Bài 30: Tìm m để phương trình $$\left [ x^{2}-2mx-4\left ( m^{2}+1 \right ) \right ]\left [ x^{2}-4x-2m\left ( m^{2}+1 \right ) \right ]=0$$ có đúng 3 nghiệm phân biệt
Lời giải:
$\left [ x^{2}-2mx-4\left ( m^{2}+1 \right ) \right ]\left [ x^{2}-4x-2m\left ( m^{2}+1 \right ) \right ]=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^2-2mx-4(m^2+1)=0 & & \\ x^2-4x-2m(m^2+1)=0 & & \end{bmatrix}$
Xét PT (1):
Có $\Delta '= 5m^2+4> 0$
$\Rightarrow$ PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $ m$
Để pt đã cho có đúng 3 nghiệm thì PT (2) phải có nghiệm
$\Leftrightarrow \Delta '= 2m^3+2m+4\geq 0\Rightarrow m\geq -1$
TH1: PT(2) có nghiệm kép, nghiệm đó phải khác 2 nghiệm của PT (1)
Với $m=-1$, PT (2) có nghiệm kép $x=2$
$\Rightarrow 2^2-2m.2-4(m^2+1)\neq 0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0 & & \\ m\neq -1 & & \end{matrix}\right.$
Từ đó dẫn đến mâu thuẫn $\Rightarrow$ Loại
TH2: PT (2) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm cũng là nghiệm của pt (1)
Giả sử $x_0$ là nghiệm chung của 2 pt
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0^2-2mx_0-4(m^2+1)=0 & & \\ x_0^2-4x_0-2m(m^2+1)=0 & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} m=2 & & \\ x_0=m^2+1 & & \end{bmatrix}$
Thay $m=2$ vào pt ta thấy không thỏa mãn $\Rightarrow$ Loại
Thay $x_0=m^2+1$ vào 1 trong 2 pt và giải pt ta được $m=3$.
Thử lại thấy thỏa mãn
Kết luận:
Vậy $m=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 11-05-2014 - 01:45