Cho $a,b \ge 1$. CMR: $\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}$
Áp dụnh cho $a,b,c \ge 1$. CMR: $\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \ge \dfrac{3}{{1 + \sqrt[3]{{abc}}}}$
Bài này không quá khó nên yêu cầu giải bằng 2 cách nhé, càng nhiều cách càng hay
Mình xin thử 1 cách
BĐT $ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{{1 + a}} - \dfrac{1}{{1 + \sqrt {ab} }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{1 + b}} - \dfrac{1}{{1 + \sqrt {ab} }}} \right) \ge 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {ab} - a}}{{\left( {1 + a} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} + \dfrac{{\sqrt {ab} - b}}{{\left( {1 + b} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} \ge 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a (\sqrt b - \sqrt a )}}{{\left( {1 + a} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} + \dfrac{{\sqrt b (\sqrt a - \sqrt b )}}{{\left( {1 + b} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} \ge 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)^2 \left( {\sqrt {ab} - 1} \right)}}{{\left( {1 + a} \right).\left( {1 + b} \right).\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} \ge 0$.
BĐT cuối đúng do ab>1. Ta có đpcm.
Bài dưới thì chỉ việc áp dụng thôi!
---------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!