Chủ đề này có 297 trả lời

[go out]

Hôm nay mới có dịp tham gia topic...
Mạn phép góp 1 bài "kiếm cơm" trong các đề thi.
Bài 67 Cho $y = x^3 + px^2 + pqx + q^3$ có đồ thị là $C$
Với $q; p$ là các số dương thỏa mãn $p>3q$
CMR $ ( C)$ cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ là cấp số nhân.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi go out: 01-09-2011 - 22:33

[Zaraki]

Bài 68. Giải hệ phương trình
a. $\begin{cases}6x^2\sqrt{x^3-6x+5}}=(x^2+2x-6)(x^3+4)\\ x+\dfrac{2}{x}=1+\dfrac{2}{y^2}\end{cases}$
b. $\begin{cases}\sqrt{4x^2+(4x-9)(x-y)}+\sqrt{xy}=3y\\ 4\sqrt{(x+2)(y+2x)}=3(x+3)\end{cases}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 01-09-2011 - 06:18

[Crystal]

Xin đưa ra lời giải cho bài toán này.
Bài 58: Giải phương trình: $\sqrt {x^2 - \dfrac{7}{4}\sqrt x + 1} = \left( {1 - \sqrt x } \right)^2 $.

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - \dfrac{7}{4}\sqrt x + 1 \ge 0\end{array} \right.$

Đặt: $t = \sqrt x \ge 0 \Rightarrow x = {t^2}$. Phương trình đã cho trở thành: $\sqrt {{t^4} - \dfrac{7}{4}t + 1} = {\left( {1 - t} \right)^2}$

Bình phương hai vế $ \Rightarrow {t^4} - \dfrac{7}{4}t = {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)^2} - 1$

$ \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow t\left( {16{t^2} - 24t + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow t{\left( {4t - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t \in \left\{ {0;\dfrac{3}{4}} \right\}$

$ \Leftrightarrow x \in \left\{ {0;\dfrac{9}{{16}}} \right\}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 0,\,\,\,\,x = \dfrac{9}{{16}}$.

P/s: Còn thêm cách khá nữa, mọi người tìm nhé.

[Crystal]

Bài 69: Chứng minh rằng từ 4 số cho trước luôn có thể chọn được 2 số ký hiệu là x, y thỏa mãn $0 \le \dfrac{{x - y}}{{1 + xy}} \le 1$

[NguyThang khtn]

Bài 45: Cho bát giác $A_1 A_2 ...A_8 $ nội tiếp đường tròn tâm 0. Chứng minh rằng nếu các đường chéo $A_1 A_5 ,A_2 A_6 ,A_3 A_7 ,A_4 A_8 $ đồng quy tại H (H không trùng 0) thì giao điểm của các cặp đường chéo $A_1 A_3 $ và $A_5 A_7 $, $A_1 A_7 $ và $A_3 A_5 $, $A_2 A_8 $ và $A_4 A_6 $ (nếu tồn tại) cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 46: Tìm số các hoán vị không có điểm cố định của tập hợp $\left\{ {1,2,...,n} \right\}$.



Bài 49 : Cho $ \Delta ABC $ có $ IG \perp IC $ với I là tâm đường tròn nội tiếp và G là trọng tâm $ \Delta ABC $ . Chứng minh rằng:
$ \dfrac{a+b+c}{3} =\dfrac{2ab}{a+b} $
( $ AB=c ; CA=b, BC =a )$




Bài 50 : Cho cấp số cộng $ a_1,a_2,...a_n $ có tất cả các số hạng đều khác 0 . Cmr :
$ \dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+...+\dfrac{1}{a_{n-1}a_n} = \dfrac{n-1}{a_1a_n} $
P/s: Mấy bài mình post mà chưa có lời giải thì sẽ được post lời giải trong thời gian sắp tới. Những bài của các bạn khác mà chưa có lời giải có thể gửi trực tiếp lên topic hoặc gửi email cho mình chờ khi nào thích hợp thì mình post. Thân !


