cho các số dương a,b,c thay đổi và thỏa mãn 3a+4b+5c=12
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$S=\dfrac{ab}{ab+a+b}+\dfrac{2ac}{ac+a+c}+\dfrac{3bc}{bc+b+c} $
$S=\dfrac{ab}{ab+a+b}+\dfrac{2ac}{ac+a+c}+\dfrac{3bc}{bc+b+c}$
$=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{3}{1+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}$
Áp dụng AM-GM, ta có: $1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{ab}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}} \le \dfrac{\sqrt[3]{ab}}{3}$
Tương tự ta cũng có:
$\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}} \le \dfrac{2\sqrt[3]{ac}}{3}$
và $\dfrac{3}{1+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}} \le \dfrac{3\sqrt[3]{bc}}{3}$
Khi đó ta có $S \le \dfrac{\sqrt[3]{ab}+2\sqrt[3]{ac}+ 3\sqrt[3]{bc} }{3}$
Tiếp tục AM-GM với tử số có: $\sqrt[3]{ab} \le \dfrac{a+b +1}{3}$
$2\sqrt[3]{ac} \le \dfrac{2a+2c+2}{3}$
$3\sqrt[3]{bc} \le \dfrac{3b+3c+3}{3}$
$\Rightarrow \sqrt[3]{ab}+2\sqrt[3]{ac}+ 3\sqrt[3]{bc} \le \dfrac{3a+4b+5c+6}{3} = 6$
Do đó $S \le 2$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$