Chủ đề này có 6 trả lời

[Crystal]

Bài 1: Cho dãy số thực $\left\{ {u_n } \right\}$ xác định như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}u_1 = 2,9 \\ u_{n + 1} = \sqrt 3 + \dfrac{{u_n }}{{\sqrt {u_n^2 - 1} }};\,n = 1,\,2,\,.... \\ \end{array} \right.$
Hãy tìm một số thực $\alpha $ sao cho thỏa mãn bất đẳng thức sau $u_{2k} < \alpha < u_{2k - 1} ;\,\forall k = 1,\,2,\,3,....$.

Bài 2: Cho n, k là hai số tự nhiên cho trước. Tính tổng sau:
$S = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^k {m{\rm{ax}}\left\{ {i.j} \right\}} } $

Bài 3: Cho dãy số $a_n = \left[ {n\sqrt 2 } \right],\,n = 1,\,2,\,....$. Chứng minh rằng có vô hạn số hạng của dãy số chính phương, ở đây $\left[ a \right]$ kí hiệu là phần nguyên của số a.

Bài 4: Cho dãy số $\left\{ {u_n } \right\},\,\,n = 1,\,2,\,....$ xác định như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}u_1 = \dfrac{3}{4} \\ (2n + 1)u_n = 2^n + 2n.u_{n - 1} ;\,n = \,2,\,3,\,.... \\ \end{array} \right.$.
Chứng minh rằng:$u_n = \sum\limits_{k = 0}^n {\dfrac{{C_n^k }}{{2k + 1}}} \,\,,\,\,\,\,\,n = 1,\,2,...$

[Crystal]

Sao chẳng có ai làm cả

------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Zaraki]

Bài 2: Nếu $n \ge k$
$S=(1+2+3+....+k)+(2+2+3+...+k)+(3+3+3+4+...+k)+...+(k+k+...+k)+(k+1+k+1+...+k+1)+...+(n+n+...+n)$
$=(\tfrac12k(k+1))+(\tfrac12k(k+1)+1)+(\tfrac12k(k+1)+1+2)+...+$
$(\tfrac12k(k+1)+1+2+...+k-1)+k(k+1)+...+kn$
$=\tfrac12k^{2}(k+1)+\tfrac12.1.2+\tfrac12.2.3+...+\tfrac12(k-1)k+\tfrac12k(n-k)(n+k+1) $
$=\tfrac12k^{2}(k+1)+\tfrac12(1^{2}+2^{2}+...+(k-1)^{2}+1+2+...+k-1)+\tfrac12k(n-k)(n+k+1) $
$=\tfrac12k^{2}(k+1)+\tfrac12(\tfrac16k(k-1)(2k-1)+\tfrac12k(k-1))+\tfrac12k(n-k)(n+k+1)$
$=\tfrac16k(k^{2}-1+3n^{2}+3n) $
Như vậy
$S=\tfrac16n(n^{2}-1+3k^{2}+3k)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 04-08-2011 - 11:08

[Crystal]

Bài 2: Nếu $n \ge k$
$S=(1+2+3+....+k)+(2+2+3+...+k)+(3+3+3+4+...+k)+...+(k+k+...+k)+(k+1+k+1+...+k+1)+...+(n+n+...+n)$
$=(\tfrac12k(k+1))+(\tfrac12k(k+1)+1)+(\tfrac12k(k+1)+1+2)+...+$
$(\tfrac12k(k+1)+1+2+...+k-1)+k(k+1)+...+kn$
$=\tfrac12k^{2}(k+1)+\tfrac12.1.2+\tfrac12.2.3+...+\tfrac12(k-1)k+\tfrac12k(n-k)(n+k+1) $
$=\tfrac12k^{2}(k+1)+\tfrac12(1^{2}+2^{2}+...+(k-1)^{2}+1+2+...+k-1)+\tfrac12k(n-k)(n+k+1) $
$=\tfrac12k^{2}(k+1)+\tfrac12(\tfrac16k(k-1)(2k-1)+\tfrac12k(k-1))+\tfrac12k(n-k)(n+k+1)$
$=\tfrac16k(k^{2}-1+3n^{2}+3n) $
Như vậy
$S=\tfrac16n(n^{2}-1+3k^{2}+3k)$

Anh nhầm n vơi k rồi.

-----------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[emmuongioitoan]

Bài 1: Cho dãy số thực $\left\{ {u_n } \right\}$ xác định như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}u_1 = 2,9 \\ u_{n + 1} = \sqrt 3 + \dfrac{{u_n }}{{\sqrt {u_n^2 - 1} }};\,n = 1,\,2,\,.... \\ \end{array} \right.$
Hãy tìm một số thực $\alpha $ sao cho thỏa mãn bất đẳng thức sau $u_{2k} < \alpha < u_{2k - 1} ;\,\forall k = 1,\,2,\,3,....$.

Từ hệ thức truy hồi ta có $u_n > \sqrt{3}$

Trước hết chúng ta phải tìm nghiệm $> \sqrt{3}$ của PT

$x = \sqrt 3 + \dfrac{{x}}{{\sqrt {x^2 - 1} }}$. Đặt $sin \alpha = \dfrac{1}{x}$ (Vì $x > \sqrt{3}$ )

nên ta chỉ xét $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{6}$

và PT trên đưa về dạng $\dfrac{1}{sin\alpha} = \sqrt{3} + \dfrac{1}{cos\alpha}$

Quy đồng lên ta hoàn toàn có thể đưa về PT 1 ẩn $ t= cos\alpha - sin\alpha$

Tính được $\alpha$ và $ \varepsilon = x = \dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{5} + 1) }{2}$

Chú ý rằng $f'(x) = \dfrac{-1}{(x^2-1) \sqrt{x^2-1}} < 0$ nên f nghịch biến khi $x \ge \sqrt{3}$

Từ đó, dễ thấy $u_2 < \varepsilon < u_1$

Sau đó, quy nạp là OK, công việc còn lại không có gì khó khăn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 05-08-2011 - 00:16

[Crystal]

Từ hệ thức truy hồi ta có $u_n > \sqrt{3}$

Trước hết chúng ta phải tìm nghiệm $> \sqrt{3}$ của PT

$x = \sqrt 3 + \dfrac{{x}}{{\sqrt {x^2 - 1} }}$. Đặt $sin \alpha = \dfrac{1}{x}$ (Vì $x > \sqrt{3}$ )

nên ta chỉ xét $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{6}$

và PT trên đưa về dạng $\dfrac{1}{sin\alpha} = \sqrt{3} + \dfrac{1}{cos\alpha}$

Quy đồng lên ta hoàn toàn có thể đưa về PT 1 ẩn $ t= cos\alpha - sin\alpha$

Tính được $\alpha$ và $ \varepsilon = x = \dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{5} + 1) }{2}$

Chú ý rằng $f'(x) = \dfrac{-1}{(x^2-1) \sqrt{x^2-1}} < 0$ nên f nghịch biến khi $x \ge \sqrt{3}$

Từ đó, dễ thấy $u_2 < \varepsilon < u_1$

Sau đó, quy nạp là OK, công việc còn lại không có gì khó khăn.

GOOD!!!

-----------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Crystal]

Bài tiếp...
Bài 5: Cho cấp số cộng: $1,\,2,\,3,....,1996$.
Tìm số lượng phần tử nhỏ nhất cần loại bớt khỏi dãy số nói trên, sao cho dãy con còn lại có tính chất sau đây: không có phần tử nào lại bằng tích của hai phần tử khác.

--------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 06-08-2011 - 09:01