Bài 54: Tìm tham số a để hệ sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}{l}a\left( {x - a} \right)^2 \left( {x - 2\sqrt 2 } \right) + 1 \le 0 \\ x > a > 0 \\ \end{array} \right.$
Bài 55:Giải phương trình: $\left( {\log _2 x} \right)^2 + x\log _7 \left( {x + 3} \right) = \log _2 x\left[ {\dfrac{x}{2} + 2\log _7 \left( {x + 3} \right)} \right]$.

Bài 63. Giải phương trình nghiệm nguyên
a) $a^{3}-2b^{3}+6a^{2}b-3ab^{2}=2$
b) $(c^{2}-3d^{2})c+3(3c^{3}-d^{2})d=1$

P/s: Thật xin lỗi nhưng bài toán này mình vẫn chưa tìm ra lời giải, mong mọi người giúp đỡ.


Cùng nhau đánh bài xả stress .
Bài 64 : Có 4 bạn chơi tiến lên, mỗi bạn nhận được 13 quân bài . Tính xác suất mà 1 người chơi nhận được 1 bộ tứ quí trong 13 quân bài đó .

Bài 65 : Giải hệ phương trình :
$ \left\{\begin{array}{l}{xy+y+2x=2}\\{yz+2z+3y=6}\\{xz+z+3x=5 } \end{array}\right. $
P/s: Dạo này mấy bác phải tự xử thôi. Xin lỗi vì không có thời gian online nhiều .

Bài 66 : Tìm GTLN , GTNN của $ P= x^2+y^2-xy $ biết $ \left\{\begin{array}{l}{0 \leq x+y \leq 2}\\{x^2+y^2+xy=3}\end{array}\right. $




Bài 66:
Cho $a,b,c,d \in \left[ {0,1} \right]$ .
Tìm Min:
$P = (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) + a + b + c + d$



Bài 68. Giải hệ phương trình
a. $\begin{cases}6x^2\sqrt{x^3-6x+5}}=(x^2+2x-6)(x^3+4)\\ x+\dfrac{2}{x}=1+\dfrac{2}{y^2}\end{cases}$
b. $\begin{cases}\sqrt{4x^2+(4x-9)(x-y)}+\sqrt{xy}=3y\\ 4\sqrt{(x+2)(y+2x)}=3(x+3)\end{cases}$

Bài 69: Chứng minh rằng từ 4 số cho trước luôn có thể chọn được 2 số ký hiệu là x, y thỏa mãn $0 \le \dfrac{{x - y}}{{1 + xy}} \le 1$

Đây là các bài toán chưa có lời giải mong mọi ngừoi giải quyết hết tạm thời chưa pót bài mới!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 01-09-2011 - 17:33

[alex_hoang]

Bài 66 đã được bàn ở diễn đàn rồi
Bài 11
http://diendantoanho...?...=58600&st=0

[Crystal]

Bài 50 và bài 55 đã có lời giải rồi! Mọi người tập trung giải quyết mấy bài còn lại nhé.

[go out]

Bài 50:
Gọi $d$ là công sai của dãy số. Nhân 2 vế cho $d$ ta được:
$ \dfrac{d}{a_1a_2}+ \dfrac{d}{a_2a_3}+ ...+\dfrac{d}{a_{n-1}a_n}= \dfrac{d(n-1)}{a_1a_n} $
Nhận xét rằng:
$ \dfrac{d}{a_1a_2} = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_2} $
$ \dfrac{d}{a_2a_3} = \dfrac{1}{a_2} - \dfrac{1}{a_3} $
$ \Rightarrow VT = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{a_2}-\dfrac{1}{a_3} ... +\dfrac{1}{a_{n-1}} -\dfrac{1}{a_n} $
$ = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_n} = \dfrac{a_n - a_1}{a_1a_n} = \dfrac{d(n-1) }{a_1a_n} $
Từ đây ta có đpcm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi go out: 01-09-2011 - 23:24

[Crystal]

Bài 50:
Gọi $d$ là công sai của dãy số. Nhân 2 vế cho $d$ ta được:
$ \dfrac{d}{a_1a_2}+ \dfrac{d}{a_2a_3}+ ...+\dfrac{d}{a_{n-1}a_n}= \dfrac{d(n-1)}{a_1a_n} $
Nhận xét rằng:
$ \dfrac{d}{a_1a_2} = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_2} $
$ \dfrac{d}{a_2a_3} = \dfrac{1}{a_2} - \dfrac{1}{a_3} $
$ \Rightarrow VT = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{a_2}-\dfrac{1}{a_3} ... +\dfrac{1}{a_{n-1}} -\dfrac{1}{a_n} $
$ = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_n} = \dfrac{a_n - a_1}{a_1a_n} = \dfrac{d(n-1) }{a_1a_n} $
Từ đây ta có đpcm!

Mình đã bảo bài này đã có lời giải rôi! Lời giải của bạn có khác gì lời giải trước đó đâu. Bạn hãy làm phần nghịch được đề cuối lời giải của mình nhé.

[hoangdang]

Bài 68 : Cho các số thực dương $ a,b,c$ thỏa mãn $abc=1 $ .Chứng minh rằng :
$ (a-1+\dfrac{1}{b})(b-1+\dfrac{1}{c})(c-1+\dfrac{1}{a}) \leq 1 $ (IMO 2000)
P/s : Một bài tiểu biểu cho Bất đẳng thức Schur .

Đặt a=x/y, b=y/z, c=z/x. Áp dụng BĐT : $(x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)\leq xyz$ là ra ngay!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangdang: 02-09-2011 - 00:00

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 70 : Cho $ a_1 , a_2 , ... a_n $ là một dãy các số thực thỏa mãn $ a_{i+j} \leq a_i+a_j , \forall i,j =1,2,...n $
Chứng minh rằng : $ a_1 +\dfrac{a_2}{2} +\dfrac{a_3}{3} + ...+\dfrac{a_n}{n} \geq a_n $

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 71 : Cho 4 số không âm $ a,b,c,d $ thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2+d^2=1 $
Chứng minh rằng :
$ a+ b + c + d \ge a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + ab + ac + ad + bc + bd + cd $

[go out]

Bữa giờ topic ngừng hoạt động nhỉ! Post bài cho sôi động lên nhé!
Bài 72: Cho hàm số $f : R \to R$ thỏa mãn:
$f(x) + f(y) = f(x+y) - xy - 1 \forall x, y \in R$
Cho $f(1) = 1$ hãy tìm n nguyên sao cho $f(n) = n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi go out: 07-09-2011 - 20:17

[alex_hoang]

Bài 71 : Cho 4 số không âm $ a,b,c,d $ thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2+d^2=1 $
Chứng minh rằng :
$ a+ b + c + d \ge a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) $

Theo mình đề phải như vậy mới đúng
Giải
$\[a + b + c + d = (a + b + c + d)({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}) = {a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} + ({a^2}b + {b^2}a) + ({b^2}c + {c^2}b) + ({c^2}d + {d^2}c) + ({d^2}a + {a^2}d) \ge VP(Theo AM GM)$
Ta có đpcm

[Zaraki]

Bài 72. Giải phương trình với nghiệm thực

$\begin{cases}a^{3}+3 a^{2}b+3 a b^{2}+b^{3}= 8 c\\ b^{3}+3 b^{2}c+3 b c^{2}+c^{3}= 8a\\ a^{3}+3 a^{2}c+3 a c^{2}+c^{3}= 8b\end{cases}$

[vietfrog]

Bài 72. Giải phương trình với nghiệm thực

$\begin{cases}a^{3}+3 a^{2}b+3 a b^{2}+b^{3}= 8 c\\ b^{3}+3 b^{2}c+3 b c^{2}+c^{3}= 8a\\ a^{3}+3 a^{2}c+3 a c^{2}+c^{3}= 8b\end{cases}$

Bài làm
Hệ đã cho tương đương:
$\left\{ \begin{array}{l}{(a + b)^3} = 8c{\rm{ (1)}}\\{(a + c)^3} = 8b{\rm{ (2)}}\\{(c + b)^3} = 8a{\rm{ (3)}}\end{array} \right.$
Từ (1) và (2) ta có: (trừ theo vế)
${(a + b)^3} - {(c + b)^3} = 8c - 8a$
$ \Leftrightarrow (a - c)\left[ {{{(a + b)}^2} + {{(c + b)}^2} + (a + b).(c + b) + 8} \right] = 0$ ( do cái trong ngoặc vuông dương rồi)
$ \Leftrightarrow a = c$
Làm tương tự ta thu được :$a = b = c$
Thay vào (1) ta được:
${(2a)^3} = 8a \Leftrightarrow 8{a^3} = 8a$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 1\\a = - 1\end{array} \right.$
Thử lại..... Kết luận.......

[vietfrog]

Cùng giải một câu BĐT sau:
Bài 73:
Cho $0<x,y<1$ và $x \ne y$
Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{{x - y}}.\left( {\ln \dfrac{x}{{1 - x}} - \ln \dfrac{y}{{1 - y}}} \right) > 4$

[Crystal]

Cùng giải một câu BĐT sau:
Bài 73:
Cho $0<x,y<1$ và $x \ne y$
Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{{x - y}}.\left( {\ln \dfrac{x}{{1 - x}} - \ln \dfrac{y}{{1 - y}}} \right) > 4$

Giả sử x > y, khi đó BDT viết dưới dạng: $\ln \dfrac{x}{{1 - x}} - \ln \dfrac{y}{{1 - y}} > 4\left( {x - y} \right) \Leftrightarrow \ln \dfrac{x}{{1 - x}} - 4x > \ln \dfrac{y}{{1 - y}} - 4y$

Xét hàm số:$f\left( t \right) = \ln \dfrac{t}{{1 - t}} - 4t,\,\,\,t \in \left( {0;1} \right)$

Ta có: $f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\left( {1 - t} \right)}} - 4 \ge \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{t + 1 - t}}{2}} \right)}^2}}} - 4 = 0$

Suy ra hàm f tăng. Do đó: $f\left( x \right) > f\left( y \right) \Leftrightarrow \ln \dfrac{x}{{1 - x}} - 4x > \ln \dfrac{y}{{1 - y}} - 4y$ đpcm.

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 74 : Giải phương trình :
$a) ( \sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+1}+2x-5)=x $.
$ b) \sqrt{2x^2+3x+5}+\sqrt{2x^2-3x+5}=3x $.

[Crystal]

Bài 74 : Giải phương trình :
$a) ( \sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+1}+2x-5)=x $. (1)
$ b) \sqrt{2x^2+3x+5}+\sqrt{2x^2-3x+5}=3x $. (2)

Bài a: ĐK: $x \ge - 1$.

Đặt: $a = \sqrt {x + 1} \ge 0 \Rightarrow x = {a^2} - 1$. Khi đó phương trình (1) trở thành: $\left( {a + 1} \right)\left[ {a + 2\left( {{a^2} - 1} \right) - 5} \right] = {a^2} - 1$

$ \Leftrightarrow {a^2} + 2{a^3} - 7a + a + 2{a^2} - 7 = {a^2} - 1 \Leftrightarrow 2{a^3} + 2{a^2} - 6a - 6 = 0$

$ \Leftrightarrow 2{a^2}\left( {a + 1} \right) - 6\left( {a + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - 3} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow {a^2} = 3 \Leftrightarrow a = \sqrt 3 \,\,\,\,\left( {a \ge 0 \Rightarrow a + 1 > 0} \right)$

$ \Rightarrow \sqrt {x + 1} = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = 2$ thỏa phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 2$.

Bài 2: ĐK: X > 0.

Đặt: $u = \sqrt {2{x^2} + 3x + 5} > 0;\,\,v = \sqrt {2{x^2} - 3x + 5} > 0\,\,\,\,\left( {u \ge v} \right)$

$ \Rightarrow {u^2} - {v^2} = 6x \Rightarrow 3x = \dfrac{{{u^2} - {v^2}}}{2}$

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow u + v = \dfrac{{{u^2} - {v^2}}}{2} \Leftrightarrow 2\left( {u + v} \right) = \left( {u + v} \right)\left( {u - v} \right) \Leftrightarrow u - v = 2$ ( do u + v > 0)

Từ đó giải rồi tìm được nghiệm x.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 10-09-2011 - 22:37