Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 12 Bình chọn

Mỗi ngày một chút


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 298 trả lời

#21 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 31-07-2011 - 22:48

Bài 16: Lấy 100 số tự nhiên liên tiếp, mỗi số nâng lên lũy thừa bậc 8. Tổng các lũy thừa đó sẽ tận cùng bởi 2 chữ số nào?
Bài 17: Tìm tất cả các hàm số $f:\,R^ + \to R^ + $ thỏa mãn điều kiện $f\left( x \right).f\left( y \right) = f\left( {x + yf\left( x \right)} \right),\,\,\forall x,y \in R^ + $.

------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

#22 Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 02-08-2011 - 20:27

Bài 16: Lấy 100 số tự nhiên liên tiếp, mỗi số nâng lên lũy thừa bậc 8. Tổng các lũy thừa đó sẽ tận cùng bởi 2 chữ số nào?
Bài 17: Tìm tất cả các hàm số $f:\,R^ + \to R^ + $ thỏa mãn điều kiện $f\left( x \right).f\left( y \right) = f\left( {x + yf\left( x \right)} \right),\,\,\forall x,y \in R^ + $.

------------


Bài 17: Thay $ y=0 $ , ta có: $ f(x).f(0)=f(x) \Rightarrow f(x)=0 $ hoặc $ f(0)=1 $
TH $ f(0) =1 $ , Ta thay $ x=0 $ vào hàm ta được $ f(y)=f(y) $ nghĩa là f đơn ánh .
Lại có :
$ f(x).f(y)=f(y).f(x)=f(y+xf(y)) \Rightarrow f(y+xf(y))=f(x+yf(x)) $ Do hàm f đơn ánh nên suy ra:
$ y+xf(y)=x+yf(x) \Leftrightarrow (1-f(y))x=y(1-f(x)) $ , suy ra $ x|1-f(x) $ hoặc $ 1-f(x)|x $
TH: $ 1-f(x)|x \Rightarrow f(x)$ có dạng $ ax+1(a>0) $
TH $ x|1-f(x) \Rightarrow 1-f(x)=x^kQ(x) (k \geq 2, Q(x) \neq 0) $ suy ra:
$ x^{k-1}Q(x)=y^{k-1}Q(y) $ (Vô lí )
Thử lại thấy 2 đa thức $ f(x)=0 $ và $ f(x)=ax +1(a>0) $ Đều thỏa mãn.
$ \Rightarrow dpcm $
P/s : Bài viết còn nhiều sai sót mong mọi người góp ý .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 03-08-2011 - 08:29

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#23 Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 02-08-2011 - 20:35

Bài 18 : Hãy tìm số thực k lớn nhất cho với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc=1 , ta luôn có BĐt:
$ \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+3k\geq (k+1)(a+b+c) $
Bài 19 cho dãy {$ U_n$ } , biết rằng :
$ \left\{\begin{array}{l}{U_1=-4}\\{U_2=10}\\{u_{n+2}+U_{n+1}-6U_n=12} \end{array}\right. $
Chứng minh rằng $ n|(U_n+4) $ với mọi n nguyên tố .

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#24 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 03-08-2011 - 12:49

Bài 18 : Hãy tìm số thực k lớn nhất cho với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc=1 , ta luôn có BĐt:
$ \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+3k\geq (k+1)(a+b+c) $


Bài này k=1 phải không anh!

---------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

#25 Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 03-08-2011 - 13:24

Bài này k=1 phải không anh!

---------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Chính xác đó ;)), bạn làm đi :in

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#26 loveyou

loveyou

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương

Đã gửi 03-08-2011 - 13:35

Bài này k=1 phải không anh!

---------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Bài này đề thi VMO hay TST gì đó năm 2006 hay 2007 mà, lời giải chỉ có 2-3 dòng

#27 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 03-08-2011 - 16:45

Bài 18 : Hãy tìm số thực k lớn nhất cho với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc=1 , ta luôn có BĐt:
$ \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+3k\geq (k+1)(a+b+c) $


Ta chứng minh BĐT đúng với k=1. Thật vậy:

$\dfrac{1}{{a^2 }} + \dfrac{1}{{b^2 }} + \dfrac{1}{{c^2 }} + 3 \ge 2\left( {a + b + c} \right)$

Đặt

$x = \dfrac{1}{a},\,y = \dfrac{1}{b},\,z = \dfrac{1}{c} \Rightarrow xyz = 1$

và $p = a + b + c,\,\,q = ab + bc + ca,\,\,\,r = abc$ đồng thời đổi biến thành p, q, r ta có BĐT trở thành:

$p^2 - 2q + 3 \ge 2q \Leftrightarrow 4q - p^2 \le 3$

BĐT trên đúng theo BĐT Schur nên ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$.
Vậy k=1 là giá trị cần tìm.

-------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!


#28 loveyou

loveyou

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương

Đã gửi 03-08-2011 - 17:51

Ta chứng minh BĐT đúng với k=1. Thật vậy:

$\dfrac{1}{{a^2 }} + \dfrac{1}{{b^2 }} + \dfrac{1}{{c^2 }} + 3 \ge 2\left( {a + b + c} \right)$

Đặt

$x = \dfrac{1}{a},\,y = \dfrac{1}{b},\,z = \dfrac{1}{c} \Rightarrow xyz = 1$

và $p = a + b + c,\,\,q = ab + bc + ca,\,\,\,r = abc$ đồng thời đổi biến thành p, q, r ta có BĐT trở thành:

$p^2 - 2q + 3 \ge 2q \Leftrightarrow 4q - p^2 \le 3$

BĐT trên đúng theo BĐT Schur nên ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$.
Vậy k=1 là giá trị cần tìm.

-------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Hẵng còn lời giải nữa cực ngắn không cần dùng BĐT nào cao siêu cả
Gợi ý, trong 3 số a, b, c luôn có 2 số cùng không lớn hơn hoặc không cùng nhỏ hơn 1 nên có thể giả sử $(a-1)(b-1) \ge 1$ từ đó đưa BĐT về tổng các đại lượng không âm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loveyou: 03-08-2011 - 17:52


#29 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 03-08-2011 - 18:18

Mình xin post một bài toán (mong Hoàng Lâm cho mình post bài)
Bài 20 Giải phương trình:

$\sqrt{{x^{2}}-\dfrac{1}{4}+\sqrt{{x^{2}}+x+\dfrac{1}{4}}}=\dfrac{1}{2}\left({2{x^{3}}+{x^{2}}+2x+1}\right)$


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#30 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 03-08-2011 - 19:18

Mình xin post một bài toán (mong Hoàng Lâm cho mình post bài)
Bài 20 Giải phương trình:

$\sqrt{{x^{2}}-\dfrac{1}{4}+\sqrt{{x^{2}}+x+\dfrac{1}{4}}}=\dfrac{1}{2}\left({2{x^{3}}+{x^{2}}+2x+1}\right)$ (1)

VT (1) được biến đổi thành $\sqrt {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2 } = \left| {x + \dfrac{1}{2}} \right|$
Do đó phương trình (1) $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {2x^3 + x^2 + 2x + 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ - x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {2x^3 + x^2 + 2x + 1} \right)\,\,\,\,\,\,(3) \\ \end{array} \right.$
Giải (2) và (3) ta tìm được nghiệm của phương trình là $x = 0;\,\,x = - \dfrac{1}{2}$

---------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

#31 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 03-08-2011 - 19:38

Bài 21: Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho $2^{2}^{n}+2^{n}+1$ chia hết cho $21$.
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#32 amondragon

amondragon

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-08-2011 - 19:41

VT (1) được biến đổi thành $\sqrt {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2 } = \left| {x + \dfrac{1}{2}} \right|$
Do đó phương trình (1) $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {2x^3 + x^2 + 2x + 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ - x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {2x^3 + x^2 + 2x + 1} \right)\,\,\,\,\,\,(3) \\ \end{array} \right.$
Giải (2) và (3) ta tìm được nghiệm của phương trình là $x = 0;\,\,x = - \dfrac{1}{2}$

---------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Bạn có thể nói rõ cách biến đổi VT ko?

