Chủ đề này có 1 trả lời

[cuongquep]

phương trình $x^2+a.x+m=0$(a và m là tham số) có hai nghiệm b và c
CMR a)$ 2(b^2+c^2) \geq a^2$
b) $(a^2+b^2+c^2)=2(a^4+b^4+c^4)$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Phương trình $x^2+a.x+m=0$(a và m là tham số) có hai nghiệm b và c. CMR :
a, $ 2(b^2+c^2) \geq a^2$
b, $(a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4)$
Giải :
a, Phương trình có hai nghiệm b, c khi $ a^2 \geq 4m$.
Theo hệ thức Viets, ta có :
$ b + c = - a$
Vậy ta cần chứng minh : $ 2( b^2 + c^2 ) \geq [ - ( b + c )]^2 = ( b + c )^2$
$ \Leftrightarrow 2( b^2 + c^2) \geq b^2 + c^2 + 2bc $
$ \Leftrightarrow ( b^2 - 2bc + c^2 ) \geq 0 \Leftrightarrow ( b - c )^2 \geq 0$
Bất đẳng thức trên luôn đúng. Ta có điều phải chứng minh.
Dấu" = " xảy ra khi $ b = c \Rightarrow \Delta = 0 \Rightarrow a^2 = 4m$

b, Theo hệ thức Viét, ta có :
$\left\{\begin{array}{l}S = b + c = -a\\P = b.c = m\end{array}\right.$
Ta thấy :
$b^2 + c^2 = (b + c)^2 - 2bc = S^2 - 2P = a^2 - 2m $
$ b^4 + c^4 = ( b^2 + c^2)^2 - 2b^2c^2 $
$ = (S^2 - 2P)^2 - 2P^2 = S^4 - 4PS^2 + 2P^2 = a^4 - 4a^2m + 2m^2$
Do đó đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
$(a^2 + a^2 - 2m)^2=2(a^4 + a^4 - 4a^2m + 2m^2)$
$ \Leftrightarrow [2( a^2 - m)]^2 = 2[2( a^4 - 2a^2m + m^2 )]$
$ \Leftrightarrow 4( a^2 - m )^2 = 4(a^2 - m)^2$
Đẳng thức trên luôn đúng. Do vậy ta có điều phải chứng minh.
P/S : Đề của Cường ở câu b thiếu dấu bình phương của VT. Sorry vì mình đã sửa đề nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 27-07-2011 - 07:00