Chủ đề này có 1 trả lời

[hoduckhanhgx]

Cho P(x) là một đa thức với hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu đa thức Q(x)= P(x)+12 có ít nhất 6 nghiệm nguyên phân biệt thì P(x) không có nghiệm nguyên.

___________________________
Lí do chỉnh sửa: tên chủ đề gây nhiễu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 24-07-2011 - 15:25

[E. Galois]

Hiển nhiên Q(x) cũng là đa thức với hệ số nguyên.
Giả sử Q(x) có ít nhất 6 nghiệm nguyên phân biệt là a, b, c, d, e, f. Khi đó, tồn tại đa thức R(x) sao cho:

P(x) + 12 = Q(x) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)(x - e)(x - f)R(x)

Từ đó, ta có:

P(x) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)(x - e)(x - f)R(x) - 12

Nếu P(x) có nghiệm nguyên là g thì:

0 = P(g) = (g - a)(g - b)(g - c)(g - d)(g - e)(g - f)R(g) - 12

hay:

(g - a)(g - b)(g - c)(g - d)(g - e)(g - f)R(g) = 12 (1)

Vì a, b, c, d, e, f phân biệt nên từ (1), ta có g - a, g - b, g - c, g - d, g - e, g - f là 6 ước phân biệt của 12.

Mặt khác, Ta có sự phân tích 12:

12 = 2.2.3 = -1.1.2.(-2).3

Vì vậy, 12 không thể biểu diễn quá 5 thừa số (mỗi thừa số là các ước phân biệt). Điều này mâu thuẫn với (1).

Tức là P(x) không có nghiệm nguyên