Chủ đề này có 297 trả lời

[Peter Pan]

Bài 24: Chứng minh rằng tồn tại vô số số $n \in N^* $ sao cho
$5x_n^{1992} + 5x_n^{1954} + 4x_n^{1975} + 8x_n^{1945} + 2x_n^{1930} + 11x_n^2 + 48\,\, \vdots \,1992$.

-------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Bài này bạn đưa thế này hơi bị ác, đúng của nó là đề VMO 1992 Bảng B
Nguyên đề của nó như sau:
Dãy số nguyên $(x_n),(n=1,2,3,...)$ được xác định như sau

$x_1=1990,x_2=1989,x_3=2000$ và

$x_{n+3}=19x_{n+2}+9x_{n+1}+x_n+1991$

1) Với mỗi n gọi $r_n$ là số dư của phép chia $x_n$ cho 1992. Chứng minh rằng dãy $(r_n)$ là một dãy tuần hoàn

2) Chứng minh tồn tại vô số số $x$ của dãy $(x_n)$ sao cho

$5x_n^{1992} + 5x_n^{1954} + 4x_n^{1975} + 8x_n^{1945} + 2x_n^{1930} + 11x_n^2 + 48\,\, \vdots \,1992$.

[Crystal]

Bài này bạn đưa thế này hơi bị ác, đúng của nó là đề VMO 1992 Bảng B
Nguyên đề của nó như sau:
Dãy số nguyên $(x_n),(n=1,2,3,...)$ được xác định như sau

$x_1=1990,x_2=1989,x_3=2000$ và

$x_{n+3}=19x_{n+2}+9x_{n+1}+x_n+1991$

1) Với mỗi n gọi $r_n$ là số dư của phép chia $x_n$ cho 1992. Chứng minh rằng dãy $(r_n)$ là một dãy tuần hoàn

2) Chứng minh tồn tại vô số số $x$ của dãy $(x_n)$ sao cho

$5x_n^{1992} + 5x_n^{1954} + 4x_n^{1975} + 8x_n^{1945} + 2x_n^{1930} + 11x_n^2 + 48\,\, \vdots \,1992$.

Giải toán không phải chỉ dựa vào những gì có trước mắt bạn ak. Ta cần phải tìm ra những gì mà không hiện diện để đi đến đích.

-----------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 25 : cho a,b dương . cmr :
$ (ab)^2+a^2+b^2+1 \geq a^2b+b+ab^2+a $

[emmuongioitoan]

Bài 25 : cho a,b dương . cmr :
$ (ab)^2+a^2+b^2+1 \geq a^2b+b+ab^2+a $

Bài này dễ quá, BĐT tương tương với $(a^2+1)(b^2+1) \ge (1+ab)(a+b)$

BĐT này được suy từ 2 BĐT sau

$(a^2+1)(b^2+1) \ge (ab+1)^2$

$(a^2+1)(1+b^2) \ge (a+b)^2$

(Cauchy Swcharzt)

[Crystal]

Bài này dễ quá, BĐT tương tương với $(a^2+1)(b^2+1) \ge (1+ab)(a+b)$

BĐT này được suy từ 2 BĐT sau

$(a^2+1)(b^2+1) \ge (ab+1)^2$

$(a^2+1)(1+b^2) \ge (a+b)^2$

(Cauchy Swcharzt)

Bài này đơn giản quá!!!

--------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Crystal]

Bài 26: Tìm tất cả các nghiệm n, x, y, z và t trong tập số tự nhiên của phương trình sau:

$n^x + n^y + n^z = n^t $.

------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 06-08-2011 - 12:32

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 26: Tìm tất cả các nghiệm n, x, y, z và t trong tập số tự nhiên của phương trình sau:

$n^x + n^y + n^z = n^t (1) $.

------------
KH�”NG THỬ SAO BIẾT!!!

Không mất tính tổng quát, giả sử $ x \geq y \geq z $
(1) , được viết lại như sau:
$ n^{z}(n^{x-z}+n^{y-z}+1-n^{t-z})=0 \Rightarrow n^{x-z}+n^{y-z}+1-n^{t-z} =0 $
Đặt $ a=x-z , b=y-z, c= t-z \Rightarrow n^a+n^b=n^c-1 (2) $
$ \Rightarrow n^b(n^{a-b}+1)=(n-1)(n^{c-1}+n^{c-2}+...+1)$
Suy ra $ (n-1)|(n^{a-b}+1) \Leftrightarrow (n-1)|[(n^{a-b}-1)+2] $
do $ (n-1)|(n^{a-b}-1) \Rightarrow (n-1)|2 \Rightarrow n=2 $ hoặc $ n=3 $
trở lại (2):
Xét $ n=2 \Rightarrow 2^c=2^a+2^b+1 $
Thấy rằng $ c=0 $ không thỏa .
Với $ c \geq 1 $ Xét $ b =0 \Rightarrow c=2, a=1 $ , Với $ b\geq 1 $ thì vô nghiệm do $ 2|VT,$ , VP lại không chia hết cho 2.

Làm tương tự với n=3 $ \Rightarrow c=1, a=b=0 $
Kết luận:
Bộ (n;x;y;z;t) thỏa mãn là :$ (2;a+1;a;a;a+2) $ và các hoán vị (Chỉ hoán vị (x;y;z) )
$(3;a;a;a;a+1) $ và các hoán vị (Chỉ hoán vị (x;y;z) ) .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 06-08-2011 - 14:36

[Crystal]

Kết luận:
Bộ (n;x;y;z;t) thỏa mãn là :$ (2;a+1;a;a+2) $ và các hoán vị (Chỉ hoán vị (x;y;z) )

Anh Lâm xem lại nghiệm này giúp em!

-------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Con người sinh ra không phải để tan biến đi như một hạt cát vô danh. Họ sinh ra để in dấu lại trên mặt đất, in dấu lại trong trái tim người khác.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 06-08-2011 - 14:35

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Cho mình thứ lỗi do mình gõ thiếu ( đã sửa ) . Tiếp tục với các bài sau :
Bài 27 : Cho tứ diện S.ABC vuông tại S. gọi $ S=S_{ABC}, S_1=S_{SAB}; S_2=S_{SBC}; S_3=S_{SCA} $
Chứng minh rằng :
$ \dfrac{S_1^2}{S_1^2+S^2}+\dfrac{S_2^2}{S_2^2+S^2}+\dfrac{S_3^2}{S_3^2+S^2} \leq \dfrac{3}{4} $
Bài 28 :giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{x^3-5x=y^3-5y}\\{x^8+y^4=1}\end{array}\right. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 06-08-2011 - 14:59

[Crystal]

Kết luận:
Bộ (n;x;y;z;t) thỏa mãn là :$ (2;a+1;a;a;a+2) $ và các hoán vị (Chỉ hoán vị (x;y;z) )
$(3;a;a;a;a+1) $ và các hoán vị (Chỉ hoán vị (x;y;z) ) .

Bộ nghiệm đầu thế này mới đúng anh Lâm ạ : $ (2;a;a;a+1;a+2) $

-------------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Con người sinh ra không phải để tan biến đi như một hạt cát vô danh. Họ sinh ra để in dấu lại trên mặt đất, in dấu lại trong trái tim người khác.

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bộ nghiệm đầu thế này mới đúng anh Lâm ạ : $ (2;a;a;a+1;a+2) $

-------------------
KH�”NG THỬ SAO BIẾT!!!

Con người sinh ra không phải để tan biến đi như một hạt cát vô danh. Họ sinh ra để in dấu lại trên mặt đất, in dấu lại trong trái tim người khác.

Em đế ý bản chất ( vai trò ) của x,y,z là như nhau . Nên kết quả sẽ có các hoán vị của x,y,z . Bao gổm cả kết quả của em luôn đó
P/s: mọi người hãy tập trung giải bài 27,28

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 06-08-2011 - 15:00

[Crystal]

Bài 28 :giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{x^3-5x=y^3-5y}\\{x^8+y^4=1}\end{array}\right. $

Từ phương trình thứ nhất dễ dàng suy ra: $\left( {x - y} \right)\left( {x^2 + xy + y^2 - 5} \right) = 0\,\,(1)$
Theo pt thứ hai: $0 \le x^8 \le 1 \Rightarrow 0 \le x^2 \le 1$
Ta cũng có: $0 \le y^2 \le 1 \Rightarrow x^2 + y^2 \le 2$
Mặt khác: $x^2 + y^2 \ge 2xy \Rightarrow xy \le \dfrac{{x^2 + y^2 }}{2} \le 1$
Do đó: $x^2 + xy + y^2 - 5 < 0$ nên từ (1) suy ra x=y thay vào phương trình thứ hai ta được:
$x^8 + x^4 - 1 = 0\,\,\,(2)$
Đến đây thì đặt $t = x^4 \ge 0$ rồi giải là OK rồi

----------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[emmuongioitoan]

Cho mình thứ lỗi do mình gõ thiếu ( đã sửa ) . Tiếp tục với các bài sau :
Bài 27 : Cho tứ diện S.ABC vuông tại S. gọi $ S=S_{ABC}, S_1=S_{SAB}; S_2=S_{SBC}; S_3=S_{SCA} $
Chứng minh rằng :
$ \dfrac{S_1^2}{S_1^2+S^2}+\dfrac{S_2^2}{S_2^2+S^2}+\dfrac{S_3^2}{S_3^2+S^2} \leq \dfrac{3}{4} $
Bài 28 :giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{x^3-5x=y^3-5y}\\{x^8+y^4=1}\end{array}\right. $

Chú ý rằng $ \dfrac{S_1^2}{S_1^2+S^2} = 1 - \dfrac{S^2}{S_1^2+S^2}$ và 2 đẳng thức tương tự

BDT cần chứng minh tương đương với

$S^2(\dfrac{S^2}{S_1^2+S^2}+\dfrac{S^2}{S_2^2+S^2}+\dfrac{S^2}{S_3^2+S^2}) \ge \dfrac{9}{4}$

Chú ý trong tứ diện vuông ta có hệ thức cơ bản sau (có trong nhiều tài liệu)

$S^2 = S_1^2+ S_2^2 +S_3^2$

Từ đó Cauchy-Schwartz cho vế trái:
$VT \ge S^2.\dfrac{9}{S_1^2+ S_2^2 +S_3^2+3S^2} = \dfrac{9}{4}$

[Crystal]

Dạ em cảm ơn anh Lâm nhiều

-------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[vietfrog]

Cho mình thứ lỗi do mình gõ thiếu ( đã sửa ) . Tiếp tục với các bài sau :
Bài 27 : Cho tứ diện S.ABC vuông tại S. gọi $ S=S_{ABC}, S_1=S_{SAB}; S_2=S_{SBC}; S_3=S_{SCA} $
Chứng minh rằng :
$ \dfrac{S_1^2}{S_1^2+S^2}+\dfrac{S_2^2}{S_2^2+S^2}+\dfrac{S_3^2}{S_3^2+S^2} \leq \dfrac{3}{4} $
Bài 28 :giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{x^3-5x=y^3-5y}\\{x^8+y^4=1}\end{array}\right. $

Xin phép làm bài của Lâm nha.
Bài làm
Bài 27:
Gọi $SH$ là đường cao hạ từ S vuông góc với $(ABC)$
Ta có: $V = \dfrac{1}{3}.SH.S = \dfrac{1}{3}.SA.{S_2} = \dfrac{1}{3}SB.{S_3} = \dfrac{1}{3}.SC.{S_1}$ với V là thể tích tứ diện.
Tứ diện S.ABC là tứ diện vuông nên ta có:
$ \dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{S{B^2}}} + \dfrac{1}{{S{C^2}}}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{{V^2}}}{{S{H^2}}} = \dfrac{{{V^2}}}{{S{A^2}}} + \dfrac{{{V^2}}}{{S{B^2}}} + \dfrac{{{V^2}}}{{S{C^2}}}$

$ \Leftrightarrow {S^2} = S_1^2 + S_2^2 + S_3^2$
Bài toán đã đơn giản hơn .Với :${S_1} = a;{S_2} = b;{S_3} = c$ ta chỉ việc chứng minh:
$\sum {\dfrac{a}{{2a + b + c}} \le \dfrac{3}{4}} $
Thật vậy:
$\sum {\dfrac{a}{{2a + b + c}} = \sum {\dfrac{a}{{(a + b) + (a + c)}} \le \dfrac{1}{4}} } .\sum {(\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{a}{{a + c}}) = \dfrac{3}{4}} $
Dấu= xảy ra khi $SA=SB=SC$

Bài 28
Từ PT 1 dễ dàng thu được:
$\left[ \begin{array}{l}x = y \\ {x^2} + {y^2} + xy = 5(*) \\ \end{array} \right.$
Mặt khác từ PT (2):
${x^8} + {y^4} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 1 \\ y \le 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} + xy < 5$ (loại )
Ta chỉ việc giải PT:
${x^8} + {x^4} = 1$
Đến đây là ổn rồi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 06-08-2011 - 15:22

[Peter Pan]

Bài 29: Cho lục giác đều. Chia mỗi cạnh của lục giác đều thành 1000 phần bằng nhau. Nối các điểm chia với nhau thành bởi các đoạn thẳng song song với các cạnh của lục giác. Mỗi giao điểm của các đoạn nói trên gọi là một nút. Tô màu các nút theo quy tắc sau: Mỗi lần tô 3 nút chưa có màu và là 3 đỉnh của một tam giác đều. Hỏi sau một số lần tô ta mà còn còn lại mổ nút không có màu thì đó có thể là đỉnh của lục giác hay không?

[lipboy9x]

cho mình hỏi dãy hội tụ là gì vậy

[emmuongioitoan]

cho mình hỏi dãy hội tụ là gì vậy

Dãy hội tụ là dãy có giới hạn hữu hạn. Còn dãy không có giới hạn hoặc có giới hạn vô cùng gọi là dãy phân kỳ.

[Crystal]

cho mình hỏi dãy hội tụ là gì vậy

Dãy hội tụ là dãy có giới hạn hữu hạn. Ngược lại là dãy phân kỳ. Vậy dãy phân kỳ có hai khả năng xảy ra:
+ Không có giới hạn
+ Có giới hạn là vô cùng.

---------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Crystal]

Bài 30: Xác định hàm số $f:\,N \to R$ thỏa mãn

$\left\{ \begin{array}{l}f(0) = 2 \\ f\left( {n + 1} \right) = 3f\left( n \right) + \sqrt {8f^2 \left( n \right) + 1} \\ \end{array} \right.\,,\,\,\,\,\forall n \in N$.

-------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!