Bài Toán :
Tìm tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm :
$\begin{array}{l}16{x^3} - 12{x^2} - 24x + 13 - 2{y^3} - 3{y^2} + 12y = 0 (1)\\(y - 1)\sqrt {2x - 2} + \sqrt {y - 1} + 6y - 6\sqrt {2x - y} - m{y^2} = 0\end{array}$
Đây là bài sáng tác đầu tiên
ĐK: $ x \ge 1;y \ge 1;2x \ge y $
Ta có thể viết lại pt đầu của hệ dưới dạng:
$ - 2\left( { - 2x} \right)^3 - 3\left( { - 2x} \right)^2 + 12\left( { - 2x} \right) = - 2\left( { - 1 - y} \right)^3 - 3\left( { - 1 - y} \right)^2 + 12\left( { - 1 - y} \right) $
Đặt $ f(t) = - 2t^3 - 3t^2 + 12t $, ta có:
$f'(t) = - 6t^2 - 6t + 12;f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 2 \\ t = 1 \\ \end{array} \right. $
Dễ thấy f(t) nghịch biến trong khoảng $ \left( { - \infty ; - 2} \right) $
Mặt khác
$ (1) \Leftrightarrow f( - 2x) = f( - 1 - y) $
và với điều kiện đã cho, ta có $ - 2x \le - 2; - y - 1 \le - 2 $
Vậy:
$ (1) \Leftrightarrow f( - 2x) = f( - 1 - y) \Leftrightarrow 2x = 1 + y $
Thay vào (2), ta có:
$\left( {2x - 2} \right)\sqrt {2x - 2} + \sqrt {2x - 2} + 6\left( {2x - 1} \right) - 6 - m\left( {2x - 1} \right)^2 = 0 $
Đặt $u = \sqrt {2x - 2} \ge 0 $, ta có:
$m = \dfrac{{u^3 + 6u^2 + u}}{{\left( {u^2 + 1} \right)^2 }} $
Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của hàm số m(u) trên $ \left[ {0; + \infty } \right) $
$ \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{{\rm{u}} \ge {\rm{0}}} m(u) = m(1) = 2;\mathop {\min }\limits_{u \ge 0} m(u) = m(0) = 0 $
Vậy với m thuộc [0;2] thì hệ pt có nghiệm
@
supermember : Good solution ; man ; Congatulation !!!!
Tuy nhiên trình bày chưa tốt lắm :
$ m(u)$ chứ không phải $ m(x)$ ; làm vầy bị trừ $0.25$ chứ chả chơi
E.Galois: Thank you!
Ừm, supermember thật tinh ý, mình đã sửa sai. Đa tạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-07-2011 - 12:38