho $7$ thì $n=3k$ $(k\in N)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 06-01-2013 - 23:04

[DarkBlood]

Tìm $n$ sao cho $5^{n}-2^{n}$ chia hết cho $9$

Trường hợp 1: $n=3k$ $(k\in \mathbb{N})$
Ta có: $5^n-2^n=5^{3k}-2^{3k}=125^k-8^k=117a$ $\vdots$ $9$

Trường hợp 2: $n=3k+1$ $(k\in \mathbb{N})$
Ta có:
$5^n-2^n=5^{3k+1}-2^{3k+1}=125^k.5-8^k.2$
$\bullet$ Xét $k=2p$ $(p\in \mathbb{N}),$ ta có:
$5^n-2^n=125^k.5-8^k.2=125^{2p}.5-8^{2p}.2=(126-1)^{2p}.5-(9-1)^{2p}.2=$
$=(\text {BS}126+1).5-(\text {BS}9+1).2=\text {BS}9+3$
$\bullet$ Xét $k=2p+1$ $(p\in \mathbb{N}),$ ta có:
$5^n-2^n=125^k.5-8^k.2=125^{2p+1}.5-8^{2p+1}.2=(126-1)^{2p+1}.5-(9-1)^{2p+1}.2=$
$=(\text {BS}126-1).5-(\text {BS}9-1).2=\text {BS}9-3=\text {BS}9+6$

Trường hợp 3: $n=3k+2$ $(k\in \mathbb{N})$
$5^n-2^n=5^{3k+1}-2^{3k+1}=125^k.25-8^k.4$
$\bullet$ Xét $k=2p$ $(p\in \mathbb{N}),$ ta có:
$5^n-2^n=125^k.25-8^k.4=125^{2p}.25-8^{2p}.4=(126-1)^{2p}.25-(9-1)^{2p}.4=$
$=(\text {BS}126+1).25-(\text {BS}9+1).4=\text {BS}9+21=\text {BS}9+3$
$\bullet$ Xét $k=2p+1$ $(p\in \mathbb{N}),$ ta có:
$5^n-2^n=125^k.25-8^k.4=125^{2p+1}.25-8^{2p+1}.4=(126-1)^{2p+1}.25-(9-1)^{2p+1}.4=$
$=(\text {BS}126-1).25-(\text {BS}9-1).4=\text {BS}9-21=\text {BS}9+6$

Vậy để $5^{n}-2^{n}$ chia hết cho $9$ thì $n=3k$ $(k\in \mathbb{N}).$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 06-01-2013 - 23:09

[dinhngoclinhyl]

NHờ các bạn tìm loi sai loi giải bai toán này nhé :
Đề bài : "Tìm số a nhỏ nhất biết a chia 3; 4; 5; 6 lần lượt có số dư 1; 2; 3; 4 . Biết a chia hết cho 13 "
Lời giải : Vì a chia 3; 4; 5; 6 lần lượt có số dư 1; 2; 3; 4 nên 6a chia hết cho 3; 4; 6; 13 nên:
$6a\in BC(3; 4; 6; 13). BCNN(3; 4; 6; 13)=156 \Rightarrow 6a=156k\Rightarrow a=26k.Vay, a\in \left \{ 26;52;78;104;130;156;182;208;... \right \}$
Vì a chia 5 dư 2 nên a = 52.

[dinhngoclinhyl]

Nho cac ban phan tich ki vao nhé. Đây là lời giải của một bạn HS