Chủ đề này có 5 trả lời

[zone]

$\dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\dfrac{b^2+ac}{(a+c)^2}+\dfrac{c^2+ba}{(b+a)^2}\geq\dfrac{3}{2}$
Và điều kiện là: a,b,c dương

[khanh3570883]

$\dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\dfrac{b^2+ac}{(a+c)^2}+\dfrac{c^2+ba}{(b+a)^2}\geq\dfrac{3}{2}$
Và điều kiện là: a,b,c dương

Gợi ý:
Giả sử $a\ge b\ge c$
Chia thành hai trường hợp:
$b+c\ge a$ và $b+c < a$
Với TH đầu thì sẽ có $a^2+bc\ge b^2+ca\ge c^2+ab$
và $\dfrac{1}{(b+c)^2}\ge \dfrac{1}{(c+a)^2}\ge \dfrac{1}{(a+b)^2}$
Hằng đẳng thức: $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2)$
Áp dụng chebyshev là sẽ ra.

[macdangdung]

$\dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\dfrac{b^2+ac}{(a+c)^2}+\dfrac{c^2+ba}{(b+a)^2}\geq\dfrac{3}{2}$
Và điều kiện là: a,b,c dương

cái này tớ tự làm, không biết là có đúng không nữa, hic
do vai trò của a, b, c là tương đương nhau nên ta có thể giả sử $ a\geq b\geq c$
bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\dfrac{2.a^2-b^2-c^2}{(b+c)^2}+ \dfrac{2.b^2-a^2-c^2}{(a+c)^2} + \dfrac{2.c^2-a^2-b^2}{(a+b)^2} \geq 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{(a-b).(a+b) + (a-c).(a+c)}{(b+c)^2} + \dfrac{(b-a).(b+a) +(b-c).(b+c)}{(a+c)^2} + \dfrac{(c-a).(c+a) + (c-b).(c+b)}{(a+b)^2)} \geq 0$
$ \Leftrightarrow (a^2-b^2).[ \dfrac{1}{(b+c)^2} - \dfrac{1}{(a+c)^2}] + (a^2-c^2)[\dfrac{1}{(b+c)^2} - \dfrac{1}{(a+b)^2}] + (b^2-c^2).[ \dfrac{1}{(a+c)^2}- \dfrac{1}{(a+b)^2} \geq 0$ (2)

thấy $ \Leftrightarrow (a^2-b^2).[ \dfrac{1}{(b+c)^2} - \dfrac{1}{(a+c)^2}] \geq 0$
$(a^2-c^2)[\dfrac{1}{(b+c)^2} + \dfrac{1}{(a+b)^2}] \geq 0$
$(b^2-c^2).[ \dfrac{1}{(a+c)^2} - \dfrac{1}{(a+b)^2} ] \geq 0$
Vậy (2) đúng suy ra bất đẳng thức cần chứng minh đúng.
dấu = xảy ra khi a=b=c.

[LIKIA]

Bài này có thể giải bằng PP phân tích bình phương như bạn macdangdung, các bạn có thể xem thêm về phương pháp này trên diễn đàn

PP S.O.S
PP S.O.S (2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LIKIA: 20-07-2011 - 14:40

[alex_hoang]

$\dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\dfrac{b^2+ac}{(a+c)^2}+\dfrac{c^2+ba}{(b+a)^2}\geq\dfrac{3}{2}$
Và điều kiện là: a,b,c dương

Đây có phải là bất đẳng thức của bạn không tôi thấy nó trong STBĐT của anh Hùng

[ducnm91]

Con này dùng phương pháp Cau -Chy Bất Đối của anh Cẩn là ra