Chủ đề này có 2 trả lời

[phuonganh_lms]

Cho các số thực $a,b,x,y$ thỏa mãn điều kiện $ax-by=\sqrt{3}$.
Tìm min $F=a^2+b^2+x^2+y^2+bx+ay$

[kuma]

Cho các số thực $a,b,x,y$ thỏa mãn điều kiện $ax-by=\sqrt{3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$F=a^2+b^2+x^2+y^2+bx+ay$

(Olympic 30-4 năm 2007)

Lời giải. Biểu thức $F$ viết lại dưới dạng như sau:
$F=(x+\dfrac{b}{2})^2+(y+\dfrac{a}{2})^2+\dfrac{3}{4}(a^2+b^2)$

Đặt $M(x,y), A=(\dfrac{-b}{2},\dfrac{-a}{2})$ và $(D):ax-by=\sqrt{3}$

Như vậy, ta có:
$MA^2=(x+\dfrac{b}{2})^2+(y+\dfrac{a}{2})^2$

Mà $M\in (D)$ nên $MA^2 \geq [d(A;D)]^2=\dfrac{3}{a^2+b^2}$. ( Đẳng thức xảy ra khi $M$ là hình chiếu của $A$ trên $(D)$)

Suy ra $ F \geq \dfrac{3}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{4(a^2+b^2)} \geq 2\sqrt{\dfrac{3}{a^2+b^2}.\dfrac{3}{4(a^2+b^2)}}=3$


Vậy $minF=3$ đạt được khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}(a^2+b^2)^{2}=4\\ax-by=\sqrt{3}\\b(x-\dfrac{b}{2})+a(y-\dfrac{a}{2})=0\end{array}\right.$

Chẳng hạng với $(a,b,x,y)=(\sqrt{2},0,\dfrac{\sqrt{6}}{2}, \dfrac{ \sqrt{2} }{2})$


Lời giải từ mathscope: http://forum.mathsco...hread.php?t=494

Có đôi chỗ không hiểu lắm, như là bước cuối để suy ra $F \ge 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kuma: 09-11-2011 - 13:38

[truclamyentu]

$\begin{array}{l}F = {(\dfrac{a}{2} + y)^2} + \dfrac{3}{4}{b^2} + {(\dfrac{b}{2} + x)^2} + \dfrac{3}{4}{a^2}\\\\\ge \sqrt 3 {\rm{[(}}\dfrac{a}{2}{\rm{ + y)}}{\rm{.b - (}}\dfrac{b}{2}{\rm{ + x)a] = 3 }}\end{array}$

dấu bằng : đơn cử :

$\left\{ \begin{array}{l}a = b = 1\\x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}\\y = -\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 25-07-2011 - 23:48