Chủ đề này có 2 trả lời

[pnt]

Tìm tất cả tập hợp $A$ có hữu hạn phần tử thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1) $A$ có ít nhất $3$ phần tử
2) Với bất kì ba số $a,b,c$ đôi một phân biệt cùng thuộc $A$ thì $ab+bc+ca$ thuộc $A$

[Nxb]

Tìm tất cả tập hợp $A$ có hữu hạn phần tử thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1) $A$ có ít nhất $3$ phần tử
2) Với bất kì ba số $a,b,c$ đôi một phân biệt cùng thuộc $A$ thì $ab+bc+ca$ thuộc $A$

Chưa hiểu ý tác giả lắm vì nếu thế thì có cả một đống tập, chỉ cần định nghĩa phép cộng và các phần tử sao cho phù hợp. Chẳng phải tất cả các vành đều có tính chất này sao nên có lẽ nên đổi lại là A là con của $\mathbb{Z}$ thì đúng hơn. Nếu thế thì A={0,1,2}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 01-02-2014 - 21:41

[chanhquocnghiem]

Tìm tất cả tập hợp $A$ có hữu hạn phần tử thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1) $A$ có ít nhất $3$ phần tử
2) Với bất kì ba số $a,b,c$ đôi một phân biệt cùng thuộc $A$ thì $ab+bc+ca$ thuộc $A$

Đề bài cần bổ sung là : " Tìm tất cả các tập hợp $A$ ($A\subset \mathbb{R}$ hoặc $A\subset \mathbb{Z}$ ...) có hữu hạn phần tử ... " .Sau đây xin giải bài toán trong trường hợp $A\subset \mathbb{R}$.

Giải :

Để cho gọn, ta ký hiệu $f(a;b;c)=ab+bc+ca$.Xét các trường hợp sau :

$I/$ $A$ có đúng $3$ phần tử khác nhau từng đôi một : $A=\left \{ a;b;c \right \}$ 

$1)$ $f(a;b;c)=ab+bc+ca=c$.Khi đó $c(1-a-b)=ab$

$\alpha )$ Nếu $a+b\neq 1$ thì $c=\frac{ab}{1-a-b}$

Nhưng vì $c\neq a$ ; $c\neq b$ nên cần thêm các điều kiện : $a\neq 0$; $b\neq 0$; $b\neq \frac{1-a}{2}$ ; $b\neq 1-2a$

$\beta )$ Nếu $a+b=1$

+ Nếu $a=0;b=1$ hoặc $a=1;b=0$ thì $c$ có thể lấy mọi giá trị bất kỳ khác $0$ và $1$

+ Nếu $a\neq 0$ và $b\neq 0$ thì không có giá trị $c$ thỏa mãn.

$2)$ $f(a;b;c)=a$.Khi đó $c(a+b)=a-ab$

$\alpha )$ Nếu $a+b\neq 0$ thì $c=\frac{a-ab}{a+b}$ 

Nhưng vì $c\neq a$ ; $c\neq b$ nên cần thêm các ĐK : $a\neq 0$; $a\neq 1-2b$; $a\neq \frac{b^2}{1-2b}$

$\beta )$ Nếu $a+b=0$ thì $a=-1$ ; $b=1$ ; $c$ có thể lấy giá trị bất kỳ (khác $-1$ và $1$)

$3)$ $f(a;b;c)=b$.Khi đó $c(a+b)=b-ab$

$\alpha )$ Nếu $a+b\neq 0$ thì $c=\frac{b-ab}{a+b}$

Vì $c\neq a$ ; $c\neq b$ nên cần thêm các ĐK : $b\neq \frac{a^2}{1-2a}$ ; $b\neq 0$ ; $b\neq 1-2a$

Do có thể đổi chỗ các phần tử trong tập hợp nên có thể đổi lại thành 

$c=\frac{a-ab}{a+b}$ ($a+b\neq 0$ ; $a\neq 0$ ; $a\neq 1-2b$ ; $a\neq \frac{b^2}{1-2b}$)

$\beta )$ Nếu $a+b=0$ thì $a=1$ ; $b=-1$ ; $c$ có thể lấy giá trị bất kỳ (khác $-1$ và $1$)

 

$II/$ $A$ có đúng $4$ phần tử khác nhau từng đôi một : $A=\left \{ a;b;c;d \right \}$

Đặt $f(a;b;c)=M$ ; $f(a;b;d)=N$ ; $f(a;c;d)=P$ ; $f(b;c;d)=Q$

$1)$ Trong $4$ số $M,N,P,Q$ có ít nhất $2$ số bằng nhau, giả sử $M=N$ hay $f(a;b;c)=f(a;b;d)$

$ab+bc+ca=ab+bd+da\Rightarrow c(a+b)=d(a+b)\Rightarrow b=-a$ (vì $c\neq d$) và $a\neq 0$ (vì $b\neq a$).Giả sử $a> 0$ và $b=-a< 0$.

Ta có $f(a;b;c)=f(a;-a;c)=ca-ca-a^2=-a^2$.Vậy phải có $1$ phần tử của $A$ bằng $-a^2$.

$\alpha )$ Nếu $b=-a=-a^2\Rightarrow a=1;b=-1\Rightarrow f(a;c;d)=cd+c+d$ và $f(b;c;d)=cd-c-d$

+ Nếu $f(a;c;d)=a\Rightarrow cd+c+d=1\Rightarrow d=\frac{1-c}{1+c}$ ($c\notin \left \{ -1;0;1 \right \}$)

+ Nếu $f(a;c;d)=b\Rightarrow cd+c+d=-1$ (không có giá trị $c$ và $d$ thỏa mãn)

+ Nếu $f(a;c;d)=c\Rightarrow cd+c+d=c\Rightarrow d=0$ ; $c$ lấy giá trị bất kỳ (khác $-1;0;1$)

+ Nếu $f(a;c;d)=d\Rightarrow cd+c+d=d\Rightarrow c=0$ ; $d$ lấy giá trị bất kỳ (khác $-1;0;1$)

 

+ Nếu $f(b;c;d)=a\Rightarrow cd-c-d=1\Rightarrow d=\frac{c+1}{c-1}$ ($c\notin \left \{ -1;0;1 \right \}$)

+ Nếu $f(b;c;d)=b\Rightarrow cd-c-d=-1$ (không có giá trị $c$ và $d$ thỏa mãn vì $c,d$ khác $1$)

+ Nếu $f(b;c;d)=c\Rightarrow cd-c-d=c\Rightarrow d=\frac{2c}{c-1}$ ($c\notin \left \{ -1;1;\frac{1}{3} \right \}$)

+ Nếu $f(b;c;d)=d\Rightarrow cd-c-d=d\Rightarrow d=\frac{c}{c-2}$ ($c\notin \left \{ -1;1 \right \}$)

Vậy ta có $3$ phương trình :

$\frac{1-c}{1+c}=\frac{c+1}{c-1}$

$\frac{1-c}{1+c}=\frac{2c}{c-1}$

$\frac{1-c}{1+c}=\frac{c}{c-2}$

Cả $3$ pt đều vô nghiệm $\Rightarrow$ $b$ không thể bằng $-a^2$

$\beta )$ Nếu $c$ hoặc $d$ bằng $-a^2$, chẳng hạn $c=-a^2$

Ta có $f(a;c;d)=f(a;-a^2;d)=ad-a^3-a^2d$ và $f(b;c;d)=f(-a;-a^2;d)=a^3-a^2d-ad$

+ Nếu $f(a;c;d)=a\Rightarrow ad-a^3-a^2d=a\Rightarrow d=\frac{a+a^3}{a-a^2}=\frac{1+a^2}{1-a}$ ($a> 0$ và $a\neq 1$)

+ Nếu $f(a;c;d)=b\Rightarrow ad-a^3-a^2d=-a\Rightarrow d=\frac{a^3-a}{a-a^2}=-a-1$ ($a> 0;a\neq 1$)

+ Nếu $f(a;c;d)=c\Rightarrow ad-a^3-a^2d=-a^2\Rightarrow d=\frac{a^3-a^2}{a-a^2}=-a$ (loại vì $d$ phải khác $b$)

