phương trình $x^2+a.x+m=0$(a và m là tham số) có hai nghiệm b và c
CMR a)$ 2(b^2+c^2) \geq a^2$
b) $(a^2+b^2+c^2)=2(a^4+b^4+c^4)$
một bài phương trình hay
Bắt đầu bởi cuongquep, 26-07-2011 - 22:49
#1
Đã gửi 26-07-2011 - 22:49
VIỆT NAM CƯỠI RỒNG BAY TRONG GIÓ
TRUNG QUỐC CƯỠI CHÓ SỦA GÂU GÂU
#2
Đã gửi 26-07-2011 - 23:03
Phương trình $x^2+a.x+m=0$(a và m là tham số) có hai nghiệm b và c. CMR :
a, $ 2(b^2+c^2) \geq a^2$
b, $(a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4)$
Giải :
a, Phương trình có hai nghiệm b, c khi $ a^2 \geq 4m$.
Theo hệ thức Viets, ta có :
$ b + c = - a$
Vậy ta cần chứng minh : $ 2( b^2 + c^2 ) \geq [ - ( b + c )]^2 = ( b + c )^2$
$ \Leftrightarrow 2( b^2 + c^2) \geq b^2 + c^2 + 2bc $
$ \Leftrightarrow ( b^2 - 2bc + c^2 ) \geq 0 \Leftrightarrow ( b - c )^2 \geq 0$
Bất đẳng thức trên luôn đúng. Ta có điều phải chứng minh.
Dấu" = " xảy ra khi $ b = c \Rightarrow \Delta = 0 \Rightarrow a^2 = 4m$
b, Theo hệ thức Viét, ta có :
$\left\{\begin{array}{l}S = b + c = -a\\P = b.c = m\end{array}\right.$
Ta thấy :
$b^2 + c^2 = (b + c)^2 - 2bc = S^2 - 2P = a^2 - 2m $
$ b^4 + c^4 = ( b^2 + c^2)^2 - 2b^2c^2 $
$ = (S^2 - 2P)^2 - 2P^2 = S^4 - 4PS^2 + 2P^2 = a^4 - 4a^2m + 2m^2$
Do đó đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
$(a^2 + a^2 - 2m)^2=2(a^4 + a^4 - 4a^2m + 2m^2)$
$ \Leftrightarrow [2( a^2 - m)]^2 = 2[2( a^4 - 2a^2m + m^2 )]$
$ \Leftrightarrow 4( a^2 - m )^2 = 4(a^2 - m)^2$
Đẳng thức trên luôn đúng. Do vậy ta có điều phải chứng minh.
P/S : Đề của Cường ở câu b thiếu dấu bình phương của VT. Sorry vì mình đã sửa đề nhé.
a, $ 2(b^2+c^2) \geq a^2$
b, $(a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4)$
Giải :
a, Phương trình có hai nghiệm b, c khi $ a^2 \geq 4m$.
Theo hệ thức Viets, ta có :
$ b + c = - a$
Vậy ta cần chứng minh : $ 2( b^2 + c^2 ) \geq [ - ( b + c )]^2 = ( b + c )^2$
$ \Leftrightarrow 2( b^2 + c^2) \geq b^2 + c^2 + 2bc $
$ \Leftrightarrow ( b^2 - 2bc + c^2 ) \geq 0 \Leftrightarrow ( b - c )^2 \geq 0$
Bất đẳng thức trên luôn đúng. Ta có điều phải chứng minh.
Dấu" = " xảy ra khi $ b = c \Rightarrow \Delta = 0 \Rightarrow a^2 = 4m$
b, Theo hệ thức Viét, ta có :
$\left\{\begin{array}{l}S = b + c = -a\\P = b.c = m\end{array}\right.$
Ta thấy :
$b^2 + c^2 = (b + c)^2 - 2bc = S^2 - 2P = a^2 - 2m $
$ b^4 + c^4 = ( b^2 + c^2)^2 - 2b^2c^2 $
$ = (S^2 - 2P)^2 - 2P^2 = S^4 - 4PS^2 + 2P^2 = a^4 - 4a^2m + 2m^2$
Do đó đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
$(a^2 + a^2 - 2m)^2=2(a^4 + a^4 - 4a^2m + 2m^2)$
$ \Leftrightarrow [2( a^2 - m)]^2 = 2[2( a^4 - 2a^2m + m^2 )]$
$ \Leftrightarrow 4( a^2 - m )^2 = 4(a^2 - m)^2$
Đẳng thức trên luôn đúng. Do vậy ta có điều phải chứng minh.
P/S : Đề của Cường ở câu b thiếu dấu bình phương của VT. Sorry vì mình đã sửa đề nhé.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 27-07-2011 - 07:00
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh