Đến nội dung

Hình ảnh

Giải bất đẳng thức bằng nhiều cách


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Rayky

Rayky

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
Cho $a,b \ge 1$. CMR: $\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}$
Áp dụnh cho $a,b,c \ge 1$. CMR: $\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \ge \dfrac{3}{{1 + \sqrt[3]{{abc}}}}$
Bài này không quá khó nên yêu cầu giải bằng 2 cách nhé, càng nhiều cách càng hay :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Rayky: 02-08-2011 - 11:13


#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Cho $a,b \ge 1$. CMR: $\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}$
Áp dụnh cho $a,b,c \ge 1$. CMR: $\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \ge \dfrac{3}{{1 + \sqrt[3]{{abc}}}}$
Bài này không quá khó nên yêu cầu giải bằng 2 cách nhé, càng nhiều cách càng hay :D


Mình xin thử 1 cách

BĐT $ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{{1 + a}} - \dfrac{1}{{1 + \sqrt {ab} }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{1 + b}} - \dfrac{1}{{1 + \sqrt {ab} }}} \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {ab} - a}}{{\left( {1 + a} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} + \dfrac{{\sqrt {ab} - b}}{{\left( {1 + b} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a (\sqrt b - \sqrt a )}}{{\left( {1 + a} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} + \dfrac{{\sqrt b (\sqrt a - \sqrt b )}}{{\left( {1 + b} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)^2 \left( {\sqrt {ab} - 1} \right)}}{{\left( {1 + a} \right).\left( {1 + b} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} \ge 0$.

BĐT cuối đúng do ab>1. Ta có đpcm.

Bài dưới thì chỉ việc áp dụng thôi!

---------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!


#3
Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết

Cho $a,b \ge 1$. CMR: $\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}$
Áp dụnh cho $a,b,c \ge 1$. CMR: $\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \ge \dfrac{3}{{1 + \sqrt[3]{{abc}}}}$
Bài này không quá khó nên yêu cầu giải bằng 2 cách nhé, càng nhiều cách càng hay :D

cách dễ nhất dùng bất đẳng thức Jensen nhé trước hết chứng minh cái 2 biến để nó hàm lồi đã
bất đẳng thức dầu tương đương $\( \sqrt{bc} -1){( \sqrt{b}- \sqrt{c})^2} \ge 0 $
đặt hàm $\f(x)= \dfrac{1}{1+x}$
$f( x_{1})+f( x_{2})+f( x_{3}) \geq 3f( \sqrt[3]{x_{1} x_{2}x_{3}})$
thế là ra thôi còn cách 2 thì tớ chưa nghĩ ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 02-08-2011 - 21:32


#4
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết

cách dễ nhất dùng bất đẳng thức Jensen nhé trước hết chứng minh cái 2 biến để nó hàm lồi đã
bất đẳng thức dầu tương đương $\( \sqrt{bc} -1){( \sqrt{b}- \sqrt{c})^2} \ge 0 $
đặt hàm $\f(x)= \dfrac{1}{1+x}$
$f( x_{1})+f( x_{2})+f( x_{3}) \geq 3f( \sqrt[3]{x_{1} x_{2}x_{3}})$
thế là ra thôi còn cách 2 thì tớ chưa nghĩ ra

Đây đang là topic trung học cơ sở .Didier chơi Jensen :)
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#5
Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
Bài này thì mình có cách giải khác là:
$\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }} \Leftrightarrow \dfrac{{a + b + 2}}{{(a + 1)(b + 1)}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}$
$ \Leftrightarrow (a + b + 2)(1 + \sqrt {ab} ) \ge 2(ab + a + b + 1)$
$ \Leftrightarrow a + b + 2 + a\sqrt {ab} + b\sqrt {ab} - 2\sqrt {ab} \ge 2ab + 2a + 2b + 2$
$ \Leftrightarrow a + b - 2\sqrt {ab} - \sqrt {ab} (a + b - 2\sqrt {ab} ) \le 0 \Leftrightarrow (\sqrt a - \sqrt b )^2 (1 - \sqrt {ab} ) \le 0$
Vì a,b ;) 1 nên $\sqrt {ab} \le 1 \Rightarrow 1 - \sqrt {ab} \le 0$ suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $\sqrt a = \sqrt b $ :delta a=b

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 21-08-2011 - 20:51

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#6
Để tử Wallunint

Để tử Wallunint

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
Có thế rút ra đc quy luật "cộng tử" không anh xusinst!
Còn áp dụng là áp dụng ra sao !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Để tử Wallunint: 07-09-2011 - 18:11

Nghệ Thuật Đà Nẵng
Yhaoo: [email protected]
Học với phương châm:Tiên học lễ hậu học văn,đi học trể trốn học luôn!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh