Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 12 Bình chọn

Mỗi ngày một chút


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 298 trả lời

#281 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-12-2011 - 17:07

Bình tĩnh đã :)
Còn nhiều bài hay hơn nữa trên kia mà! :P
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#282 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-12-2011 - 19:08

Phát biểu Bài 16 dưới dạng:

$\sum\limits_{i=k}^{k+99} i^8 \mod 100=\;?$

____________________
Ta có:
$\text{Với: }x=100p+r;\; p\in\mathbb{N};\;r\in\{0,1,...99\}\Rightarrow (100p+r)^8\equiv r^8 \pmod{100}$
Do đó:
$\sum\limits_{i=k}^{k+99} i^8\equiv \sum\limits_{i=0}^{99} i^8 \pmod{100}$

Tính trực tiếp tổng $S_{99}=\sum\limits_{i=0}^{99} i^8$ bằng cách sử dụng công thức:

$S_n=\sum\limits_{i=0}^n i^8 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)(5n^6+15n^5+5n^4-15n^3-n^2+9n-3)}{90}\;\;(*)$

Thay $n=99$, ta được

$S_{99}=106177773111333330$ :D

Đáp số là: $\boxed{30}$
_____________________________
Có một vài phương pháp để tính được $(*)$ chẳng hạn dùng phương pháp sai phân tuyến tính hoặc tính dần qua tổng cơ bản cấp thấp hơn (khá dài)
Trong bài này, có thể chứng minh $(*)$ bằng quy nạp!
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#283 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 08-01-2012 - 11:30

Bài 108: Giải bất phương trình sau: $$ {2^{lo{g_2}x}}{3^{lo{g_2}x - 1}}{5^{lo{g_2}x - 2}} \geqslant 12$$


Điều kiện: $x > 0$. Bất phương trình đã cho tương đương với:
$${2^{{{\log }_2}x}}.\frac{{{3^{{{\log }_2}x}}}}{3}.\frac{{{5^{{{\log }_2}x}}}}{{25}} \geqslant 12 \Leftrightarrow {\left( {2.3.5} \right)^{{{\log }_2}x}} \geqslant 12.3.25$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {2.3.5} \right)^{{{\log }_2}x}} \geqslant {\left( {2.3.5} \right)^2} \Leftrightarrow {\log _2}x \geqslant 2 \Leftrightarrow \boxed{x \geqslant 4}$$

#284 shinichikudo2106

shinichikudo2106

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-01-2012 - 22:17

Làm lại bài này mọi người kiểm tra thử
Áp dụng định lý Fermat ta có
$2001^{2003} \equiv 2001(\bmod 2003)$
$2001^7 \equiv 1875(\bmod 2003)$
=> $2001^{2003} .2001^7 = 2001^{2010} \equiv 1995.1875 \equiv 1024(\bmod 2003)$

mình làm kết quả ra khác, mọi người kt giúp
ta có : $(2001,2003)=1$ nên theo định lý ơ-le :
$2001^{\rho (2003)}\equiv 1 (mod 2003)$
mà 2003 là số nguyên tố nên $\rho (2003)=2002 \Rightarrow 2001^{2002}\equiv 1 (mod 2003)$ (1)
lại có $2001^{2 }\equiv 4 (mod 2003)\Rightarrow 2001^{8}\equiv 4^{4}\equiv 256 (mod 2003)$ (2)
từ (1) và (2) : $2001^{2010}\equiv 256 (mod 2003)$

#285 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 13-03-2012 - 11:40

Khởi động lại topic với bài toán sau nhé. Các bạn vào hâm nóng pic này đi nào.

Bài 123: Giải phương trình $$ \mathbf{\ln {\left( {x + 1} \right)^{2\left( {x + 1} \right)}} = {x^2} + 2x}$$
  • Nxb yêu thích

#286 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 536 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-04-2012 - 14:55

Khởi động lại topic với bài toán sau nhé. Các bạn vào hâm nóng pic này đi nào.

Bài 123: Giải phương trình $$ \mathbf{\ln {\left( {x + 1} \right)^{2\left( {x + 1} \right)}} = {x^2} + 2x}$$

Lời giải
Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm $x=0$, ta sẽ chứng minh đây là nghiệm duy nhất. Thật vậy, giả sử $x=a>0$ là 1 nghiệm #$0$ của phương trình đã nêu thì:
$$\dfrac {2(a+1)\ln(a+1)}{a^{2}+2a}=1$$
$$\Rightarrow \exists c \in (0,a): \dfrac {2(\ln(c+1)+1)}{2c+2}=1$$
$$\Rightarrow \ln(c+1)=c$$
Xét hàm số $f(t)=\ln(t+1)-t$, với $t \in (0, a)$, $f'(t)=\dfrac {-t}{t+1}<0$, vậy $f(t)$ đơn điệu nên $c=0$, điều này dẫn đến mâu thuẫn vì $c \in (0, a)$, tương tự với trường hợp $a<0$
P/S:
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên trên tập $ N ^{*} $: $ (x+y)(1+xy)=2^z $
Lời giải
Dễ thấy rằng $x, y$ thỏa mãn $x+y=2^{m}, 1+xy=2^{n}$ với $m+n=z$, do đó $x, y$ là nghiệm của phương trình:
$$X^{2}-2^{m}X+2^{n}-1=0$$
Vậy để $x, y$ nguyên thì $\delta '=(2^{m-1})^{2}-2^n+1$ phải là số chính phương, khi đó $m \geq n$, vì nếu $m < n$ thì $(2^{m-1}-1)^{2}=(2^{m-1})^{2}-2^{m}+1<\delta'<(2^{m-1})^{2}$. Từ đó ta có
$$x+y-xy-1 \geq 0$$
$$\Leftrightarrow (x-1)(y-1) \leq 0$$
Do đó phải có 1 số $=1$, cuối cùng dễ dàng có được
$$x=1, y=2^{k}-1, z=2k \vee y=1, x=2^{k}-1, z=2k ; k \in {N}^{*}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 29-04-2012 - 19:30


#287 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 03-07-2012 - 03:07

Bài 122: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của: $$Q = \dfrac{x}{{x + yz}} + \dfrac{y}{{y + xz}} + \dfrac{{\sqrt {xyz} }}{{z + xy}}$$

Đẩy topic lên phát.
Từ $x+y+z=1$. Đặt $x=ab;y=bc;z=ac$ với $a,b,c>0$. BĐT cần chứng minh trở thành $$\frac{ab}{ab+(bc)(ac)}+\frac{bc}{bc+(ac)(ab)}+\frac{abc}{ac+(ab)(bc)}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{b}{1+b^2}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Do $ab+bc+ac=1$ nên đặt $a=tg\frac{\alpha}{2};b=tg\frac{\beta}{2};c=tg\frac{\gamma}{2}$ với $\alpha,\beta,\gamma \in (0;\pi)$ và $\alpha+\beta+\gamma =\pi$
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $$\frac{1}{1+tg^2\frac{\gamma}{2}}+\frac{1}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}+\frac{tg\frac{\beta}{2}}{1+tg^2\frac{\beta}{2}}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
$$\Leftrightarrow cos^2\frac{\gamma}{2}+cos^2\frac{\alpha}{2}+\frac{sin\beta}{2}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Sử dụng $cosx=2cos^2\frac{x}{2}-1$ ta có
$$\frac{cos\gamma+1}{2}+\frac{cos \alpha+1}{2}+\frac{sin \beta}{2}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Ta cần chứng minh $sin\beta +cos\alpha +cos\gamma \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$$cos\alpha +cos\gamma+sin\beta =cos\alpha +cos\gamma+sin[\pi-(\alpha+\gamma)]= \frac{2}{\sqrt{3}}(\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}cos\gamma)+\frac{1}{\sqrt{3}}(\sqrt{3}sin\alpha cos\gamma+\sqrt{3}cos \alpha sin \gamma)$$
$$\leq \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{3}{4}+cos^2\alpha+\frac{3}{4}+cos^2\gamma)+\frac{1}{2\sqrt{3}}(3sin^2\alpha+cos^2\gamma+cos^2\alpha+3 sin^2\gamma)$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(cos^2\alpha+sin^2\alpha)+\frac{\sqrt{3}}{2}(cos^2\gamma+sin^2\gamma)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Vậy bài toán được chứng minh $\blacksquare$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#288 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 03-07-2012 - 21:43

