Chủ đề này có 20 trả lời

[Yagami Raito]

Tìm 3 chữ số tận cùng
$\ 1^{2}+ 2^{3}+ 3^{4}+ 4^{5}+...+ 15^{16}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 15-03-2012 - 00:08

[perfectstrong]

Sử dụng máy tính
$1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^5 = 1114 \equiv 114\left( {\bmod 1000} \right)$

$5^6 \equiv 625\left( {\bmod 1000} \right)$

$6^7 \equiv 936\left( {\bmod 1000} \right)$

$7^8 \equiv 801\left( {\bmod 1000} \right)$

$8^9 \equiv 728\left( {\bmod 1000} \right)$

$9^{10} \equiv 401\left( {\bmod 1000} \right)$

$10^{11} \equiv 000\left( {\bmod 1000} \right)$

$11^{12} = \left( {11^6 } \right)^2 \equiv 561^2 \equiv 721\left( {\bmod 1000} \right)$

$12^{13} = \left( {12^4 } \right)^2 .12^5 \equiv 736^2 .832 \equiv 072\left( {\bmod 1000} \right)$

$13^{14} = \left( {13^7 } \right)^2 \equiv 517^2 \equiv 289\left( {\bmod 1000} \right)$

$14^{15} = \left( {14^5 } \right)^3 \equiv 824^3 \equiv 224\left( {\bmod 1000} \right)$

$15^{16} = \left( {15^8 } \right)^2 \equiv 625^2 \equiv 625\left( {\bmod 1000} \right)$

$ \Rightarrow \sum\limits_{x = 1}^{15} {x^{x + 1} } \equiv 114 + 625 + 936 + 801 + 728 + 401 + 000 + 721 + 072 + 289 + 224 + 625 \left\( {\bmod 1000} \right\)$

$ \Leftrightarrow \sum\limits_{x = 1}^{15} {x^{x + 1} } \equiv 536\left( {\bmod 1000} \right)$
Vậy 3 chữ số cuối của tổng đã cho là 536.

[Crystal]

Sử dụng máy tính
$1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^5 = 1114 \equiv 114\left( {\bmod 1000} \right)$

$5^6 \equiv 625\left( {\bmod 1000} \right)$

$6^7 \equiv 936\left( {\bmod 1000} \right)$

$7^8 \equiv 801\left( {\bmod 1000} \right)$

$8^9 \equiv 728\left( {\bmod 1000} \right)$

$9^{10} \equiv 401\left( {\bmod 1000} \right)$

$10^{11} \equiv 000\left( {\bmod 1000} \right)$

$11^{12} = \left( {11^6 } \right)^2 \equiv 561^2 \equiv 721\left( {\bmod 1000} \right)$

$12^{13} = \left( {12^4 } \right)^2 .12^5 \equiv 736^2 .832 \equiv 072\left( {\bmod 1000} \right)$

$13^{14} = \left( {13^7 } \right)^2 \equiv 517^2 \equiv 289\left( {\bmod 1000} \right)$

$14^{15} = \left( {14^5 } \right)^3 \equiv 824^3 \equiv 224\left( {\bmod 1000} \right)$

$15^{16} = \left( {15^8 } \right)^2 \equiv 625^2 \equiv 625\left( {\bmod 1000} \right)$

$ \Rightarrow \sum\limits_{x = 1}^{15} {x^{x + 1} } \equiv 114 + 625 + 936 + 801 + 728 + 401 + 000 + 721 + 072 + 289 + 224 + 625 \left\( {\bmod 1000} \right\)$

$ \Leftrightarrow \sum\limits_{x = 1}^{15} {x^{x + 1} } \equiv 536\left( {\bmod 1000} \right)$
Vậy 3 chữ số cuối của tổng đã cho là 536.

Cách này chỉ áp dụng được cho những bài thế này, còn những bài khác thì.......
Ví dụ như bài sau đây
Tìm hai chữ số tận cùng của tổng: $S = 1^{2002} + 2^{2002} + 3^{2002} + ... + 2004^{2002} $.

------------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Yagami Raito]

xusinst cảm ơn bạn công nhận bạn 11 tuổi mà biết lằm bài cách này thì quá khâm phục

[Nguyễn Hữu Huy]

Cách này chỉ áp dụng được cho những bài thế này, còn những bài khác thì.......
Ví dụ như bài sau đây
Tìm hai chữ số tận cùng của tổng: $S = 1^{2002} + 2^{2002} + 3^{2002} + ... + 2004^{2002} $.

