Đến nội dung

Hình ảnh

Những điểm có thể nhìn thấy


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết

Một điểm được gọi là nguyên trên mặt phẳng tọa độ Oxy nếu cả hoành độ và tung độ nó đều là những số nguyên
Xét phát biểu : Một điểm nguyên $A$ được gọi là có thể nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$ khi và chỉ khi trên đoạn $OA$ không chứa bất kì 1 điểm nguyên nào khác
Chứng minh rằng . Với $n \in N^*$ thì ta có thể dựng được 1 hình vuông có kích thước $n*n$ sao cho các điểm nguyên trên biên và cả trong hình vuông đều không thể nào nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$


CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#2
takarin1512

takarin1512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Ta chỉ xét đến trường hợp bảng nằm trên góc phần từ thứ I.

Ta xét một điểm $A(x,y)$ bất kỳ, dễ thấy nếu điểm $A(x,y)$ không thể nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$ thì trên $OA$ tồn tại một điểm nguyên $A'(x',y')$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} \frac{x'}{y'}=\frac{x}{y}\\ 0< x'< x \end{matrix}\right.$. Thay vào đó ta có thể nói nếu tồn điểm điểm $A(x,y)$ thỏa mãn $gcd\left ( x,y \right )>1$ thì $A$ không thể nhìn thấy từ $O$.

Vì dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn nên ta có thể chọn ra được $(n+1)^2$ số nguyên tố $p_{i-j}\left ( i=\overline{1,n+1},j=\overline{1,n+1} \right )$ đôi một khác nhau.

Ta xét một bảng có $4$ đỉnh có tọa độ $\left ( a+1,b+1 \right );\left ( a+n+1,b+1 \right ),\left ( a+1,b+n+1 \right )$ và $\left ( a+n+1,b+n+1 \right )$

Ta xét hệ phương trình sau $a\equiv -i\left ( mod\prod_{j=1}^{n}p_{i-j} \right )\left ( i=\overline{1,n+1} \right )$. Theo định lý hệ thặng dư Trung Hoa thì hệ phương trình có nghiệm $a$ thỏa mãn.

Tương tự ta cũng xét hệ phương trình $b\equiv -j\left ( mod\prod_{i=1}^{n}p_{i-j} \right )\left ( j=\overline{1,n+1} \right )$ có nghiệm $b$ thỏa mãn. 

Hai số $\left ( a,b \right )$ này là hai số thỏa mãn mà ta cần tìm. Thật vậy xét điểm $I\left ( a+i,b+j \right )$ bất kỳ thì $p_{i-j}|gcd\left ( a+i,b+j \right )\Rightarrow \left ( a+i,b+j \right )>1$(dpcm).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takarin1512: 10-11-2016 - 12:08





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh