Chủ đề này có 298 trả lời

[hxthanh]

Bình tĩnh đã
Còn nhiều bài hay hơn nữa trên kia mà!

[hxthanh]

Phát biểu Bài 16 dưới dạng:

$\sum\limits_{i=k}^{k+99} i^8 \mod 100=\;?$

____________________
Ta có:
$\text{Với: }x=100p+r;\; p\in\mathbb{N};\;r\in\{0,1,...99\}\Rightarrow (100p+r)^8\equiv r^8 \pmod{100}$
Do đó:
$\sum\limits_{i=k}^{k+99} i^8\equiv \sum\limits_{i=0}^{99} i^8 \pmod{100}$

Tính trực tiếp tổng $S_{99}=\sum\limits_{i=0}^{99} i^8$ bằng cách sử dụng công thức:

$S_n=\sum\limits_{i=0}^n i^8 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)(5n^6+15n^5+5n^4-15n^3-n^2+9n-3)}{90}\;\;(*)$

Thay $n=99$, ta được

$S_{99}=106177773111333330$

Đáp số là: $\boxed{30}$
_____________________________
Có một vài phương pháp để tính được $(*)$ chẳng hạn dùng phương pháp sai phân tuyến tính hoặc tính dần qua tổng cơ bản cấp thấp hơn (khá dài)
Trong bài này, có thể chứng minh $(*)$ bằng quy nạp!

[Crystal]

Bài 108: Giải bất phương trình sau: $$ {2^{lo{g_2}x}}{3^{lo{g_2}x - 1}}{5^{lo{g_2}x - 2}} \geqslant 12$$

Điều kiện: $x > 0$. Bất phương trình đã cho tương đương với:
$${2^{{{\log }_2}x}}.\frac{{{3^{{{\log }_2}x}}}}{3}.\frac{{{5^{{{\log }_2}x}}}}{{25}} \geqslant 12 \Leftrightarrow {\left( {2.3.5} \right)^{{{\log }_2}x}} \geqslant 12.3.25$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {2.3.5} \right)^{{{\log }_2}x}} \geqslant {\left( {2.3.5} \right)^2} \Leftrightarrow {\log _2}x \geqslant 2 \Leftrightarrow \boxed{x \geqslant 4}$$

[shinichikudo2106]

Làm lại bài này mọi người kiểm tra thử
Áp dụng định lý Fermat ta có
$2001^{2003} \equiv 2001(\bmod 2003)$
$2001^7 \equiv 1875(\bmod 2003)$
=> $2001^{2003} .2001^7 = 2001^{2010} \equiv 1995.1875 \equiv 1024(\bmod 2003)$

mình làm kết quả ra khác, mọi người kt giúp
ta có : $(2001,2003)=1$ nên theo định lý ơ-le :
$2001^{\rho (2003)}\equiv 1 (mod 2003)$
mà 2003 là số nguyên tố nên $\rho (2003)=2002 \Rightarrow 2001^{2002}\equiv 1 (mod 2003)$ (1)
lại có $2001^{2 }\equiv 4 (mod 2003)\Rightarrow 2001^{8}\equiv 4^{4}\equiv 256 (mod 2003)$ (2)
từ (1) và (2) : $2001^{2010}\equiv 256 (mod 2003)$

[Crystal]

Khởi động lại topic với bài toán sau nhé. Các bạn vào hâm nóng pic này đi nào.

Bài 123: Giải phương trình $$ \mathbf{\ln {\left( {x + 1} \right)^{2\left( {x + 1} \right)}} = {x^2} + 2x}$$

[Nxb]

Khởi động lại topic với bài toán sau nhé. Các bạn vào hâm nóng pic này đi nào.

Bài 123: Giải phương trình $$ \mathbf{\ln {\left( {x + 1} \right)^{2\left( {x + 1} \right)}} = {x^2} + 2x}$$

Lời giải
Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm $x=0$, ta sẽ chứng minh đây là nghiệm duy nhất. Thật vậy, giả sử $x=a>0$ là 1 nghiệm #$0$ của phương trình đã nêu thì:
$$\dfrac {2(a+1)\ln(a+1)}{a^{2}+2a}=1$$
$$\Rightarrow \exists c \in (0,a): \dfrac {2(\ln(c+1)+1)}{2c+2}=1$$
$$\Rightarrow \ln(c+1)=c$$
Xét hàm số $f(t)=\ln(t+1)-t$, với $t \in (0, a)$, $f'(t)=\dfrac {-t}{t+1}<0$, vậy $f(t)$ đơn điệu nên $c=0$, điều này dẫn đến mâu thuẫn vì $c \in (0, a)$, tương tự với trường hợp $a<0$
P/S:
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên trên tập $ N ^{*} $: $ (x+y)(1+xy)=2^z $
Lời giải
Dễ thấy rằng $x, y$ thỏa mãn $x+y=2^{m}, 1+xy=2^{n}$ với $m+n=z$, do đó $x, y$ là nghiệm của phương trình:
$$X^{2}-2^{m}X+2^{n}-1=0$$
Vậy để $x, y$ nguyên thì $\delta '=(2^{m-1})^{2}-2^n+1$ phải là số chính phương, khi đó $m \geq n$, vì nếu $m < n$ thì $(2^{m-1}-1)^{2}=(2^{m-1})^{2}-2^{m}+1<\delta'<(2^{m-1})^{2}$. Từ đó ta có
$$x+y-xy-1 \geq 0$$
$$\Leftrightarrow (x-1)(y-1) \leq 0$$
Do đó phải có 1 số $=1$, cuối cùng dễ dàng có được
$$x=1, y=2^{k}-1, z=2k \vee y=1, x=2^{k}-1, z=2k ; k \in {N}^{*}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 29-04-2012 - 19:30

[Ispectorgadget]

Bài 122: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của: $$Q = \dfrac{x}{{x + yz}} + \dfrac{y}{{y + xz}} + \dfrac{{\sqrt {xyz} }}{{z + xy}}$$

Đẩy topic lên phát.
Từ $x+y+z=1$. Đặt $x=ab;y=bc;z=ac$ với $a,b,c>0$. BĐT cần chứng minh trở thành $$\frac{ab}{ab+(bc)(ac)}+\frac{bc}{bc+(ac)(ab)}+\frac{abc}{ac+(ab)(bc)}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{b}{1+b^2}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Do $ab+bc+ac=1$ nên đặt $a=tg\frac{\alpha}{2};b=tg\frac{\beta}{2};c=tg\frac{\gamma}{2}$ với $\alpha,\beta,\gamma \in (0;\pi)$ và $\alpha+\beta+\gamma =\pi$
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $$\frac{1}{1+tg^2\frac{\gamma}{2}}+\frac{1}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}+\frac{tg\frac{\beta}{2}}{1+tg^2\frac{\beta}{2}}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
$$\Leftrightarrow cos^2\frac{\gamma}{2}+cos^2\frac{\alpha}{2}+\frac{sin\beta}{2}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Sử dụng $cosx=2cos^2\frac{x}{2}-1$ ta có
$$\frac{cos\gamma+1}{2}+\frac{cos \alpha+1}{2}+\frac{sin \beta}{2}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Ta cần chứng minh $sin\beta +cos\alpha +cos\gamma \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$$cos\alpha +cos\gamma+sin\beta =cos\alpha +cos\gamma+sin[\pi-(\alpha+\gamma)]= \frac{2}{\sqrt{3}}(\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}cos\gamma)+\frac{1}{\sqrt{3}}(\sqrt{3}sin\alpha cos\gamma+\sqrt{3}cos \alpha sin \gamma)$$
$$\leq \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{3}{4}+cos^2\alpha+\frac{3}{4}+cos^2\gamma)+\frac{1}{2\sqrt{3}}(3sin^2\alpha+cos^2\gamma+cos^2\alpha+3 sin^2\gamma)$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(cos^2\alpha+sin^2\alpha)+\frac{\sqrt{3}}{2}(cos^2\gamma+sin^2\gamma)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Vậy bài toán được chứng minh $\blacksquare$

[Ispectorgadget]

Bài 88: Cho $x,y,z > 0$ thỏa $x + y + z = 1$. Tìm GTNN của: $$P = {x^3} + \sqrt {1 + {y^2}} + \sqrt[4]{{1 + {z^4}}}$$

Đây là cách giải em tham khảo được
Ta có các hàm số $f(t)=t^3;g(t)=\sqrt{1+t^2};h(t)=\sqrt[4]{1+z^4}, t\in(0;1)$ là những hàm số có dạo hàm cấp hai dương trên khoảng $(0;1)$. Nên với $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=1$ áp dụng BĐT tiếp tuyến ta có:$$f(x)\geq f'(a)(x-a)+f(a);\, h(y)\geq h'(b)(y-b)+h(b);\, g(z)\geq g'©(z-c)+g©$$
Ta chọn $a,b,c$ sao cho \[f'(a) = g'(b) = h' (c ) = k \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{a^2} = k\\
\frac{b}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} = k\\
\frac{{{c^3}}}{{\sqrt[4]{{{{(1 + {c^4})}^3}}}}} = k
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \sqrt {\frac{k}{3}} \\
b = \sqrt {\frac{k}{{1 - {k^2}}}} \\
c = \frac{{\sqrt[3]{k}}}{{\sqrt[4]{{1 - k\sqrt[3]{k}}}}}
\end{array} \right.(1)\]
Do $a+b+c=1\Leftrightarrow \sqrt{\frac{k}{3}}+\frac{k}{\sqrt{1-k^2}}+\frac{\sqrt[3]{k}}{\sqrt[4]{1-k\sqrt[3]{k}}}=1(2)$

Dễ thấy phương trình $(2)$ luôn có nghiệm trong khoảng $(0;1)$
$$\Rightarrow P=f(x)+g(y)+h(z)\geq f(a)+h(b)+g( c)=\frac{k\sqrt{3k}}{9}+\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{1-k\sqrt[3]{k}}}$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=x;b=y;z=c$ vậy min =$\frac{k\sqrt{3k}}{9}+\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{1-k\sqrt[3]{k}}}$ với k nằm trong $(0;1)$ của (2)

[NGOCTIEN_A1_DQH]

NHỮNG BÀI TOÁN CHƯA CÓ LỜI GIẢI TRONG TOPIC NÀY

Bài 2: Cho dãy số {$ x_n$ } được xác định bởi: $ \left\{\begin{array}{l}{x_0=1}\\{x_{n+1}=2+\sqrt{x_n}-2\sqrt{1+\sqrt{x_n}}} \end{array}\right. $
Ta xác đinh dãy {$ y_n$} bởi công thức $ y_n=\sum_{k=1}^{n}x_k.2^k, \forall n \in N^{*} $.Tìm công thức tổng quát của dãy {$ y_n$ } .

bài này tìm được CTTQ là $ x_n=(\sqrt[n+1]{2}-1)^2 $ thì tịt, không biết làm thế nào để tính cái tổng kia nữa

[tramyvodoi]

các bác giải hộ e bài hệ nha

[Crystal]

các bác giải hộ e bài hệ nha

Đã có ở đây rồi bạn.

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài 9:Bất đẳng thức đã cho tương đương với
$$\sum \frac{b(a-b)^{2}}{c(b+c)}\geq 0$$

[eneim]

bài này tìm được CTTQ là $ x_n=(\sqrt[n+1]{2}-1)^2 $ thì tịt, không biết làm thế nào để tính cái tổng kia nữa

Bạn tìm công thức tổng quát sai nên tịt là đúng rồi.

Công thức tổng quát của $x_n$ phải là

$x_n = (2^\frac{1}{2^n}-1)^2$

Ra công thức này thay vào tổng kia sẽ thấy sai phân.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eneim: 10-02-2013 - 09:39

[ttlhty]

Đẩy topic lên phát.
Từ $x+y+z=1$. Đặt $x=ab;y=bc;z=ac$ với $a,b,c>0$. BĐT cần chứng minh trở thành $$\frac{ab}{ab+(bc)(ac)}+\frac{bc}{bc+(ac)(ab)}+\frac{abc}{ac+(ab)(bc)}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{b}{1+b^2}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Do $ab+bc+ac=1$ nên đặt $a=tg\frac{\alpha}{2};b=tg\frac{\beta}{2};c=tg\frac{\gamma}{2}$ với $\alpha,\beta,\gamma \in (0;\pi)$ và $\alpha+\beta+\gamma =\pi$
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $$\frac{1}{1+tg^2\frac{\gamma}{2}}+\frac{1}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}+\frac{tg\frac{\beta}{2}}{1+tg^2\frac{\beta}{2}}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
$$\Leftrightarrow cos^2\frac{\gamma}{2}+cos^2\frac{\alpha}{2}+\frac{sin\beta}{2}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Sử dụng $cosx=2cos^2\frac{x}{2}-1$ ta có
$$\frac{cos\gamma+1}{2}+\frac{cos \alpha+1}{2}+\frac{sin \beta}{2}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Ta cần chứng minh $sin\beta +cos\alpha +cos\gamma \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$$cos\alpha +cos\gamma+sin\beta =cos\alpha +cos\gamma+sin[\pi-(\alpha+\gamma)]= \frac{2}{\sqrt{3}}(\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}cos\gamma)+\frac{1}{\sqrt{3}}(\sqrt{3}sin\alpha cos\gamma+\sqrt{3}cos \alpha sin \gamma)$$
$$\leq \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{3}{4}+cos^2\alpha+\frac{3}{4}+cos^2\gamma)+\frac{1}{2\sqrt{3}}(3sin^2\alpha+cos^2\gamma+cos^2\alpha+3 sin^2\gamma)$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(cos^2\alpha+sin^2\alpha)+\frac{\sqrt{3}}{2}(cos^2\gamma+sin^2\gamma)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Vậy bài toán được chứng minh $\blacksquare$

HAY THẬT :]]]]]]]]]]]] KHÂM PHỤC

NHƯ THẾ NÀO THÌ MỚI ĐẶT ĐƯỢC ẨN PHỤ NHƯ THẾ <X=ab,Y=......>

<SAU BÀI NÀY CỨ BÀI NÀO THẤY NGOẰN NGHÈO LÀ T ĐẶT NHƯ VẬY THỬ XEM SAO : )))))))))))))))))>

VỚI LẠI XIN HỎI THƯỜNG THÌ NGƯỜI TA ĐẶT ẨN PHỤ NTN? )

[tieutuhamchoi98]

Hay! 

[ltnghia98tn]

Bài 1: Chứng minh rằng: Từ tập hợp gồm 25 số dương luôn có thể chọn được 2 số mà tổng và hiệu của chúng không trùng với 23 số còn lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ltnghia98tn: 02-10-2013 - 13:49

[ltnghia98tn]

Bài 1: Chứng minh rằng: Từ tập hợp gồm 25 số dương luôn có thể chọn được 2 số mà tổng và hiệu của chúng không trùng với 23 số còn lại

Bài 2: Cho $a,b,c$ thuộc khoảng $\left [ 1;2 \right ]$. CMR:

$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a)\geq (a+b+c)^3$

Bài 3: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^4+2y^3-x=-\frac{1}{4}+3\sqrt{3}\\ y^4+2x^3-y=-\frac{1}{4}-3\sqrt{3} \end{matrix}\right.$

[vinhphu68]

Toàn là những ý tưởng sáng tạo , nhiều bài hay ghê 

Gia sư môn toán anh văn 

[toanhoc2017]

Bài 43: Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho mọi số nguyên dương với n chữ số, một trong chúng là 7 và những chữ số khác bằng 1 là một số nguyên tố.

Bai my kho