+ Nếu $f(a;c;d)=d\Rightarrow ad-a^3-a^2d=d\Rightarrow d=\frac{-a^3}{a^2-a+1}$ ($a> 0$)

 

+ Nếu $f(b;c;d)=a\Rightarrow a^3-a^2d-ad=a\Rightarrow d=\frac{a^3-a}{a^2+a}=a-1$ ($a> 0$)

+ Nếu $f(b;c;d)=b\Rightarrow a^3-a^2d-ad=-a\Rightarrow d=\frac{a^3+a}{a^2+a}=\frac{a^2+1}{a+1}$ ($a> 0$)

+ Nếu $f(b;c;d)=c\Rightarrow a^3-a^2d-ad=-a^2\Rightarrow d=\frac{a^3+a^2}{a^2+a}=a$ (loại vì $d$ phải khác $a$)

+ Nếu $f(b;c;d)=d\Rightarrow a^3-a^2d-ad=d\Rightarrow d=\frac{a^3}{a^2+a+1}$ ($a> 0$)

Vậy ta có các phương trình :

$\frac{1+a^2}{1-a}=a-1$ ($a> 0$ và $a\neq 1$)

$\frac{1+a^2}{1-a}=\frac{a^2+1}{a+1}$ ($a> 0$ và $a\neq 1$)

$\frac{1+a^2}{1-a}=\frac{a^3}{a^2+a+1}$ ($a> 0$ và $a\neq 1$)

$-a-1=a-1$ ($a> 0$ và $a\neq 1$)

$-a-1=\frac{a^2+1}{a+1}$ ($a> 0$ và $a\neq 1$)

$-a-1=\frac{a^3}{a^2+a+1}$ ($a> 0$ và $a\neq 1$)

$\frac{-a^3}{a^2-a+1}=a-1$ ($a> 0$)

$\frac{-a^3}{a^2-a+1}=\frac{a^2+1}{a+1}$ ($a> 0$)

$\frac{-a^3}{a^2-a+1}=\frac{a^3}{a^2+a+1}$ ($a> 0$)

Chỉ có pt thứ bảy có nghiệm.Gọi nghiệm đó là $p$, $p\approx 0,647798871$

$\Rightarrow a=p\approx 0,647798871$ ; $b=-a\approx -0,647798871$ ; $c=-a^2\approx -0,419643378$ ; $d=a-1\approx -0,352201129$ (Thử lại thấy tập hợp này thỏa mãn ĐK đề bài)

$2)$ Bốn số $M,N,P,Q$ khác nhau từng đôi một : 

Cũng giải tương tự.Không có trường hợp nào thỏa mãn.

 

$III/$ $A$ có nhiều hơn $4$ phần tử :

Cũng không có tập hợp nào thỏa mãn.

 

Trả lời :

Gọi $A_{1}=\left \{ p;-p;-p^2;p-1 \right \}$ (trong đó $p\approx 0,647798871$ là nghiệm pt thứ bảy đã nói ở trên)

Gọi các tập có dạng $\left \{ 0;1;t \right \}$ ($t\in \mathbb{R};t\neq 0;t\neq 1$) là các tập có dạng $A_{2}$

Các tập có dạng $\left \{ -1;1;t \right \}$ ($t\in \mathbb{R};t\neq -1;t\neq 1$) là các tập có dạng $A_{3}$

Các tập có dạng $\left \{ a;b;\frac{ab}{1-a-b} \right \}$ ($a+b\neq 1;a\neq 0;b\neq 0;b\neq \frac{1-a}{2};b\neq 1-2a$) là các tập có dạng $A_{4}$

Các tập có dạng $\left \{ a;b;\frac{a-ab}{a+b} \right \}$ ($a+b\neq 0;a\neq 0;a\neq \frac{b^2}{1-2b};a\neq 1-2b$) là các tập có dạng $A_{5}$

Thì :

Các tập hợp $A$ thỏa mãn ĐK đề bài là tập $A_{1}$ và các tập có dạng $A_{2},A_{3},A_{4},A_{5}$ đã xác định rõ như trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 07-02-2014 - 17:02