Chủ đề này có 4 trả lời

[N H Tu prince]

1.cho các số dương a,b,c thay đổi và thỏa mãn 3a+4b+5c=12
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$S=\dfrac{ab}{ab+a+b}+\dfrac{2ac}{ac+a+c}+\dfrac{3bc}{bc+b+c} $
2.cho x,y là những số thực dương, tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P= \sqrt{ \dfrac{x^3}{x^3+8y^3} } + \sqrt{ \dfrac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangngocbao1997: 22-07-2011 - 08:40

[kuma]

cho các số dương a,b,c thay đổi và thỏa mãn 3a+4b+5c=12
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$S=\dfrac{ab}{ab+a+b}+\dfrac{2ac}{ac+a+c}+\dfrac{3bc}{bc+b+c} $

$S=\dfrac{ab}{ab+a+b}+\dfrac{2ac}{ac+a+c}+\dfrac{3bc}{bc+b+c}$

$=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{3}{1+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}$

Áp dụng AM-GM, ta có: $1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{ab}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}} \le \dfrac{\sqrt[3]{ab}}{3}$

Tương tự ta cũng có:

$\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}} \le \dfrac{2\sqrt[3]{ac}}{3}$

và $\dfrac{3}{1+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}} \le \dfrac{3\sqrt[3]{bc}}{3}$


Khi đó ta có $S \le \dfrac{\sqrt[3]{ab}+2\sqrt[3]{ac}+ 3\sqrt[3]{bc} }{3}$


Tiếp tục AM-GM với tử số có: $\sqrt[3]{ab} \le \dfrac{a+b +1}{3}$

$2\sqrt[3]{ac} \le \dfrac{2a+2c+2}{3}$

$3\sqrt[3]{bc} \le \dfrac{3b+3c+3}{3}$

$\Rightarrow \sqrt[3]{ab}+2\sqrt[3]{ac}+ 3\sqrt[3]{bc} \le \dfrac{3a+4b+5c+6}{3} = 6$


Do đó $S \le 2$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

[caubeyeutoan2302]

$S=\dfrac{ab}{ab+a+b}+\dfrac{2ac}{ac+a+c}+\dfrac{3bc}{bc+b+c}$

$=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{3}{1+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}$

Áp dụng AM-GM, ta có: $1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{ab}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}} \le \dfrac{\sqrt[3]{ab}}{3}$

Tương tự ta cũng có:

$\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}} \le \dfrac{2\sqrt[3]{ac}}{3}$

và $\dfrac{3}{1+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}} \le \dfrac{3\sqrt[3]{bc}}{3}$
Khi đó ta có $S \le \dfrac{\sqrt[3]{ab}+2\sqrt[3]{ac}+ 3\sqrt[3]{bc} }{3}$
Tiếp tục AM-GM với tử số có: $\sqrt[3]{ab} \le \dfrac{a+b +1}{3}$

$2\sqrt[3]{ac} \le \dfrac{2a+2c+2}{3}$

$3\sqrt[3]{bc} \le \dfrac{3b+3c+3}{3}$

$\Rightarrow \sqrt[3]{ab}+2\sqrt[3]{ac}+ 3\sqrt[3]{bc} \le \dfrac{3a+4b+5c+6}{3} = 6$
Do đó $S \le 2$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bạn thử dùng Swarch xem sao :
Ta có:
$ \dfrac{9ab}{ab+a+b} \le \dfrac{ab}{ab}+\dfrac{ab}{a}+\dfrac{ab}{b}=1+b+a$
$ \dfrac{18ac}{ac+a+c} \le \dfrac{2ac}{ac}+\dfrac{2ac}{a}+\dfrac{2ac}{c}=2+2a+2c$
$ \dfrac{27bc}{bc+b+c} \le \dfrac{3bc}{bc}+\dfrac{3bc}{b}+\dfrac{3bc}{c}=3+3b+3c$
Cộng 3 BĐT trên theo vế và về ta có:
$ 9S=\dfrac{4ab}{ab+a+b}+\dfrac{8ac}{ac+a+c}+\dfrac{12bc}{bc+b+c} \le 6+(3a+4b+5c)=18 $
Suy ra $ S \le 2$ . Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 ^.^

[perfectstrong]

Bài 2 nằm trong đề thi vòng 1 trường THPT chuyên ĐHKHTN năm 2011. Bạn tìm lời giải tại box Kì thi vượt cấp của lớp 9 trong VMF nhé.

[NguyThang khtn]

1.cho các số dương a,b,c thay đổi và thỏa mãn 3a+4b+5c=12
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$S=\dfrac{ab}{ab+a+b}+\dfrac{2ac}{ac+a+c}+\dfrac{3bc}{bc+b+c} $
2.cho x,y là những số thực dương, tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P= \sqrt{ \dfrac{x^3}{x^3+8y^3} } + \sqrt{ \dfrac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}} $

$\sqrt {\dfrac{{x^3 }}{{x^3 + 8y^3 }}} = \dfrac{{x^2 }}{{\sqrt {x\left( {x + 2y} \right)\left( {x^2 - 2xy + 4y^2 } \right)} }}$

$ = \dfrac{{x^2 }}{{\sqrt {\left( {x^2 + 2xy} \right)\left( {x^2 - 2xy + 4y^2 } \right)} }} \geqslant \dfrac{{x^2 }}{{\dfrac{{x^2 + 2xy + x^2 - 2xy + 4y^2 }}{2}}} = \dfrac{{x^2 }}{{x^2 + 2y^2 }}$

$\sqrt {\dfrac{{4y^3 }}{{y^3 + \left( {x + y} \right)^3 }}} = \dfrac{{2y^2 }}{{\sqrt {y\left( {x + 2y} \right)\left( {x^2 + xy + y^2 } \right)} }} = \dfrac{{2y^2 }}{{\sqrt {\left( {xy + 2y^2 } \right)\left( {x^2 + xy + y^2 } \right)} }}$

$ \geqslant \dfrac{{2y^2 }}{{\dfrac{{xy + 2y^2 + x^2 + xy + y^2 }}{2}}} = \dfrac{{2y^2 }}{{y^2 + xy + \dfrac{{x^2 + y^2 }}{2}}} \geqslant \dfrac{{2y^2 }}{{y^2 + \dfrac{{x^2 + y^2 }}{2} + \dfrac{{x^2 + y^2 }}{2}}} = \dfrac{{2y^2 }}{{x^2 + 2y^2 }}$


$\Rightarrow P \geq \dfrac{x^2}{x^2+2y^2}+\dfrac{2y^2}{x^2+2y^2}=1 \Rightarrow minP=1 \Leftrightarrow x=y>0$

Còn đây là bài của mình!

Ta có:
$P = \sqrt{\dfrac{x^3}{x^3 + 8y^3}}\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3 + (x + y)^3}}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{8y^3}{x^3}}}+\dfrac{2}{\sqrt{1+(1+\dfrac{x}{y })^3}}$
dặt $]\dfrac{y}{x}=a \Rightarrow P=\dfrac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\dfrac{2}{\sqrt{1+(1+\dfrac{1}{a })^3}}$
$=\dfrac{1}{(2a+1)(4a^2-2a+1)}+\dfrac{1}{(2a+\dfrac{1}{a })(\dfrac{1}{a^2 }+\dfrac{1}{a }+1)} \geq \dfrac{1}{2a62+1}+\dfrac{2a^2}{2a^2+1} =1(AM-GM)$