Chủ đề này có 2 trả lời

[Dieu Ha]

Cho a,b,c thỏa mãn:
$\dfrac{{b^2 + c^2 - a^2 }}{{2bc}} + \dfrac{{c^2 + a^2 - b^2 }}{{2ac}} + \dfrac{{a^2 + b^2 - c^2 }}{{2ab}} = 1$
Chứng minh thì hai phân thức có giá trị bằng 1 và 1 phân thức có giá trị là -1

Giúp em nhé mng!

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Đề bài : Cho a,b,c thỏa mãn:
$\dfrac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} + \dfrac{c^2 + a^2 - b^2 }{2ac} + \dfrac{a^2 + b^2 - c^2 }{2ab} = 1$
Giải :
$\dfrac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} + \dfrac{c^2 + a^2 - b^2 }{2ac} + \dfrac{a^2 + b^2 - c^2 }{2ab} = 1$

$ \Leftrightarrow (\dfrac{c^2 + a^2 - b^2 }{2ac} - 1) + (\dfrac{a^2 + b^2 - c^2 }{2ab} - 1) + (\dfrac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} + 1) = 0$

$ \Leftrightarrow \dfrac{c^2 + a^2 - b^2 - 2ac }{2ac} + \dfrac{a^2 + b^2 - c^2 - 2ab}{2ab} + \dfrac{b^2 + c^2 - a^2 + 2bc}{2bc} = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{( a - c )^2 - b^2}{2ac} + \dfrac{( a - b )^2 - c^2}{2ab} + \dfrac{( b + c )^2 - a^2}{2bc} = 0$

$\Rightarrow \dfrac{(a - c - b)(a - c + b)}{2ac}+\dfrac{( a - b - c )(a - b + c)}{2ab} + \dfrac{( b + c - a )( b + c + a )}{2bc } = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{a - b - c}{2}[\dfrac{a - c + b }{ac} + \dfrac{a - b + c}{ab} - \dfrac{a + b + c}{bc}] = 0$

$\Rightarrow (a - b - c)(\dfrac{ab - bc + b^2}{abc} + \dfrac{ac - bc + c^2 }{abc} - \dfrac{a^2 + ab + ac}{abc}) = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{( a - b - c )(ab - bc + b^2 + ac - bc + c^2 - a^2 - ab - ac)}{abc} = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(a - b - c)(b^2 - 2bc + c^2 - a^2 )}{abc} = 0$

$ \Rightarrow (a - b - c)[( b - c)^2 - a^2] = 0 \Leftrightarrow (a - b - c )( b - c -a )( b - c + a ) = 0$

$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} a = b + c\\a = b - c\\ a = c - b\end{array}\right.$
Với mỗi giá trị a như vậy, thay vào từng biểu thức trên. Ta sẽ có điều phải chứng minh.

P/S: Ai có cách ngắn hơn thì đóng góp nhé !

[Dieu Ha]

Đề bài : Cho a,b,c thỏa mãn:
$\dfrac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} + \dfrac{c^2 + a^2 - b^2 }{2ac} + \dfrac{a^2 + b^2 - c^2 }{2ab} = 1$
Giải :
$\dfrac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} + \dfrac{c^2 + a^2 - b^2 }{2ac} + \dfrac{a^2 + b^2 - c^2 }{2ab} = 1$

$ \Leftrightarrow (\dfrac{c^2 + a^2 - b^2 }{2ac} - 1) + (\dfrac{a^2 + b^2 - c^2 }{2ab} - 1) + (\dfrac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} + 1) = 0$

$ \Leftrightarrow \dfrac{c^2 + a^2 - b^2 - 2ac }{2ac} + \dfrac{a^2 + b^2 - c^2 - 2ab}{2ab} + \dfrac{b^2 + c^2 - a^2 + 2bc}{2bc} = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{( a - c )^2 - b^2}{2ac} + \dfrac{( a - b )^2 - c^2}{2ab} + \dfrac{( b + c )^2 - a^2}{2bc} = 0$

$\Rightarrow \dfrac{(a - c - b)(a - c + b)}{2ac}+\dfrac{( a - b - c )(a - b + c)}{2ab} + \dfrac{( b + c - a )( b + c + a )}{2bc } = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{a - b - c}{2}[\dfrac{a - c + b }{ac} + \dfrac{a - b + c}{ab} - \dfrac{a + b + c}{bc}] = 0$

$\Rightarrow (a - b - c)(\dfrac{ab - bc + b^2}{abc} + \dfrac{ac - bc + c^2 }{abc} - \dfrac{a^2 + ab + ac}{abc}) = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{( a - b - c )(ab - bc + b^2 + ac - bc + c^2 - a^2 - ab - ac)}{abc} = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(a - b - c)(b^2 - 2bc + c^2 - a^2 )}{abc} = 0$

$ \Rightarrow (a - b - c)[( b - c)^2 - a^2] = 0 \Leftrightarrow (a - b - c )( b - c -a )( b - c + a ) = 0$

$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} a = b + c\\a = b - c\\ a = c - b\end{array}\right.$
Với mỗi giá trị a như vậy, thay vào từng biểu thức trên. Ta sẽ có điều phải chứng minh.

P/S: Ai có cách ngắn hơn thì đóng góp nhé !

Thks bạn nhiều nhé!