Chủ đề này có 297 trả lời

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 40 : Tìm tât cả các số nguyên dương k sao cho phương trình :
$ x^2+y^2+x+y=kxy $ có nghiệm nguyên dương

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Bài 40 : Tìm tât cả các số nguyên dương k sao cho phương trình :
$ x^2+y^2+x+y=kxy $ có nghiệm nguyên dương

mình làm thế này không biết đúng không nữa, có gì sai thì mọi người thông cảm nha

$ PT \Leftrightarrow x^2-x.(1-ky)+y^2+y=0 $

coi đây là PT bậc 2 ẩn x ta có:

$ \delta_x=(1-ky)^2-4y^2-4y=y^2.(k^2-4)-2y.(k+2)+1 $

vì x nguyên nên $ \delta_x $ phải là số chính phương, hay nếu ta coi $ \delta_x $ là PT bậc 2 ẩn y thì $ \delta'_y=0 $

$ \delta'_y=0 \\ \Leftrightarrow (k+2)^2-k^2+4=0 \\ \Leftrightarrow k=-2 \Rightarrow (L) $
vậy không có giá trị nào của k để PT có nghiệm nguyên dương
đã xong

[Nguyễn Hoàng Lâm]

mình làm thế này không biết đúng không nữa, có gì sai thì mọi người thông cảm nha

$ PT \Leftrightarrow x^2-x.(1-ky)+y^2+y=0 $

coi đây là PT bậc 2 ẩn x ta có:

$ \delta_x=(1-ky)^2-4y^2-4y=y^2.(k^2-4)-2y.(k+2)+1 $

Bạn nhầm chỗ biến đổi này rồi !
P/s: Mấy bài kiểu bậc 2 thế này có một phương pháp rất hay gọi là Vieta Jumpling . Bạn có thể download về theo link ở dưới, lưu ý là tài liệu viết bằng tiếng anh , cho nên sẽ hơi mệt một tí . ( Thực ra là đã có dịch thuật của phương pháp này rồi , nhưng mình không nhớ nó nằm ở đâu ).
Link VMF :  tr09taltvieta.pdf   85.33K   304 Số lần tải
Link Mediafire Here

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 11-08-2011 - 18:15

[Zaraki]

Bài 40 : Tìm tât cả các số nguyên dương k sao cho phương trình :
$ x^2+y^2+x+y=kxy $ có nghiệm nguyên dương

Chém bài này cái đã
Ta có $x^{2}-(ky-1)x+y^{2}+y=0$.
Giả sử $(x_{0},y_{0})$ là nghiệm của phương trình và $(x_{0}+y_{0})$ nhỏ nhất.
Giả sử tiếp $x_{0}\geq y_{0}$,
Rất dễ để thấy ta có thể tìm thêm lời giải khác là $(x_{1},y_{0})$ và $(x_{1}+y_{0})\geq x_{0}+y_{0}$.
Sử dụng bổ đề Vieta Jumpling ta có $x_{1}=ky_{0}-1-x_{0}=\dfrac{y_{0}^{2}+y_{0}}{x_{0}}$.
Vì $x_{1}\geq x_{0}$, nên $\dfrac{y_{0}^{2}+y_{0}}{x_{0}}\geq x_{0}$,
$y_{0}^{2}\leq x_{0}^{2}\leq(y_{0}^{2}+y_{0})<(y_{0}+1)^{2}$.
Nên $x_{0}=y_{0}$,
Ta có $k=2+\dfrac{2}{x_{0}}$ và $x_{0}$ là số nguyên.
$k=3,k=4$
Hoàn thành chứng minh.
P/s: Anh Lâm có thể up lên Mediafire rồi đưa link được ko anh, chỗ em không tải được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 11-08-2011 - 17:33

[Crystal]

Theo anh Lâm mình xin post lời giải bài 31.
Xét hàm số: $g\left( x \right) = x^3 + x\,:R \to R$
Hàm số này đơn điệu nên tồn tại hàm ngược $g^{ - 1} \left( x \right)\,:R \to R$
Từ đó ta được:

$f\left( x \right) = g^{ - 1} \left( x \right) = \sqrt[3]{{\dfrac{x}{2} + \sqrt {\dfrac{{x^2 }}{4} + \dfrac{1}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{\dfrac{x}{2} - \sqrt {\dfrac{{x^2 }}{4} + \dfrac{1}{{27}}} }}$.

Thử lại thấy đúng.

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 41 : Giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}}\\{4xy^3+y^3+\dfrac{1}{2}=2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}}\end{array}\right. $
Bài 42 : Cho (O) với hai dây AB và CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S của BD kẻ SM cắt AC tại K. chứng minh rằng :
$ \dfrac{AM^2}{CM^2} = \dfrac{AK}{CK} $
( P/s: Bài này mấy bạn chịu khó vẽ hình post lên nhé )

[Crystal]

Bài 43: Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho mọi số nguyên dương với n chữ số, một trong chúng là 7 và những chữ số khác bằng 1 là một số nguyên tố.

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 44 : Giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{x^3+1=2(x^2-x+y)}\\{y^3+1=2(y^2-y+x)}\end{array}\right. $

[nguyenphu.manh]

Bài 44 : Giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{x^3+1=2(x^2-x+y)}\\{y^3+1=2(y^2-y+x)}\end{array}\right. $

Trừ vế cho vế,được x=y.
Thay vào pt1 ta sẽ được 3 nghiệm...

[Zaraki]

Bài 41 : Giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}}\\{4xy^3+y^3+\dfrac{1}{2}=2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}}\end{array}\right. $

Bài 41 mình tìm được nghiệm là $x=-1/2, \ y=-1$, đang tiếp tục suy nghĩ.

[Zaraki]

Bài 44 : Giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{x^3+1=2(x^2-x+y)}\\{y^3+1=2(y^2-y+x)}\end{array}\right. $

Xin đưa thêm lời giải khác cho bài toán này (theo ý của nguyenphu.manh)

Trừ phương trình (2) cho phương trình (1) ta có

$(x-y)(x^2+xy+y^2)=2(x-y)(x+y-2)$

Nếu $x=y$ thì phương trình (1) trở thành $x^3-2x^2+1=0\iff (x-1)(x^2-x-1)=0\iff x_1=1\land x_{2,3}={1\pm\sqrt{5}\over 2}$.

Nếu $x \ne y$ thì $x^2+xy+y^2-2x-2y+4=0\iff (x+y)^2+(x-2)^2+(y-2)^2=0$, không tìm được nghiệm của phương trình.

Như vậy $x=y\in\left\{1,{1\pm\sqrt{5}\over 2}\right\}$.

Bữa nay có ngẫu hứng, cống hiến thêm một cách giải khác cho bài 44.

Viết phương trình thành

$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 2{x^2} + 2x + 1 = 2y \\ {y^3} - 2{y^2} + 2y + 1 = 2x \\ \end{array} \right.$

Đặt $f\left( t \right) = {t^3} - 2{t^2} + 2t + 1$$, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 2y \\ f\left( y \right) = 2x \\ \end{array} \right.$

Ta luôn luôn có $f'\left( t \right) = 3{t^2} - 4t + 2 = {t^2} + 2{\left( {t - 1} \right)^2} > 0$.

Giả sử $x \ge y$ thì $f\left( x \right) \ge f\left( y \right) \Rightarrow 2y \ge 2x \Leftrightarrow y \ge x$.

Như vậy $x=y$, thay vào phương trình ta có

$\begin{array}{l}{x^3} - 2{x^2} + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow x = 1 \vee x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2} \\ \end{array}$.

Bài toán được giải quyết.

[hangochoanthien]

Bài 36 : Giải hệ :
$ \left\{\begin{array}{l}{x^{19}+y^5=1890z+z^{2001}}\\{y^{19}+z^5=1890x+x^{2001}} \\ {z^{19}+x^5=1890y+y^{2001}} \end{array}\right. $

Bài này Giả sử $x=max[x;y;z]$.Nếu $y \geq z$.Lấy(1) trừ (2).Nếu $z \geq y$.
Lấy (3) trừ (2).
P\s:Mình vừa nghĩ thôi,các bác kiểm chứng dùm.TKS mọi nguời nhiều.

[Crystal]

Bài 45: Cho bát giác $A_1 A_2 ...A_8 $ nội tiếp đường tròn tâm 0. Chứng minh rằng nếu các đường chéo $A_1 A_5 ,A_2 A_6 ,A_3 A_7 ,A_4 A_8 $ đồng quy tại H (H không trùng 0) thì giao điểm của các cặp đường chéo $A_1 A_3 $ và $A_5 A_7 $, $A_1 A_7 $ và $A_3 A_5 $, $A_2 A_8 $ và $A_4 A_6 $ (nếu tồn tại) cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 46: Tìm số các hoán vị không có điểm cố định của tập hợp $\left\{ {1,2,...,n} \right\}$.

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 47 : Cho $ \Delta ABC $ với 3 đường phần giác $ AA_1 ; BB_1; CC_1 $ . Gọi khoảng cách từ $ A_1 $ đến AB , $ B_1 $ đến BC , $ C_1 $ đến CA lần lượt là $ a_1 , b_1 , c_1 $ . Chứng minh rằng :
$ \dfrac{a_1}{h_a}+\dfrac{b_1}{h_b}+\dfrac{c_1}{h_c} \geq \dfrac{3}{2} $

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
$ a) x^2+4y^2=115-2x $
$ b ) x^2+y^2+z^2 =xy+3x+2z-4 $

[Didier]

Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
$ a) x^2+4y^2=115-2x $
$ b ) x^2+y^2+z^2 =xy+3x+2z-4 $

$(x+1)^{2}+4y^{2}=116=4^{2}+10^{2}$
$ \left\{\begin{array}{l}x=3\\y=5\end{array}\right. $
hoặc $ \left\{\begin{array}{l}x=9\\y=2\end{array}\right. $

[Zaraki]

Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
$ a) x^2+4y^2=115-2x $
$ b ) x^2+y^2+z^2 =xy+3x+2z-4 $

b) $x^2+y^2+z^2 =xy+3x+2z-4(1)$
$(1)\Leftrightarrow (x^2-4xy+4y^2)+3(x^2-4x+4)+4(z^2-2z+1)=0$
$\Leftrightarrow (x-2y)^2+3(x-2)^2+4(z-1)^2=0$.

[Zaraki]

$(x+1)^{2}+4y^{2}=116=4^{2}+10^{2}$
$ \left\{\begin{array}{l}x=3\\y=5\end{array}\right. $
hoặc $ \left\{\begin{array}{l}x=9\\y=2\end{array}\right. $

Giải như thế này có gọi là hơi có tính chất đoán mò không nhỉ

$\fbox{x =- 5;y = -5}$ và $\fbox{x = -11; y = -2}$ vẫn đúng mà anh?

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 49 : Cho $ \Delta ABC $ có $ IG \perp IC $ với I là tâm đường tròn nội tiếp và G là trọng tâm $ \Delta ABC $ . Chứng minh rằng:
$ \dfrac{a+b+c}{3} =\dfrac{2ab}{a+b} $
( $ AB=c ; CA=b, BC =a )$

[Zaraki]

Anh Lâm à, em có một đề nghị nho nhỏ, trong topic chúng ta vẫn còn một số bài hình chưa có lời giải, không biết vì sao nhưng thấy mọi người ít làm hình quá (cả em cũng thế), anh post thời giải mấy bài ấy đã anh nhỉ!
@ Nguyễn Hoàng Lâm : Nêu thế thì vào một số giờ rảnh anh sẽ post lời giải ( Chủ Nhật chẳng hạn )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 17-08-2011 - 17:52