Chủ đề này có 3 trả lời

[Mr.thaipro(^_^)]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và  a+b+c=3.

	  Tìm min :Q=3 a^{2} +3 b^{2} +3 c^{2} +4abc

[Crystal]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và  a+b+c=3.
	  Tìm min :Q=3 a^{2} +3 b^{2} +3 c^{2} +4abc

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và $a + b + c = 3$. Tìm GTNN của $Q = 3\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) + 4abc$.

[soros_fighter]

Đặt: $a+b+c=p=3$; $ab+bc+ca=q$;$abc=r$
Ta có:
$a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2=3$
$p^3-4pq+9r\geq 0$
$Q\geq 3(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{16pq}{9}-\dfrac{4p^3}{9}=3(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{16q}{3}-12=\dfrac{8}{3}(a+b+c)^2+\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)-12\geq 13$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi soros_fighter: 31-07-2011 - 15:51

[Crystal]

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và $a + b + c = 3$. Tìm GTNN của $Q = 3\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) + 4abc$.

Mình xin thử một cách khác luôn nhé.( sử dụng pp hàm số)

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $0 < a \le b \le c$. Vì $a + b + c = 3$ nên $a + b = 3 - c$ và $c \ge 1$.

Mặt khác $a + b > c$ nên $3 - c > c \Leftrightarrow c < \dfrac{3}{2}$. Như vậy: $1 \le c < \dfrac{3}{2}$.

Ta có: $Q = 3\left( {a^2 + b^2 } \right) + 3c^2 + 4abc = 3\left( {a + b} \right)^2 - 6ab + 3c^2 + 4abc$

$= 3\left( {3 - c} \right)^2 + 3c^2 - 2\left( {3 - 2c} \right)ab$

Vì $c < \dfrac{3}{2}$ nên $3 - 2c > 0$. Mặt khác $\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2 \ge ab \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{3 - c}}{2}} \right)^2 \ge ab$.

Do đó $Q \ge 3\left( {3 - c} \right)^2 + 3c^2 - 2\left( {3 - 2c} \right)\left( {\dfrac{{3 - c}}{2}} \right)^2 $

$\Leftrightarrow Q \ge c^3 - \dfrac{3}{2}c^2 + \dfrac{{27}}{2}$.

Xét hàm số: $f( c ) = c^3 - \dfrac{3}{2}c^2 + \dfrac{{27}}{2}$, với $1 \le c < \dfrac{3}{2}$.

Lập BBT của hàm $f( c )$ trên $\left[ {1;\dfrac{3}{2}} \right)$, ta được: $f© \ge f(1) = 13$ hay $Q \ge 13$.

Vậy $\min Q = 13$, đạt được khi $a = b = c = 1$.


------------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!