Mỗi ngày một chút
#81
Đã gửi 11-08-2011 - 11:50
$ x^2+y^2+x+y=kxy $ có nghiệm nguyên dương
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#82
Đã gửi 11-08-2011 - 12:17
mình làm thế này không biết đúng không nữa, có gì sai thì mọi người thông cảm nhaBài 40 : Tìm tât cả các số nguyên dương k sao cho phương trình :
$ x^2+y^2+x+y=kxy $ có nghiệm nguyên dương
$ PT \Leftrightarrow x^2-x.(1-ky)+y^2+y=0 $
coi đây là PT bậc 2 ẩn x ta có:
$ \delta_x=(1-ky)^2-4y^2-4y=y^2.(k^2-4)-2y.(k+2)+1 $
vì x nguyên nên $ \delta_x $ phải là số chính phương, hay nếu ta coi $ \delta_x $ là PT bậc 2 ẩn y thì $ \delta'_y=0 $
$ \delta'_y=0 \\ \Leftrightarrow (k+2)^2-k^2+4=0 \\ \Leftrightarrow k=-2 \Rightarrow (L) $
vậy không có giá trị nào của k để PT có nghiệm nguyên dương
đã xong
Mong rằng toán học bớt khô khan
Em ơi trong toán nhiều công thức
Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn
#83
Đã gửi 11-08-2011 - 17:16
Bạn nhầm chỗ biến đổi này rồi !mình làm thế này không biết đúng không nữa, có gì sai thì mọi người thông cảm nha
$ PT \Leftrightarrow x^2-x.(1-ky)+y^2+y=0 $
coi đây là PT bậc 2 ẩn x ta có:
$ \delta_x=(1-ky)^2-4y^2-4y=y^2.(k^2-4)-2y.(k+2)+1 $
P/s: Mấy bài kiểu bậc 2 thế này có một phương pháp rất hay gọi là Vieta Jumpling . Bạn có thể download về theo link ở dưới, lưu ý là tài liệu viết bằng tiếng anh , cho nên sẽ hơi mệt một tí . ( Thực ra là đã có dịch thuật của phương pháp này rồi , nhưng mình không nhớ nó nằm ở đâu ).
Link VMF : tr09taltvieta.pdf 85.33K 306 Số lần tải
Link Mediafire Here
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 11-08-2011 - 18:15
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#84
Đã gửi 11-08-2011 - 17:31
Chém bài này cái đãBài 40 : Tìm tât cả các số nguyên dương k sao cho phương trình :
$ x^2+y^2+x+y=kxy $ có nghiệm nguyên dương
Ta có $x^{2}-(ky-1)x+y^{2}+y=0$.
Giả sử $(x_{0},y_{0})$ là nghiệm của phương trình và $(x_{0}+y_{0})$ nhỏ nhất.
Giả sử tiếp $x_{0}\geq y_{0}$,
Rất dễ để thấy ta có thể tìm thêm lời giải khác là $(x_{1},y_{0})$ và $(x_{1}+y_{0})\geq x_{0}+y_{0}$.
Sử dụng bổ đề Vieta Jumpling ta có $x_{1}=ky_{0}-1-x_{0}=\dfrac{y_{0}^{2}+y_{0}}{x_{0}}$.
Vì $x_{1}\geq x_{0}$, nên $\dfrac{y_{0}^{2}+y_{0}}{x_{0}}\geq x_{0}$,
$y_{0}^{2}\leq x_{0}^{2}\leq(y_{0}^{2}+y_{0})<(y_{0}+1)^{2}$.
Nên $x_{0}=y_{0}$,
Ta có $k=2+\dfrac{2}{x_{0}}$ và $x_{0}$ là số nguyên.
$k=3,k=4$
Hoàn thành chứng minh.
P/s: Anh Lâm có thể up lên Mediafire rồi đưa link được ko anh, chỗ em không tải được.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 11-08-2011 - 17:33
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#85
Đã gửi 11-08-2011 - 20:02
Xét hàm số: $g\left( x \right) = x^3 + x\,:R \to R$
Hàm số này đơn điệu nên tồn tại hàm ngược $g^{ - 1} \left( x \right)\,:R \to R$
Từ đó ta được:
$f\left( x \right) = g^{ - 1} \left( x \right) = \sqrt[3]{{\dfrac{x}{2} + \sqrt {\dfrac{{x^2 }}{4} + \dfrac{1}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{\dfrac{x}{2} - \sqrt {\dfrac{{x^2 }}{4} + \dfrac{1}{{27}}} }}$.
#86
Đã gửi 12-08-2011 - 11:25
$ \left\{\begin{array}{l}{y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}}\\{4xy^3+y^3+\dfrac{1}{2}=2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}}\end{array}\right. $
Bài 42 : Cho (O) với hai dây AB và CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S của BD kẻ SM cắt AC tại K. chứng minh rằng :
$ \dfrac{AM^2}{CM^2} = \dfrac{AK}{CK} $
( P/s: Bài này mấy bạn chịu khó vẽ hình post lên nhé )
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#87
Đã gửi 13-08-2011 - 16:23
#88
Đã gửi 13-08-2011 - 17:54
$ \left\{\begin{array}{l}{x^3+1=2(x^2-x+y)}\\{y^3+1=2(y^2-y+x)}\end{array}\right. $
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#89
Đã gửi 13-08-2011 - 18:13
Trừ vế cho vế,được x=y.Bài 44 : Giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{x^3+1=2(x^2-x+y)}\\{y^3+1=2(y^2-y+x)}\end{array}\right. $
Thay vào pt1 ta sẽ được 3 nghiệm...
#90
Đã gửi 13-08-2011 - 21:28
Bài 41 mình tìm được nghiệm là $x=-1/2, \ y=-1$, đang tiếp tục suy nghĩ.Bài 41 : Giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}}\\{4xy^3+y^3+\dfrac{1}{2}=2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}}\end{array}\right. $
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#91
Đã gửi 14-08-2011 - 10:10
Xin đưa thêm lời giải khác cho bài toán này (theo ý của nguyenphu.manh)Bài 44 : Giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{x^3+1=2(x^2-x+y)}\\{y^3+1=2(y^2-y+x)}\end{array}\right. $
Trừ phương trình (2) cho phương trình (1) ta có
$(x-y)(x^2+xy+y^2)=2(x-y)(x+y-2)$
Nếu $x=y$ thì phương trình (1) trở thành $x^3-2x^2+1=0\iff (x-1)(x^2-x-1)=0\iff x_1=1\land x_{2,3}={1\pm\sqrt{5}\over 2}$.
Nếu $x \ne y$ thì $x^2+xy+y^2-2x-2y+4=0\iff (x+y)^2+(x-2)^2+(y-2)^2=0$, không tìm được nghiệm của phương trình.
Như vậy $x=y\in\left\{1,{1\pm\sqrt{5}\over 2}\right\}$.
Bữa nay có ngẫu hứng, cống hiến thêm một cách giải khác cho bài 44.
Viết phương trình thành
$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 2{x^2} + 2x + 1 = 2y \\ {y^3} - 2{y^2} + 2y + 1 = 2x \\ \end{array} \right.$
Đặt $f\left( t \right) = {t^3} - 2{t^2} + 2t + 1$$, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 2y \\ f\left( y \right) = 2x \\ \end{array} \right.$
Ta luôn luôn có $f'\left( t \right) = 3{t^2} - 4t + 2 = {t^2} + 2{\left( {t - 1} \right)^2} > 0$.
Giả sử $x \ge y$ thì $f\left( x \right) \ge f\left( y \right) \Rightarrow 2y \ge 2x \Leftrightarrow y \ge x$.
Như vậy $x=y$, thay vào phương trình ta có
$\begin{array}{l}{x^3} - 2{x^2} + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow x = 1 \vee x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2} \\ \end{array}$.
Bài toán được giải quyết.
- Poseidont yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#92
Đã gửi 14-08-2011 - 19:01
Bài này Giả sử $x=max[x;y;z]$.Nếu $y \geq z$.Lấy(1) trừ (2).Nếu $z \geq y$.Bài 36 : Giải hệ :
$ \left\{\begin{array}{l}{x^{19}+y^5=1890z+z^{2001}}\\{y^{19}+z^5=1890x+x^{2001}} \\ {z^{19}+x^5=1890y+y^{2001}} \end{array}\right. $
Lấy (3) trừ (2).
P\s:Mình vừa nghĩ thôi,các bác kiểm chứng dùm.TKS mọi nguời nhiều.
#93
Đã gửi 14-08-2011 - 19:34
Bài 46: Tìm số các hoán vị không có điểm cố định của tập hợp $\left\{ {1,2,...,n} \right\}$.
#94
Đã gửi 14-08-2011 - 21:53
$ \dfrac{a_1}{h_a}+\dfrac{b_1}{h_b}+\dfrac{c_1}{h_c} \geq \dfrac{3}{2} $
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#95
Đã gửi 15-08-2011 - 21:49
$ a) x^2+4y^2=115-2x $
$ b ) x^2+y^2+z^2 =xy+3x+2z-4 $
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#96
Đã gửi 15-08-2011 - 22:06
$(x+1)^{2}+4y^{2}=116=4^{2}+10^{2}$Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
$ a) x^2+4y^2=115-2x $
$ b ) x^2+y^2+z^2 =xy+3x+2z-4 $
$ \left\{\begin{array}{l}x=3\\y=5\end{array}\right. $
hoặc $ \left\{\begin{array}{l}x=9\\y=2\end{array}\right. $
#97
Đã gửi 16-08-2011 - 16:11
b) $x^2+y^2+z^2 =xy+3x+2z-4(1)$Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
$ a) x^2+4y^2=115-2x $
$ b ) x^2+y^2+z^2 =xy+3x+2z-4 $
$(1)\Leftrightarrow (x^2-4xy+4y^2)+3(x^2-4x+4)+4(z^2-2z+1)=0$
$\Leftrightarrow (x-2y)^2+3(x-2)^2+4(z-1)^2=0$.
- Poseidont yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#98
Đã gửi 16-08-2011 - 16:21
Giải như thế này có gọi là hơi có tính chất đoán mò không nhỉ$(x+1)^{2}+4y^{2}=116=4^{2}+10^{2}$
$ \left\{\begin{array}{l}x=3\\y=5\end{array}\right. $
hoặc $ \left\{\begin{array}{l}x=9\\y=2\end{array}\right. $
$\fbox{x =- 5;y = -5}$ và $\fbox{x = -11; y = -2}$ vẫn đúng mà anh?
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#99
Đã gửi 16-08-2011 - 22:43
$ \dfrac{a+b+c}{3} =\dfrac{2ab}{a+b} $
( $ AB=c ; CA=b, BC =a )$
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#100
Đã gửi 17-08-2011 - 16:55
@ Nguyễn Hoàng Lâm : Nêu thế thì vào một số giờ rảnh anh sẽ post lời giải ( Chủ Nhật chẳng hạn )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 17-08-2011 - 17:52
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh