Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Giải bất đẳng thức bằng nhiều cách


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Rayky

Rayky

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 02-08-2011 - 11:12

Cho $a,b \ge 1$. CMR: $\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}$
Áp dụnh cho $a,b,c \ge 1$. CMR: $\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \ge \dfrac{3}{{1 + \sqrt[3]{{abc}}}}$
Bài này không quá khó nên yêu cầu giải bằng 2 cách nhé, càng nhiều cách càng hay :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Rayky: 02-08-2011 - 11:13


#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 02-08-2011 - 11:32

Cho $a,b \ge 1$. CMR: $\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}$
Áp dụnh cho $a,b,c \ge 1$. CMR: $\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \ge \dfrac{3}{{1 + \sqrt[3]{{abc}}}}$
Bài này không quá khó nên yêu cầu giải bằng 2 cách nhé, càng nhiều cách càng hay :D


Mình xin thử 1 cách

BĐT $ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{{1 + a}} - \dfrac{1}{{1 + \sqrt {ab} }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{1 + b}} - \dfrac{1}{{1 + \sqrt {ab} }}} \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {ab} - a}}{{\left( {1 + a} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} + \dfrac{{\sqrt {ab} - b}}{{\left( {1 + b} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a (\sqrt b - \sqrt a )}}{{\left( {1 + a} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} + \dfrac{{\sqrt b (\sqrt a - \sqrt b )}}{{\left( {1 + b} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)^2 \left( {\sqrt {ab} - 1} \right)}}{{\left( {1 + a} \right).\left( {1 + b} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} \ge 0$.

BĐT cuối đúng do ab>1. Ta có đpcm.

Bài dưới thì chỉ việc áp dụng thôi!

---------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!


#3 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 02-08-2011 - 11:38

Cho $a,b \ge 1$. CMR: $\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}$
Áp dụnh cho $a,b,c \ge 1$. CMR: $\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \ge \dfrac{3}{{1 + \sqrt[3]{{abc}}}}$
Bài này không quá khó nên yêu cầu giải bằng 2 cách nhé, càng nhiều cách càng hay :D

cách dễ nhất dùng bất đẳng thức Jensen nhé trước hết chứng minh cái 2 biến để nó hàm lồi đã
bất đẳng thức dầu tương đương $\( \sqrt{bc} -1){( \sqrt{b}- \sqrt{c})^2} \ge 0 $
đặt hàm $\f(x)= \dfrac{1}{1+x}$
$f( x_{1})+f( x_{2})+f( x_{3}) \geq 3f( \sqrt[3]{x_{1} x_{2}x_{3}})$
thế là ra thôi còn cách 2 thì tớ chưa nghĩ ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 02-08-2011 - 21:32


#4 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 13-08-2011 - 00:34

cách dễ nhất dùng bất đẳng thức Jensen nhé trước hết chứng minh cái 2 biến để nó hàm lồi đã
bất đẳng thức dầu tương đương $\( \sqrt{bc} -1){( \sqrt{b}- \sqrt{c})^2} \ge 0 $
đặt hàm $\f(x)= \dfrac{1}{1+x}$
$f( x_{1})+f( x_{2})+f( x_{3}) \geq 3f( \sqrt[3]{x_{1} x_{2}x_{3}})$
thế là ra thôi còn cách 2 thì tớ chưa nghĩ ra

Đây đang là topic trung học cơ sở .Didier chơi Jensen :)
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#5 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 21-08-2011 - 20:50

Bài này thì mình có cách giải khác là:
$\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }} \Leftrightarrow \dfrac{{a + b + 2}}{{(a + 1)(b + 1)}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}$
$ \Leftrightarrow (a + b + 2)(1 + \sqrt {ab} ) \ge 2(ab + a + b + 1)$
$ \Leftrightarrow a + b + 2 + a\sqrt {ab} + b\sqrt {ab} - 2\sqrt {ab} \ge 2ab + 2a + 2b + 2$
$ \Leftrightarrow a + b - 2\sqrt {ab} - \sqrt {ab} (a + b - 2\sqrt {ab} ) \le 0 \Leftrightarrow (\sqrt a - \sqrt b )^2 (1 - \sqrt {ab} ) \le 0$
Vì a,b ;) 1 nên $\sqrt {ab} \le 1 \Rightarrow 1 - \sqrt {ab} \le 0$ suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $\sqrt a = \sqrt b $ :delta a=b

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 21-08-2011 - 20:51

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#6 Để tử Wallunint

Để tử Wallunint

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 07-09-2011 - 18:09

Có thế rút ra đc quy luật "cộng tử" không anh xusinst!
Còn áp dụng là áp dụng ra sao !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Để tử Wallunint: 07-09-2011 - 18:11

Nghệ Thuật Đà Nẵng
Yhaoo: [email protected]
Học với phương châm:Tiên học lễ hậu học văn,đi học trể trốn học luôn!




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh