Chủ đề này có 5 trả lời

[kuma]

Nhờ các bạn ^^

1)Cho tam giác $ABC$.
Áp dụng: $cosA+cosB+cosC \le \dfrac{3}{2}$ để chứng minh:
$(1+a+b-ab).cosC+(1+b+c-bc).cosA+(1+a+c-ac).cosB \le 3$

2) Gọi $AA_1,BB_1,CC_1$ tương ứng là phân giác trong của tam giác $ABC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại $A_2,B_2,C_2$. CMR:
$\dfrac{AA_1}{AA_2}+\dfrac{BB_1}{BB_2}+\dfrac{CC_1}{CC_2} \le \dfrac{9}{4}$

3) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O;R)$.Gọi $R_1,R_2,R_3$ tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OBC,OCA,OAB$. CMR:
$R_1+R_2+R_3\ge3R$

[Crystal]

Nhờ các bạn ^^

2) Gọi $AA_1,BB_1,CC_1$ tương ứng là phân giác trong của tam giác $ABC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại $A_2,B_2,C_2$. CMR:
$\dfrac{AA_1}{AA_2}+\dfrac{BB_1}{BB_2}+\dfrac{CC_1}{CC_2} \le \dfrac{9}{4}$

Mình xin làm bài 2 ( không có hình vẽ, các bạn thông cảm nhé!!)

Ta có ngay $ABA_1 \sim AA_2 C \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AA_2 }} = \dfrac{{AA_1 }}{{AC}} \Rightarrow AA_2 = \dfrac{{bc}}{{AA_1 }}$

$ \Rightarrow \dfrac{{AA_1 }}{{AA_2 }} = \dfrac{{AA_1 ^2 }}{{bc}} = \dfrac{{l_a^2 }}{{bc}} = \dfrac{{4b^2 c^2 c{\rm{os}}^2 \dfrac{A}{2}}}{{(b +c)^2 bc}} = \dfrac{{4bc}}{{(b + c)^2 }}.\dfrac{{1 + \cos A}}{2} \le \dfrac{{1 + c{\rm{osA}}}}{2}\,\,\,(1)$.
Dấu "=" trong (1) xảy ra $\Leftrightarrow b = c$.

Lý luận tương tự, ta có:
$\dfrac{{BB_1 }}{{BB_2 }} \le \dfrac{{1 + c{\rm{osB}}}}{2}\,\,\,\,\,\,(2)$
Dấu "=" trong (2) xảy ra $\Leftrightarrow c = a$.

$\dfrac{{CC_1 }}{{CC_2 }} \le \dfrac{{1 + c{\rm{osC}}}}{2}\,\,\,\,\,\,(3)$
Dấu "=" trong (3) xảy ra $\Leftrightarrow a = b$.

Từ (1), (2), (3) suy ra $\dfrac{{AA_1 }}{{AA_2 }} + \dfrac{{BB_1 }}{{BB_2 }} + \dfrac{{CC_1 }}{{CC_2 }} \le \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\left({\cos A + \cos B + \cos C} \right)\,\,\,\,\,\,\,(4)$.
Ta dễ dàng chứng minh được: $\cos A + \cos B + \cos C \le \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,(5)$
Dấu "=" trong (5) xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$.
Từ (4) và (5) suy ra đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi ABC là tam giác đều.

------------------------------------

KH�”NG THỬ SAO BIẾT!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 30-07-2011 - 11:02

[Crystal]

Nhờ các bạn ^^

3) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O;R)$.Gọi $R_1,R_2,R_3$ tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OBC,OCA,OAB$. CMR:
$R_1+R_2+R_3\ge3R$

Mình chém bài 3 luôn nhé!

Áp dụng định lý hàm số sin trong các tam giác ABC, BOC ta có:
$\begin{array}{l}R = \dfrac{a}{{2\sin A}} = \dfrac{b}{{2\sin B}} = \dfrac{c}{{2\sin C}} \\ R_1 = \dfrac{a}{{2\sin \widehat{BOC}}} = \dfrac{a}{{2\sin 2A}} \\ \end{array}$.

Tương tự, ta có: $R_2 = \dfrac{b}{{2\sin 2B}};\,\,\,\,\,\,R_3 = \dfrac{c}{{2\sin 2C}}$.

BĐT đã cho tương đương với:
$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{a}{{2\sin 2A}} + \dfrac{b}{{2\sin 2B}} + \dfrac{c}{{2\sin 2C}} \ge 3R \Leftrightarrow \dfrac{{2R\sin A}}{{2\sin2A}} + \dfrac{{2R\sin B}}{{2\sin 2A}} + \dfrac{{2R\sin C}}{{2\sin 2C}} \ge 3R \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\cos A}} + \dfrac{1}{{\cos B}} + \dfrac{1}{{\cos C}} \ge 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \end{array}$.

Do ABC là tam giác nhọn nên cosA, cosB, cosC là các số dương. Vậy theo BĐT Cauchy ta có:
$\left( {\dfrac{1}{{\cos A}} + \dfrac{1}{{\cos B}} + \dfrac{1}{{\cos C}}} \right)\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right) \ge 9\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$.
Mặt khác: $0 < \cos A + \cos B + \cos C \le \dfrac{3}{2}$
Vậy từ (2) suy ra $\dfrac{1}{{\cos A}} + \dfrac{1}{{\cos B}} + \dfrac{1}{{\cos C}} \ge 6$ $\Rightarrow $ đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi ABC là tam giác đều.


-----------------------------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Crystal]

Mình xin đưa ra một bài tương tự.
Bài 4: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp bán kính r. Gọi $R_1 ,\,R_2 ,\,R_3 $ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác IBC, ICA, IAB. Chứng minh rằng: $R_1 + R_2 + R_3 \ge 6r$.


---------------------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 30-07-2011 - 11:27

[Crystal]

Nhờ các bạn ^^

1)Cho tam giác $ABC$.
Áp dụng: $cosA+cosB+cosC \le \dfrac{3}{2}$ để chứng minh:
$(1+a+b-ab).cosC+(1+b+c-bc).cosA+(1+a+c-ac).cosB \le 3$

Làm nốt bài 1
Ta có thể thấy:
$VT = \cos A + \cos B + \cos C + \left( {b + c} \right)\cos A + \left( {c + a} \right)\cos B + \left( {a + b} \right)\cos C - \left( {ab\cos C + bc\cos A + ca\cos B} \right)$
Đặt:
$P = \cos A + \cos B + \cos C$
$Q = \left( {b + c} \right)\cos A + \left( {c + a} \right)\cos B + \left( {a + b} \right)\cos C$
$R = ab\cos C + bc\cos A + ca\cos B$
Dễ thấy: $P \le \dfrac{3}{2}$
Theo định lý hàm sin, ta có:
$b\cos C + c\cos B = 2R\left( {\sin B\cos C + \sin C\cos B} \right)$
$= 2R\sin \left( {B + C} \right) = 2R\sin A = a$
Tương tự ta có:
$a\cos C + c\cos A = b,\,\,\,\,\,a\cos B + b\cos A = c$
$\Rightarrow Q = a + b + c$
Theo định lý hàm cosin thì: $R = \dfrac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{2}$
Do đó: $VT = P + Q + R \le \dfrac{3}{2} + \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{2}\,\,\,(1)$
Mặt khác:
$\dfrac{3}{2} + \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{2} = 3 - \dfrac{{\left( {a - 1} \right)^2 + \left( {b - 1} \right)^2 + \left( {c - 1} \right)^2 }}{2} \le 3\,\,\,(2)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow VT \le 3$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ hay ABC là tam giác đều có cạnh bằng 1.

[truclamyentu]

Nhờ các bạn ^^

1)Cho tam giác $ABC$.
Áp dụng: $cosA+cosB+cosC \le \dfrac{3}{2}$ để chứng minh:
$(1+a+b-ab).cosC+(1+b+c-bc).cosA+(1+a+c-ac).cosB \le 3$

2) Gọi $AA_1,BB_1,CC_1$ tương ứng là phân giác trong của tam giác $ABC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại $A_2,B_2,C_2$. CMR:
$\dfrac{AA_1}{AA_2}+\dfrac{BB_1}{BB_2}+\dfrac{CC_1}{CC_2} \le \dfrac{9}{4}$

3) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O;R)$.Gọi $R_1,R_2,R_3$ tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OBC,OCA,OAB$. CMR:
$R_1+R_2+R_3\ge3R$

Bất đẳng thức bài 2 vẫn đúng khi AA1 ;BB1;CC1 lần lượt là :
- 3 đường cao (dùng định lý xê-va để cm) ;
- 3 đường trung tuyến .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 11-08-2011 - 22:56