Chủ đề này có 13 trả lời

[Crystal]

Bài 1. Tìm số tự nhiên p nhỏ nhất sao cho số 13390 chia hết số $M = p.19^{1995} + 84^{1995} $
Bài 2.
$\begin{array}{l}Cho\,f(a,b,c) = \left| {\dfrac{{\left| {b - a} \right|}}{{\left| {ab} \right|}} + \,\dfrac{{b + a}}{{ab}} - \dfrac{2}{c}} \right| + \left| {\dfrac{{b - a}}{{ab}}}\right| + \dfrac{{b + a}}{{ab}} + \dfrac{2}{c} \\ CMR:\,f(a,b,c) = 4\max \left\{ {\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}} \right\} \\\end{array}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 13-08-2011 - 11:03

[Crystal]

Mọi người đâu hết rồi, sao không ai giải thế này!!!


----------------------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Didier]

1. Tìm số tự nhiên p nhỏ nhất sao cho số 13390 chia hết số $M = p.19^{1995} + 84^{1995} $
2.
$\begin{array}{l}Cho\,f(a,b,c) = \left| {\dfrac{{\left| {b - a} \right|}}{{\left| {ab} \right|}} + \,\dfrac{{b + a}}{{ab}} - \dfrac{2}{c}} \right| + \left| {\dfrac{{b - a}}{{ab}}}\right| + \dfrac{{b + a}}{{ab}} + \dfrac{2}{c} \\ CMR:\,f(a,b,c) = 4\max \left\{ {\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}} \right\} \\\end{array}$

bạn có nhầm đề ko vậy tớ nghĩ phải là M $\vdots 13390$chứ nhỉ

[Crystal]

bạn có nhầm đề ko vậy tớ nghĩ phải là M $\vdots 13390$chứ nhỉ

Bạn ơi! Số 13390 chia hết số M là $M \vdots 13390$...



---------------------------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 30-07-2011 - 18:12

[Zaraki]

Kết quả $p=2885$ đúng hông?

[Crystal]

Kết quả $p=2885$ đúng hông?

Không đúng bạn ah! Mọi người tiếp tục nhé!

--------------------------------------

[Crystal]

Mọi người vào chém 2 bài này đi chứ. Chém nhiệt tình vào nhé....

-------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Con người sinh ra không phải để tan biến đi như một hạt cát vô danh. Họ sinh ra để in dấu lại trên mặt đất, in dấu lại trong trái tim người khác.

[Crystal]

Lâu quá không có ai vào giải. Mình xin đưa ra lời giải cho 2 bài toán này
Bài 1:
Xem số $K = p.19^{2n + 1} + 84^{2n + 1} ,\,\,n \in N$
Ta xác định p để $M \vdots 13390 \Leftrightarrow K \vdots 13390,\,\,n = 997$
Nhận xét rằng: 13390=10.13.103 và các số 10, 13, 103 đôi một nguyên tố cùng nhau.
Ta xác định p sao cho K lần lượt chia hết cho từng số đó.
a) Ta có:
$4^{2n + 1} \equiv 4\,\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow 84^{^{2n + 1} } \equiv 4\,\left( {\bmod 10} \right)$
$9^{2n + 1} \equiv 9\,\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow 19^{^{2n + 1} } \equiv 9\,\left( {\bmod 10} \right)$
$\Rightarrow K \equiv 9p + 4\,\left( {\bmod 10} \right)$
Để $K \vdots 10$ chỉ cần $p \equiv 4\,\left( {\bmod 10} \right)$

b) Ta có thể viết:
$K = p.19^{2n + 1} + \left( {103 - 19} \right)^{2n + 1} = \left( {p - 1} \right)19^{2n + 1} + 103k,\,k \in Z_+$
Để cho $K \vdots 103$ thì:
$p - 1 \equiv 0\left( {\bmod 103} \right) \Leftrightarrow p = 103t + 1,\,\,t \in Z_ + $
Từ hai trường hợp (a) và (b) ta suy ra:
$t = 10q + 1,\,\,q \in Z_ + \Leftrightarrow p = 1030q + 104$

c) Ta lại có:
$K = \left( {1030q + 104} \right).19^{2n + 1} + \left( {5.13 + 19} \right)^{2n + 1} = \left( {1030q + 105} \right).19^{2n + 1} + 13m',\,m' \in Z_ + $
Để $K \vdots 13$ thì:
$1030q + 105 \equiv 0\left( {\bmod 13} \right) \Rightarrow 1030q + 1 \equiv 0\left( {\bmod 13} \right)$
$\Rightarrow 1030q \equiv 12\left( {\bmod 13} \right) \Rightarrow 3q \equiv 12\left( {\bmod 13} \right) \Rightarrow q \equiv 4\left( {\bmod 13} \right)$
$\Rightarrow q = 13h + 4,\,\,h \in N$
Do đó ta có: $p = 13390h + 4224$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow h = 0$

Vậy số p phải tìm để $M \vdots 13390$ là p=4224.

Bài 2:
Ta có:

$f\left( {a,b,c} \right) = \left| {\left| {\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}} \right| + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{2}{c}} \right| + \left| {\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}} \right| + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{c}$

Với mọi $x,y \in R$, ta luôn có:

$\left| {x - y} \right| + x + y = 2\max \left\{ {x,y} \right\}$

$\Rightarrow f\left( {a,b,c} \right) = \left| {2\max \left\{ {\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}} \right\} - \dfrac{2}{c}} \right| + 2\max \left\{ {\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}} \right\} + \dfrac{2}{c}$

$= 2\max \left\{ {2\max \left\{ {\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}} \right\},\dfrac{2}{c}} \right\}$

$\Leftrightarrow f\left( {a,b,c} \right) = 4\max \left\{ {\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}} \right\}$. (đpcm)

[Crystal]

Bài 3:Tìm n để phương trình sau có nghiệm nguyên dương: $x^3 + y^3 + z^3 = nx^2 y^2 z^2 $

[caubeyeutoan2302]

Bài 3:Tìm n để phương trình sau có nghiệm nguyên dương: $x^3 + y^3 + z^3 = nx^2 y^2 z^2 $

Kết quả ra $n=1,3$ , mình xin lỗi xusinst vì giờ mình đi học nên chưa ghi đáp án lên được , mình sẽ bổ sung bài giải lên sau nha , nếu bạn nào ra rồi thì post bài lên cũng được , mình cám ơn nhiều

[isaac_newtons]

Kết quả ra $n=1,3$ , mình xin lỗi xusinst vì giờ mình đi học nên chưa ghi đáp án lên được , mình sẽ bổ sung bài giải lên sau nha , nếu bạn nào ra r�ồi thì post bài lên cũng được , mình cám ơn nhiều

la nhỉ !!! mình ra $ n = \pm 1 $ vậy mới hay chứ!!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi isaac_newtons: 13-08-2011 - 14:32

[Crystal]

Spam tí, kết quả của caubeyeutoan2302 là đúng rồi.

[Crystal]

Thêm vài bài mọi người tham khảo.
Bài 4: Cho số nguyên tố p > 2. Tìm điều kiện cần cà đủ để tổng bình phương của (p - 1) số tự nhiên liên tiếp chia hết cho tổng các số đó.
Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho $\left[ {\sqrt n } \right]$ chia hết n.
Bài 6: Xét xem số $A = 1 + 9^{2k} + 77^{2k} + 1977^{2k} \,\,\forall k \in Z^ + $ có phải là một số chính phương không?
Bài 7: Tìm 4 chữ số cuối cùng của số:

$B = \left( {1976^{1976} - 1974^{1974} } \right)\left( {1976^{1975} + 1974^{1973} } \right)$.

[Zaraki]

Bài 3:Tìm n để phương trình sau có nghiệm nguyên dương: $x^3 + y^3 + z^3 = nx^2 y^2 z^2 $

Ta giả sử $x \ge y \ge z$, nên $3x^3 \geq x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$, do đó
$x \geq \dfrac{ny^2z^2}{3}$. Vì $x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$ nên $z^3+y^3 \vdots x^2$, cho nên
$2y^3 \geq y^3+z^3 \geq x^2 \geq \dfrac{n^2y^4z^4}{9}$.

Nếu $z>1$ thì $y \leq \dfrac{18}{16n^2}$ nên $y=1$, mà $y \geq z$, vô lí.

Nếu $z=1$ thì $y^3+1 \geq \dfrac{n^2y^4}{9}$, nên $9+\dfrac{9}{y^3} \geq n^2y$.
_ Với $y=1$ thì $x^3+2=nx^2$, nên nghiệm của phương trình là $(x,y,z,n)=(1,1,1,3)$. $(2 \vdots x^2 \Rightarrow x=1)$ nên $n=3$ thỏa mãn.
_ Với $y>1$ thì $10 \geq n^2y$, cho nên

Xét các trường hợp $n \in \{ 1;2;3 \}$ rồi từ đó suy ra với $n=1$ và $n=3$ thì phương trình có nghiệm nguyên dương.

P/s: Mong mọi người góp ý.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 13-08-2011 - 21:04