------------------
KH�”NG THỬ SAO BIẾT!!!

Dễ thấy

$1^{2002} + 1999^{2002} = BS(1000) = ....00$

$2^{2002} + 1999^{2002} = BS(1000) = ....00$

....................................................................

$999^{2002} + 1001^{2002} = BS(1000) = ....00$

$1000^{2002} + 2000^{2000} = BS(1000) = ....00$

Vậy chỉ còn

$2001^{2002} + 2002^{2002} + 2003^{2002} + 2004^{2002}$

Tới đây hơi khó nhằm tý
$2001^{2002} $ tận cùng 01

$2002^{2002} = (2000 + 2)^{2002}$ có cùng 2 chữ cuối với 2^{2002}
$2^{2002} = (2^{5})^{400}.4$ cùng 2 chữ số $2^400.4$ có cùng 2 chữ số cuối $2^{80}.4$ có cùng 2 chữ số vs $2^{15}.8$ có cùng 2 chữ số $2^{3}.8$ tận cùng là 44

Rồi bạn tiếp tực thử nghiệm nữa nhé ! Mình không chắc về cách làm của mình lắm nên nếu có sai thì thông cảm nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hữu Huy: 06-08-2011 - 16:47

[Crystal]

Dễ thấy

$1^{2002} + 1999^{2002} = BS(1000) = ....00$

$2^{2002} + 1999^{2002} = BS(1000) = ....00$

....................................................................

$999^{2002} + 1001^{2002} = BS(1000) = ....00$

$1000^{2002} + 2000^{2000} = BS(1000) = ....00$

Vậy chỉ còn

$2001^{2002} + 2002^{2002} + 2003^{2002} + 2004^{2002}$

Tới đây hơi khó nhằm tý
$2001^2002 tận cùng 01$

$2002^{2002} = (2000 + 2)^{2002}$ có cùng 2 chữ cuối với 2^2002
$2^{2002} = (2^{5})^400.4$ cùng 2 chữ số $2^400.4$ có cùng 2 chữ số cuối $2^80.4$ có cùng 2 chữ số vs $2^15.8$ có cùng 2 chữ số $2^3.8$ tận cùng là 44

Rồi bạn tiếp tực thử nghiệm nữa nhé ! Mình không chắc về cách làm của mình lắm nên nếu có sai thì thông cảm nhé

Sai rồi bạn ơi! Cách làm không phức tạp như thế này đâu.

-------------
KHÔNG THỬ SAO BIÊT!!!

[Nguyễn Hữu Huy]

Sai rồi bạn ơi! Cách làm không phức tạp như thế này đâu.

-------------
KH�”NG THỬ SAO BIÊT!!!

Vậy bạn có thể post cách giải lên đc không !??????????????????????????????????????????????????
Mà bài mình sai đâu zậy bạn !????????? Chỉ ra chỗ saii giùm nhé !
thân !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hữu Huy: 06-08-2011 - 17:37

[Crystal]

Vậy bạn có thể post cách giải lên đc không !??????????????????????????????????????????????????
Mà bài mình sai đâu zậy bạn !????????? Chỉ ra chỗ saii giùm nhé !
thân !

Bạn thử cho mình đáp án cuối cùng theo cách giải của bạn nha

----------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Crystal]

Đây là bài giải cho bài toán trên
Dễ thấy nếu a chắn thì $a^2 \, \vdots \,4$, nếu a lẻ thì $a^{100} - 1\, \vdots \,4$, nếu $a\, \vdots \,5 \Rightarrow a^2 \, \vdots 25$
Mặt khác $\forall a \in N,\,\left( {a,5} \right) = 1 \Rightarrow a^{100} - 1\, \vdots 25$
Vậy $\forall a \in N$ ta có: $a^2 \left( {a^{100} - 1\,} \right) \vdots 100$
Do đó: $S = 1^{2002} + 2^2 \left( {2^{2000} - 1} \right) + ... + 2004^2 \left( {2004^{2000} - 1} \right) + 2^2 + 3^2 + ... + 2004^2 $
Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 2004^2 $
Áp dụng công thức ta tính được $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 2004^2 = {\rm{26847}}0{\rm{7}}0{\rm{3}}0$
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S là 30.

P/s: Ai có cách hay hơn post lên anh em tham khảo nhé!

---------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 07-08-2011 - 09:40

[Nguyễn Hữu Huy]

Dễ thấy

$1^{2002} + 1999^{2002} = BS(1000) = ....00$

$2^{2002} + 1999^{2002} = BS(1000) = ....00$

....................................................................

$999^{2002} + 1001^{2002} = BS(1000) = ....00$

$1000^{2002} + 2000^{2000} = BS(1000) = ....00$

Vậy chỉ còn

$2001^{2002} + 2002^{2002} + 2003^{2002} + 2004^{2002}$

Tới đây hơi khó nhằm tý
$2001^{2002} $ tận cùng 01

$2002^{2002} = (2000 + 2)^{2002}$ có cùng 2 chữ cuối với 2^{2002}
$2^{2002} = (2^{5})^{400}.4$ cùng 2 chữ số $2^400.4$ có cùng 2 chữ số cuối $2^{80}.4$ có cùng 2 chữ số vs $2^{15}.8$ có cùng 2 chữ số $2^{3}.8$ tận cùng là 44

Rồi bạn tiếp tực thử nghiệm nữa nhé ! Mình không chắc về cách làm của mình lắm nên nếu có sai thì thông cảm nhé

Tiếp tục (xa k le tục tẹc tục tẹc)
$3^{2002} = (3^4)^{500}.9 = (..01)^{500}.9 = (......09)$

$4^{2002} = 2^{2002}.2^{2002} = (....44)(.....44) = (......36)$

vậy 2 chữ số tận cùng của tổng là : 01 + 44 + 09 + 36 = 90

oh my god !
Lỡ sai nhớ thông cảm đó hen ! đáp án ni ko chắc lắm !

[Crystal]

Tiếp tục (xa k le tục tẹc tục tẹc)
$3^{2002} = (3^4)^{500}.9 = (..01)^{500}.9 = (......09)$

$4^{2002} = 2^{2002}.2^{2002} = (....44)(.....44) = (......36)$

vậy 2 chữ số tận cùng của tổng là : 01 + 44 + 09 + 36 = 90

oh my god !
Lỡ sai nhớ thông cảm đó hen ! đáp án ni ko chắc lắm !

Đáp án bạn sai rồi. Bạn xem lời giải mình post lên đó!

-----------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Phạm Hữu Bảo Chung]

$2002^{2002} = (2000 + 2)^{2002}$ có cùng 2 chữ cuối với 2^{2002}
$2^{2002} = (2^{5})^{400}.4$ cùng 2 chữ số $2^400.4$ có cùng 2 chữ số cuối $2^{80}.4$ có cùng 2 chữ số vs $2^{15}.8$ có cùng 2 chữ số $2^{3}.8$ tận cùng là 44

Theo hiểu biết của mình thì $ a^5$ và $a$ có cùng chữ số tận cùng chứ chưa hẳn là có cùng hai chữ số tận cùng.

Thật vậy :
$2^5$ có 2 chữ số tận cùng là 32
2 có hai chữ số tận cùng là 02.

Theo kết quả mình tính được thì hai chữ số tận cùng của $2^{2002}$ là 04 chứ không phải là 44.
( $ 2^{2002} = 2^{2000}.4 = (((2^{10})^{10})^{20}.4 \equiv 76. 4 \equiv 04( mod 100)$

Do vậy hai chữ số tận cùng của cả biểu thức đó là : $01 + 04 + 09 + 16 = 30$

Đúng vậy chưa "em" xusint ?

[Crystal]

Theo hiểu biết của mình thì $ a^5$ và $a$ có cùng chữ số tận cùng chứ chưa hẳn là có cùng hai chữ số tận cùng.

Thật vậy :
$2^5$ có 2 chữ số tận cùng là 32
2 có hai chữ số tận cùng là 02.

Theo kết quả mình tính được thì hai chữ số tận cùng của $2^{2002}$ là 04 chứ không phải là 44.
( $ 2^{2002} = 2^{2000}.4 = (((2^{10})^{10})^{20}.4 \equiv 76. 4 \equiv 04( mod 100)$

Do vậy hai chữ số tận cùng của cả biểu thức đó là : $01 + 04 + 09 + 16 = 30$

Đúng vậy chưa "em" xusint ?

Dạ đúng rồi đó

[Crystal]

Tiếp bài nhé!
Bài 3: Tìm 1000 chữ số cuối cùng của số: $A = 1 + 50 + 50^2 + 50^3 + ... + 50^{999} $.

[anhuyen2000]

Tiếp bài nhé!
Bài 3: Tìm 1000 chữ số cuối cùng của số: $A = 1 + 50 + 50^2 + 50^3 + ... + 50^{999} $.

nếu như theo cách suy luận cũ mình xin giải bài này như sau:
$A = 1 + 50 + 50^2 + 50^3 + ... + 50^{999} $.
50A= 50+50^2+50^3+50^4+...+50^{999} $+50^{1000} $
$A= 50^{1000} $-1/49
phần còn lại ta chỉ cần suy luận một tí nữa là ra (phần này mình cũng... tịt)

[yeutoan11]

nếu như theo cách suy luận cũ mình xin giải bài này như sau:
$A = 1 + 50 + 50^2 + 50^3 + ... + 50^{999} $.
50A= 50+50^2+50^3+50^4+...+50^{999} $+50^{1000} $
$A= 50^{1000} $-1/49
phần còn lại ta chỉ cần suy luận một tí nữa là ra (phần này mình cũng... tịt)

Để mình
$A=\frac{5^{1000}.10^{1000}-1}{49}=\frac{5^{1000}-16}{49}.10^{1000}+\frac{16.10^{1000}-1}{49}$
$\frac{(5^{1000}-16).10^{1000}}{49}$ có 1000 chữ số 0 tận cùng
Vậy 1000 chữ số tận cùng của A chính là 1000 chữ số tận cùng của $\frac{16.10^{1000}-1}{49}=\frac{1599...99}{49}$ mà 1000 chữ số tận cùng này thì đẹp lắm

[hahahano1]

Tìm chữ số tận cùng của dãy sau:
A=1³+2³+3³+4³+5³+…………+2012^{3.
Ai làm được làm hộ tiếp bài này}
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
H=|11x-20y|+|2012y-11z|+(x+y+z-20430)²⁰¹²
Ai làm được mình gọi rằng Super math

[ilovelife]

Tìm chữ số tận cùng của dãy sau:
A=1³+2³+3³+4³+5³+…………+2012^{3.
Ai làm được làm hộ tiếp bài này}
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
H=|11x-20y|+|2012y-11z|+(x+y+z-20430)²⁰¹²
Ai làm được mình gọi rằng Super math

$H=|11x-20y|+|2012y-11z|+(x+y+z-20430)^2012 >= 0$
=> $min H = 0$ khi 11x-20y|=2012y-11z=x+y+z-20430 = 0
hay x = 200, y = 110, z = 20120
-----
Còn $A = (1+2+3+...+2012)^2 = \overline{...8}^2=\overline{...4}$
---
Để CM $A = (1+2+3+...+2012)^2$, có thể CM dựa vào quy nạp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 29-10-2012 - 15:24

[Katyusha]

Vậy 1000 chữ số tận cùng của A chính là 1000 chữ số tận cùng của $\frac{16.10^{1000}-1}{49}=\frac{1599...99}{49}$ mà 1000 chữ số tận cùng này thì đẹp lắm

Cho mình hỏi tìm 1000 chữ số tận cùng của $\frac{1599...99}{49}$ như thế nào vậy

[NgocTruongNguyen]

Dễ thấy

$1^{2002} + 1999^{2002} = BS(1000) = ....00$

$2^{2002} + 1999^{2002} = BS(1000) = ....00$

....................................................................

$999^{2002} + 1001^{2002} = BS(1000) = ....00$

$1000^{2002} + 2000^{2000} = BS(1000) = ....00$

Vậy chỉ còn

$2001^{2002} + 2002^{2002} + 2003^{2002} + 2004^{2002}$

Tới đây hơi khó nhằm tý
$2001^{2002} $ tận cùng 01

$2002^{2002} = (2000 + 2)^{2002}$ có cùng 2 chữ cuối với 2^{2002}
$2^{2002} = (2^{5})^{400}.4$ cùng 2 chữ số $2^400.4$ có cùng 2 chữ số cuối $2^{80}.4$ có cùng 2 chữ số vs $2^{15}.8$ có cùng 2 chữ số $2^{3}.8$ tận cùng là 44

Rồi bạn tiếp tực thử nghiệm nữa nhé ! Mình không chắc về cách làm của mình lắm nên nếu có sai thì thông cảm nhé

Sai rồi,,,

12002+19992002=BS(1000)=....00 không đúng