Bài 88: Cho $x,y,z > 0$ thỏa $x + y + z = 1$. Tìm GTNN của: $$P = {x^3} + \sqrt {1 + {y^2}} + \sqrt[4]{{1 + {z^4}}}$$

Đây là cách giải em tham khảo được :)
Ta có các hàm số $f(t)=t^3;g(t)=\sqrt{1+t^2};h(t)=\sqrt[4]{1+z^4}, t\in(0;1)$ là những hàm số có dạo hàm cấp hai dương trên khoảng $(0;1)$. Nên với $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=1$ áp dụng BĐT tiếp tuyến ta có:$$f(x)\geq f'(a)(x-a)+f(a);\, h(y)\geq h'(b)(y-b)+h(b);\, g(z)\geq g'©(z-c)+g©$$
Ta chọn $a,b,c$ sao cho \[f'(a) = g'(b) = h' (c ) = k \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{a^2} = k\\
\frac{b}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} = k\\
\frac{{{c^3}}}{{\sqrt[4]{{{{(1 + {c^4})}^3}}}}} = k
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \sqrt {\frac{k}{3}} \\
b = \sqrt {\frac{k}{{1 - {k^2}}}} \\
c = \frac{{\sqrt[3]{k}}}{{\sqrt[4]{{1 - k\sqrt[3]{k}}}}}
\end{array} \right.(1)\]
Do $a+b+c=1\Leftrightarrow \sqrt{\frac{k}{3}}+\frac{k}{\sqrt{1-k^2}}+\frac{\sqrt[3]{k}}{\sqrt[4]{1-k\sqrt[3]{k}}}=1(2)$

Dễ thấy phương trình $(2)$ luôn có nghiệm trong khoảng $(0;1)$
$$\Rightarrow P=f(x)+g(y)+h(z)\geq f(a)+h(b)+g( c)=\frac{k\sqrt{3k}}{9}+\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{1-k\sqrt[3]{k}}}$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=x;b=y;z=c$ vậy min =$\frac{k\sqrt{3k}}{9}+\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{1-k\sqrt[3]{k}}}$ với k nằm trong $(0;1)$ của (2)
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#289 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 03-07-2012 - 22:05

NHỮNG BÀI TOÁN CHƯA CÓ LỜI GIẢI TRONG TOPIC NÀY


Bài 2: Cho dãy số {$ x_n$ } được xác định bởi: $ \left\{\begin{array}{l}{x_0=1}\\{x_{n+1}=2+\sqrt{x_n}-2\sqrt{1+\sqrt{x_n}}} \end{array}\right. $
Ta xác đinh dãy {$ y_n$} bởi công thức $ y_n=\sum_{k=1}^{n}x_k.2^k, \forall n \in N^{*} $.Tìm công thức tổng quát của dãy {$ y_n$ } .


bài này tìm được CTTQ là $ x_n=(\sqrt[n+1]{2}-1)^2 $ thì tịt, không biết làm thế nào để tính cái tổng kia nữa
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#290 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 14-10-2012 - 14:28

các bác giải hộ e bài hệ nha

#291 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 14-10-2012 - 19:38

các bác giải hộ e bài hệ nha


Đã có ở đây rồi bạn.

#292 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 14-10-2012 - 23:41

Bài 9:Bất đẳng thức đã cho tương đương với
$$\sum \frac{b(a-b)^{2}}{c(b+c)}\geq 0$$

#293 eneim

eneim

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Đã gửi 08-02-2013 - 09:08

bài này tìm được CTTQ là $ x_n=(\sqrt[n+1]{2}-1)^2 $ thì tịt, không biết làm thế nào để tính cái tổng kia nữa


Bạn tìm công thức tổng quát sai nên tịt là đúng rồi.

Công thức tổng quát của $x_n$ phải là

$x_n = (2^\frac{1}{2^n}-1)^2$

Ra công thức này thay vào tổng kia sẽ thấy sai phân.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eneim: 10-02-2013 - 09:39


#294 ttlhty

ttlhty

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 03-04-2013 - 16:53

Đẩy topic lên phát.
Từ $x+y+z=1$. Đặt $x=ab;y=bc;z=ac$ với $a,b,c>0$. BĐT cần chứng minh trở thành $$\frac{ab}{ab+(bc)(ac)}+\frac{bc}{bc+(ac)(ab)}+\frac{abc}{ac+(ab)(bc)}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{b}{1+b^2}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Do $ab+bc+ac=1$ nên đặt $a=tg\frac{\alpha}{2};b=tg\frac{\beta}{2};c=tg\frac{\gamma}{2}$ với $\alpha,\beta,\gamma \in (0;\pi)$ và $\alpha+\beta+\gamma =\pi$
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $$\frac{1}{1+tg^2\frac{\gamma}{2}}+\frac{1}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}+\frac{tg\frac{\beta}{2}}{1+tg^2\frac{\beta}{2}}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
$$\Leftrightarrow cos^2\frac{\gamma}{2}+cos^2\frac{\alpha}{2}+\frac{sin\beta}{2}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Sử dụng $cosx=2cos^2\frac{x}{2}-1$ ta có
$$\frac{cos\gamma+1}{2}+\frac{cos \alpha+1}{2}+\frac{sin \beta}{2}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Ta cần chứng minh $sin\beta +cos\alpha +cos\gamma \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$$cos\alpha +cos\gamma+sin\beta =cos\alpha +cos\gamma+sin[\pi-(\alpha+\gamma)]= \frac{2}{\sqrt{3}}(\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}cos\gamma)+\frac{1}{\sqrt{3}}(\sqrt{3}sin\alpha cos\gamma+\sqrt{3}cos \alpha sin \gamma)$$
$$\leq \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{3}{4}+cos^2\alpha+\frac{3}{4}+cos^2\gamma)+\frac{1}{2\sqrt{3}}(3sin^2\alpha+cos^2\gamma+cos^2\alpha+3 sin^2\gamma)$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(cos^2\alpha+sin^2\alpha)+\frac{\sqrt{3}}{2}(cos^2\gamma+sin^2\gamma)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Vậy bài toán được chứng minh $\blacksquare$

HAY THẬT :]]]]]]]]]]]] KHÂM PHỤC

NHƯ THẾ NÀO THÌ MỚI ĐẶT ĐƯỢC ẨN PHỤ NHƯ THẾ <X=ab,Y=......>

<SAU BÀI NÀY CỨ BÀI NÀO THẤY NGOẰN NGHÈO LÀ T ĐẶT NHƯ VẬY THỬ XEM SAO : )))))))))))))))))>

VỚI LẠI XIN HỎI THƯỜNG THÌ NGƯỜI TA ĐẶT ẨN PHỤ NTN? :)))



#295 tieutuhamchoi98

tieutuhamchoi98

    Trung sĩ

  • Banned
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nguyệt Đức - Yên Lạc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 18-08-2013 - 07:18

Hay! 



#296 ltnghia98tn

ltnghia98tn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 01-10-2013 - 21:00

Bài 1: Chứng minh rằng: Từ tập hợp gồm 25 số dương luôn có thể chọn được 2 số mà tổng và hiệu của chúng không trùng với 23 số còn lại


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ltnghia98tn: 02-10-2013 - 13:49


#297 ltnghia98tn

ltnghia98tn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 02-10-2013 - 22:15

Bài 1: Chứng minh rằng: Từ tập hợp gồm 25 số dương luôn có thể chọn được 2 số mà tổng và hiệu của chúng không trùng với 23 số còn lại

Bài 2: Cho $a,b,c$ thuộc khoảng $\left [ 1;2 \right ]$. CMR:

$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a)\geq (a+b+c)^3$

Bài 3: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^4+2y^3-x=-\frac{1}{4}+3\sqrt{3}\\ y^4+2x^3-y=-\frac{1}{4}-3\sqrt{3} \end{matrix}\right.$


#298 vinhphu68

vinhphu68

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-12-2013 - 20:27

Toàn là những ý tưởng sáng tạo , nhiều bài hay ghê 

Gia sư môn toán anh văn 



#299 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Đã gửi 23-03-2020 - 11:45

Bài 43: Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho mọi số nguyên dương với n chữ số, một trong chúng là 7 và những chữ số khác bằng 1 là một số nguyên tố.

Bai my kho




3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh