Lâu quá không có ai vào giải. Mình xin đưa ra lời giải cho 2 bài toán này
Bài 1:Xem số $K = p.19^{2n + 1} + 84^{2n + 1} ,\,\,n \in N$
Ta xác định p để $M \vdots 13390 \Leftrightarrow K \vdots 13390,\,\,n = 997$
Nhận xét rằng: 13390=10.13.103 và các số 10, 13, 103 đôi một nguyên tố cùng nhau.
Ta xác định p sao cho K lần lượt chia hết cho từng số đó.
a) Ta có:
$4^{2n + 1} \equiv 4\,\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow 84^{^{2n + 1} } \equiv 4\,\left( {\bmod 10} \right)$
$9^{2n + 1} \equiv 9\,\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow 19^{^{2n + 1} } \equiv 9\,\left( {\bmod 10} \right)$
$\Rightarrow K \equiv 9p + 4\,\left( {\bmod 10} \right)$
Để $K \vdots 10$ chỉ cần $p \equiv 4\,\left( {\bmod 10} \right)$
b) Ta có thể viết:
$K = p.19^{2n + 1} + \left( {103 - 19} \right)^{2n + 1} = \left( {p - 1} \right)19^{2n + 1} + 103k,\,k \in Z_+$
Để cho $K \vdots 103$ thì:
$p - 1 \equiv 0\left( {\bmod 103} \right) \Leftrightarrow p = 103t + 1,\,\,t \in Z_ + $
Từ hai trường hợp (a) và (b) ta suy ra:
$t = 10q + 1,\,\,q \in Z_ + \Leftrightarrow p = 1030q + 104$
c) Ta lại có:
$K = \left( {1030q + 104} \right).19^{2n + 1} + \left( {5.13 + 19} \right)^{2n + 1} = \left( {1030q + 105} \right).19^{2n + 1} + 13m',\,m' \in Z_ + $
Để $K \vdots 13$ thì:
$1030q + 105 \equiv 0\left( {\bmod 13} \right) \Rightarrow 1030q + 1 \equiv 0\left( {\bmod 13} \right)$
$\Rightarrow 1030q \equiv 12\left( {\bmod 13} \right) \Rightarrow 3q \equiv 12\left( {\bmod 13} \right) \Rightarrow q \equiv 4\left( {\bmod 13} \right)$
$\Rightarrow q = 13h + 4,\,\,h \in N$
Do đó ta có: $p = 13390h + 4224$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow h = 0$
Vậy số p phải tìm để $M \vdots 13390$ là
p=4224.
Bài 2:Ta có:
$f\left( {a,b,c} \right) = \left| {\left| {\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}} \right| + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{2}{c}} \right| + \left| {\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}} \right| + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{c}$
Với mọi $x,y \in R$, ta luôn có:
$\left| {x - y} \right| + x + y = 2\max \left\{ {x,y} \right\}$
$\Rightarrow f\left( {a,b,c} \right) = \left| {2\max \left\{ {\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}} \right\} - \dfrac{2}{c}} \right| + 2\max \left\{ {\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}} \right\} + \dfrac{2}{c}$
$= 2\max \left\{ {2\max \left\{ {\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}} \right\},\dfrac{2}{c}} \right\}$
$\Leftrightarrow f\left( {a,b,c} \right) = 4\max \left\{ {\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}} \right\}$. (đpcm)