Chủ đề này có 12 trả lời

[ngodung]

1. Cho x,y,z thỏa mãn: $x^3 + y^3 +z^3 -3xyz=1.$ Tìm min của $P= x^2 + y^2 + z^2$
2. Cho a,b,c>0. CMR: $\dfrac{a^2.b(b-c)}{(a+b)} + \dfrac{b^2.c(c-a)}{(b+c)} + \dfrac{c^2.a(a-b)}{(c+a)} \ge0.$
3. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=1.$ CMR:
$\dfrac{1}{(bc+a+\dfrac{1}{a})} + \dfrac{1}{(ca+b+\dfrac{1}{b})} + \dfrac{1}{(ab+c+\dfrac{1}{c})} \le\dfrac{27}{31}$

MOD: ĐỀ NGHỊ BẠN HỌC GÕ LATEX

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganh_lms: 16-07-2011 - 10:54

[zone]

1. Cho x,y,z thỏa mãn: $x^3 + y^3 +z^3 -3xyz=1.$ Tìm min của $P= x^2 + y^2 + z^2$
2. Cho a,b,c>0. CMR: $\dfrac{a^2.b(b-c)}{(a+b)} + \dfrac{b^2.c(c-a)}{(b+c)} + \dfrac{c^2.a(a-b)}{(c+a)} \ge0.$
3. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=1.$ CMR:
$\dfrac{1}{(bc+a+\dfrac{1}{a})} + \dfrac{1}{(ca+b+\dfrac{1}{b})} + \dfrac{1}{(ab+c+\dfrac{1}{c})} \le\dfrac{27}{31}$

MOD: ĐỀ NGHỊ BẠN HỌC GÕ LATEX

Khó nhăn răng Dung ah.
Tớ nghiền mãi mới ra 1 bài
Bài 2
$\dfrac{a^2.b(b-c)}{(a+b)} + \dfrac{b^2.c(c-a)}{(b+c)} + \dfrac{c^2.a(a-b)}{(c+a)} \ge0.$
Bất dẳng thức tương đương:
$\dfrac{ab}{(a+b)} \dfrac{b-c}{bc} + \dfrac{bc}{(b+c)} \dfrac{c-a}{ca} + \dfrac{ca}{(c+a)} \dfrac{a-b}{ab}\ge0.$(Chia cả 2 vế cho abc)
Để ý nếu dùng CHư bư sép có thể tạo ra 1 nhân tử bằng 0 và là cả vế phải bằng 0
Ta giả sử: $\dfrac{ab}{(a+b)} \leq \dfrac{bc}{(b+c)} \leq \dfrac{ca}{(c+a)} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{a+b}{ab} \geq \dfrac{b+c}{bc} \geq \dfrac{c+a}{ca} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \geq\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geq \dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{c} \leq\dfrac{1}{a} \leq\dfrac{1}{b} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{b} \leq \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{c} \leq \dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}$##
$ \Leftrightarrow \dfrac{b-c}{bc} \leq \dfrac{c-a}{ac} \leq \dfrac{b-a}{ba} $
Sau đó áp dụng chư bư sép cho 2 dãy tăng là ra.
* Nhưng hãy để ý trường hợp giả sử ## chỉ đúng cho$\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geq \dfrac{2}{a}$
vậy nếu ngược lại thì sao
Ta lại giả sử
$\dfrac{ab}{(a+b)} \geq \dfrac{bc}{(b+c)} \geq \dfrac{ca}{(c+a)} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{a+b}{ab} \leq \dfrac{b+c}{bc} \leq \dfrac{c+a}{ca} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \leq\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \leq \dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{c} \geq\dfrac{1}{a} \geq\dfrac{1}{b} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{b} \geq \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{c} \geq \dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}$

Quá dài! Ko biết ai có cách ngắn hơn k

[hangochoanthien]

1. Cho x,y,z thỏa mãn: $x^3 + y^3 +z^3 -3xyz=1.$ Tìm min của $P= x^2 + y^2 + z^2$
2. Cho a,b,c>0. CMR: $\dfrac{a^2.b(b-c)}{(a+b)} + \dfrac{b^2.c(c-a)}{(b+c)} + \dfrac{c^2.a(a-b)}{(c+a)} \ge0.$
3. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=1.$ CMR:
$\dfrac{1}{(bc+a+\dfrac{1}{a})} + \dfrac{1}{(ca+b+\dfrac{1}{b})} + \dfrac{1}{(ab+c+\dfrac{1}{c})} \le\dfrac{27}{31}$

MOD: ĐỀ NGHỊ BẠN HỌC GÕ LATEX

Câu 1: MÌnh mới chỉ có ý tưởng thôi ,các bạn đóng góp;
Biến đổi $(x+y+z)(P-xy-yz-xz)=1$
$(x+y+z)(P- \dfrac{(x+y+z)^2-P}{2})=1 $
$(x+y+z)\dfrac{P-(x+y+z)^2}{2} =1 $
$(x+y+z)^2(P-(x+y+z)^2)(P-(x+y+z)^2)=4 $
Đến đây áp dụng AM-GM...........
Có gì sai mọi người đóng góp.....

[caubeyeutoan2302]

Câu 1: MÌnh mới chỉ có ý tưởng thôi ,các bạn đóng góp;
Biến đổi $(x+y+z)(P-xy-yz-xz)=1$
$(x+y+z)(P- \dfrac{(x+y+z)^2-P}{2})=1 $
$(x+y+z)\dfrac{P-(x+y+z)^2}{2} =1 $
$(x+y+z)^2(P-(x+y+z)^2)(P-(x+y+z)^2)=4 $
Đến đây áp dụng AM-GM...........
Có gì sai mọi người đóng góp.....

Thiện phải học lại công thức rồi:
Phải là $(x+y+z)^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$ mới đúng chứ

[ngodung]

còn bài 3 nữa, up bài đi mọi người:D

[hangochoanthien]

Thiện phải học lại công thức rồi:
Phải là $(x+y+z)^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$ mới đúng chứ

Để mình xem lại........... .Mà Tú có chắc không đấy,nếu không phiền Tú chứng minh dùm mình luôn...........Dạo này hay lẩm cẩm lắm,không biết có sai gì không nữa đây...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hangochoanthien: 17-07-2011 - 13:46

[zone]

1. Cho x,y,z thỏa mãn: $x^3 + y^3 +z^3 -3xyz=1.$ Tìm min của $P= x^2 + y^2 + z^2$
2. Cho a,b,c>0. CMR: $\dfrac{a^2.b(b-c)}{(a+b)} + \dfrac{b^2.c(c-a)}{(b+c)} + \dfrac{c^2.a(a-b)}{(c+a)} \ge0.$
3. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=1.$ CMR:
$\dfrac{1}{(bc+a+\dfrac{1}{a})} + \dfrac{1}{(ca+b+\dfrac{1}{b})} + \dfrac{1}{(ab+c+\dfrac{1}{c})} \le\dfrac{27}{31}$

MOD: ĐỀ NGHỊ BẠN HỌC GÕ LATEX

Xin lỗi, tớ thấy bài 2 ko ổn lắm nên làm lại
Đặt$ a=\dfrac{1}{x}, b=\dfrac{1}{y}, c=\dfrac{1}{y}, c=\dfrac{1}{z}$
$ VT= \dfrac{z-y}{x+y}+ \dfrac{y-x}{z+x}+ \dfrac{x-z}{y+z}= \dfrac{z+x}{x+y}+\dfrac{y+z}{z+x}+\dfrac{x+y}{y+z}-3$
Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 3 số hạng đầu là ra
Cách này ngắn hơn, dễ hiểu hơn, chính xác hơn.

[ngodung]

mọi nguời làm giúp mình bài 3 đi:)

[hangochoanthien]

Ta có:
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)$
$=(x+y+z)((x+y)^2-xz-yz+z^2)-3xy(x+y+z)$
$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$.
Sai chỗ nào ta..........
.Nếu có gì các bạn góp ý dùm mình,cảm ơn các bạn nhiều

[ngodung]

Ta có:
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)$
$=(x+y+z)((x+y)^2-xz-yz+z^2)-3xy(x+y+z)$
$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$.
Sai chỗ nào ta..........
.Nếu có gì các bạn góp ý dùm mình,cảm ơn các bạn nhiều

cái này đúng mà

[hangochoanthien]

cái này đúng mà

Thế là lần này Tú sai rồi nhé...

[caubeyeutoan2302]

Thế là lần này Tú sai rồi nhé...

Hihi, xin lỗi Thiện thật lòng , lần sau mình sẽ đọc kĩ đề hơn, tha lỗi cho nhé

[ngodung]

huhu, ko ai lam bai 3 giup minh a:((