#33 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 03-08-2011 - 20:00

Bạn có thể nói rõ cách biến đổi VT ko?


Biểu thức trong căn là hằng đẳng thức $\left( {a + b} \right)^2 $ thôi bạn ak. ;))

---------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

#34 Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 03-08-2011 - 20:27

Bài 21: Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho $2^{2}^{n}+2^{n}+1$ chia hết cho $21$.

Bài này ta làm tửng bước như sau. Đặt$ P=2^{2}^{n}+2^{n}+1$ suy ra $ 21| P $ khi
$ 3|P $ và $ 7|P $
Ta có $ 2 \equiv -1 ( mod 3 ) \Rightarrow 2^{2n} \equiv 1 ( mod 3) $ và $ 2^n \equiv (-1)^n (mod 3 ) $
suy ra $ 2^{2n}+2^n+1 \equiv 2+ (-1)^n (mod 3 ) $ . Vậy để $ 3|P $ thì n chẵn, Đặt $ n=2k $
Ta có :
$ P=2^{4k}+2^{2k}+1 $ , ta sẽ xét module 7.
Xét $ k=3z $ , $ P=2^{4.3z}+2^{2.3z}+1=8^{4z}+8^{2z}+1 $
Do $ 8 \equiv 1 (mod 7 ) \Rightarrow P \equiv 1+1+1 (mod 7 ) $ nghĩa là P không chia hết cho 7.
Xét $ k=3z+1 $ , Ta có :
$ P= 8^{4z}.2^4+8^{2z}.2^2+1 \equiv 21 (mod 7 ) $ Nghĩa là $ 7|P $
Xét $ k=3z+2 $ thì $ P= 8^{4z}.2^8+8^{2z}.2^4+1 \equiv 2^8+2^4+1 (mod 7 ) $
Mà $ 2^8+2^4+1=273$ chia hết cho 7.
Từ đây suy ra những giá trị cần tìm của n
a) $ n=2k=2(3z+1)=6z+2$ với $ z \in N $
b) $ n=2k =2(3z+2)=6z+4 $ với $ z \in N $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 03-08-2011 - 20:28

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#35 Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 04-08-2011 - 10:20

Bài 22 : Giải phương trình:
$ 3x(2+\sqrt{9x^2+3})+(4x+2)(\sqrt{1+x+x^2}+1)=0 $
Bài 23 cho a,b,c >0 thỏa $ a+b+c=1 $ . Cmr :
$ \sqrt{ab+c} +\sqrt{bc+a}+\sqrt{ac+b} \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+a+b+c $
P/s Riêng bài 23 mấy bác thấy sai thì kêu nha. Bài đó mình mới biến đổi 1 tí từ bài APMO 2001.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 04-08-2011 - 10:44

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#36 loveyou

loveyou

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương

Đã gửi 04-08-2011 - 10:55

Bài 23 cho a,b,c >0 thỏa $ a+b+c=1 $ . Cmr :
$ \sqrt{ab+c} +\sqrt{bc+a}+\sqrt{ac+b} \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+a+b+c $
P/s Riêng bài 23 mấy bác thấy sai thì kêu nha. Bài đó mình mới biến đổi 1 tí từ bài APMO 2001.


Bài này dễ mà $\sqrt{ab+c} = \sqrt{ab+c(a+b+c)} = \sqrt{(a+c)(b+c)} \ge (\sqrt{ab} + c)$ (BĐT Cauchy- Schwartz). Viết 2 BĐT tương tự rồi cộng lại

#37 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 04-08-2011 - 14:54

Bài 19 cho dãy {$ U_n$ } , biết rằng :
$ \left\{\begin{array}{l}{U_1=-4}\\{U_2=10}\\{u_{n+2}+U_{n+1}-6U_n=12} \end{array}\right. $
Chứng minh rằng $ n|(U_n+4) $ với mọi n nguyên tố .


Em xin làm nốt bài này.

Dễ dàng xác định được CTTQ của dãy $u_n$ là: (dùng pp sai phân)
$u_n = 2^n + ( - 3)^n - 3,\,n = 1,2,...$
$\Rightarrow u_n + 4 = 1 + 2^n + ( - 3)^n $
Vì n là số nguyên tố nên theo định lý nhỏ Fecma, ta có:
$2^{n - 1} \equiv 1\,\left( {\bmod n} \right)$ hay $2^n \equiv 2\,\left( {\bmod n} \right)$
$\left( { - 3} \right)^{n - 1} \equiv 1\,\left( {\bmod n} \right)$ hay $\left( { - 3} \right)^n \equiv - 3\,\left( {\bmod n} \right)$
Vậy suy ra $u_n + 4 \equiv \left( {1 + 2 - 3} \right)\,\left( {\bmod n} \right) \Leftrightarrow u_n + 4\, \vdots \,n$.
Đó là đpcm.

---------------
KHÔNG THỬ SAO BIÊT!!!

#38 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 04-08-2011 - 15:04

Bài 24: Chứng minh rằng tồn tại vô số số $n \in N^* $ sao cho
$5x_n^{1992} + 5x_n^{1954} + 4x_n^{1975} + 8x_n^{1945} + 2x_n^{1930} + 11x_n^2 + 48\,\, \vdots \,1992$.

-------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

#39 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 04-08-2011 - 18:26

Bài 22 : Giải phương trình:
$ 3x(2+\sqrt{9x^2+3})+(4x+2)(\sqrt{1+x+x^2}+1)=0 \ \ \ \ \ (1)$

Chém bài 23
$ (1) \Rightarrow -65\,{x}^{4}+32\,{x}^{3}+109\,{x}^{2}+80\,\sqrt{{x}^{2}+x+1}{x}^{2}+60\,x+56\,\sqrt{{x}^{2}+x+1}x+8+8\,\sqrt{{x}^{2}+x+1}=0 \Rightarrow {x}^{2}\left( 169\,{x}^{4}-234\,{x}^{3}-695\,{x}^{2}-360\,x-32\right)\left( 1+5\,x\right)^{2}=0$

Từ đây dễ dàng tìm được nghiệm duy nhất $x=-\dfrac{1}{5}$
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#40 truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trúc Lâm

Đã gửi 04-08-2011 - 20:38

Bài 22 : Giải phương trình:
$ 3x(2+\sqrt{9x^2+3})+(4x+2)(\sqrt{1+x+x^2}+1)=0 $
Bài 23 cho a,b,c >0 thỏa $ a+b+c=1 $ . Cmr :
$ \sqrt{ab+c} +\sqrt{bc+a}+\sqrt{ac+b} \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+a+b+c $
P/s Riêng bài 23 mấy bác thấy sai thì kêu nha. Bài đó mình mới biến đổi 1 tí từ bài APMO 2001.


Bài 22 :

$\begin{array}{l}3x(2 + \sqrt {9{x^2} + 3} ) + (4x + 2)(\sqrt {1 + x + {x^2}} + 1) = 0\\\\\Leftrightarrow 3x(2 + \sqrt {{{(3x)}^2} + 3} ) = ( - 2x - 1)(\sqrt {{{( - 2x - 1)}^2} + 3} + 2)\\\\f(a) = a(2 + \sqrt {{a^2} + 3} );f'(a) > 0\forall a \Rightarrow 3x = - 2x - 1 \Rightarrow x = \dfrac{{ - 1}}{5}\end{array}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 04-08-2011 - 20:39





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh