Chủ đề này có 16 trả lời

[Crystal]

Bài 1: $Cho\,\,a \ge 0,\,b \in R$ cố định. Giải phương trình: $5x^5 + 5ax^3 + a^2 x + 5b = 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 07-08-2011 - 15:52

[emmuongioitoan]

$Cho\,\,a \ge 0,\,b \in R$ cố định. Giải phương trình: $5x^5 + 5ax^3 + a^2 x + 5b = 0$.

Vì các bậc của x đều là lẻ nên nếu PT có nghiệm thì chỉ có nghiệm duy nhất.

Tách $x = x_1+x_2$. Dễ dàng kiểm tra hệ thức sau $x^5-5x_1x_2x^3+5x_1^2x_2^2-x_1^5-x_2^5 =0$

Vậy ta có $x_1^5+x_2^5 = -b$ và $5x_1x_2 = -a$ hay $x_1^5.x_2^5 = -\dfrac{a^5}{5}$

Giải ra $x_{1,2}=\sqrt[5]{-\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4} + \dfrac{a^5}{25}} }$

Suy ra nghiệm $x_1+x_2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 15:25

[Crystal]

Vì các bậc của x đều là lẻ nên nếu PT có nghiệm thì chỉ có nghiệm duy nhất.

Tách $x = x_1+x_2$. Dễ dàng kiểm tra hệ thức sau $x^5-5x_1x_2x^3+5x_1^2x_2^2-x_1^5-x_2^5 =0$

Vậy ta có $x_1^5+x_2^5 = -b$ và $5x_1x_2 = -a$ hay $x_1^5.x_2^5 = -\dfrac{a^5}{5}$

Giải ra $x_{1,2}=\sqrt[5]{-\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4} + \dfrac{a^5}{25}} }$

Suy ra nghiệm $x_1+x_2$.

Anh giỏi quá!!! Tiếp nak...
Bài 2: Giải phương trình: $x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 18x - 9 = 0$

P/S: cho kết quả cuối cùng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 07-08-2011 - 15:52

[emmuongioitoan]

Anh giỏi quá!!! Tiếp nak...
Bài 2: Giải phương trình: $x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 18x - 9 = 0$

P/S: cho kết quả cuối cùng.

$x^4-3x^2(x-1)-9(x-1)^2=0$

hay $x^4-3x^2y-9y^2=0$ với $y = x-1$


$\Delta_x = 45y^2$ nên $x^2 = \dfrac{3y \pm 3\sqrt{5}y}{2}$


hay $x^2 = \dfrac{3 \pm 3\sqrt{5}}{2}(x-1)$

Việc còn lại là GPT bậc 2, mình không có nhiều thời gian, xin phép để giành cho bạn khác.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 16:39

[Crystal]

$x^4-3x^2(x-1)-9(x-1)^2=0$

hay $x^4-3x^2y-9y^2=0$ với $y = x-1$
$\Delta_x = 45y^2$ nên $x^2 = \dfrac{3y \pm 3\sqrt{5}y}{2}$


hay $x^2 = \dfrac{3 \pm 3\sqrt{5}}{2}(x-1)$

Việc còn lại là GPT bậc 2, mình không có nhiều thời gian, xin phép để giành cho bạn khác.

GOOD!
Bài 3: Xác định a, b sao cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0\,\,\,(1)$ tương đương với hệ $\left\{ \begin{array}{l}bx^2 + cx + a = 0 \\ cx^2 + ax + b = 0 \\ \end{array} \right.\,\,\,\,(2)$.

[emmuongioitoan]

GOOD!
Bài 3: Xác định a, b sao cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0\,\,\,(1)$ tương đương với hệ $\left\{ \begin{array}{l}bx^2 + cx + a = 0 \\ cx^2 + ax + b = 0 \\ \end{array} \right.\,\,\,\,(2)$.

Bài này mình xét 2 TH hơi dài

TH1) (1) vô nghiệm thì $a=b=0, c \neq 0$ hoặc là $a\neq 0$ và $\Delta <0$

+ Với $a=b=0, c \neq 0$ thì (2) có nghiệm $x=0$, (1) và (2) không tương đương
+ Với $a\neq 0$ và $\Delta <0$

Nếu $b \neq 0$ thì $c \neq 0$ (do $\Delta <0$)

Để (2) vô nghiệm thì hoặc là $c^2 - 4ba < 0$ hoặc $a^2 - 4cb < 0$ hoặc cả 2 PT bậc 2 của (2) có nghiệm và $bx^2 + cx + a = 0 , cx^2 + ax + b = 0$ không có nghiệm chung

Muốn có điều này phải có $c^2 - 4ba \ge 0$ hoặc $a^2 - 4cb \ge 0$ và $b(b^2-ac)^2 + c(b^2-ac)(c^2-ab) + a(c^2-ab)^2 \neq 0$ ( * )

TH2) (1) có nghiệm thì hệ gồm cả 3 PT của (1) và (2) phải có nghiệm.

Cộng cả 3 PT lại ta có $(a+b+c) = 0$ vì $x^2+x+1 > 0$

+ Nếu $a=b=c=0$ thì hiển nhiên 2 cái tương đương.
+ Nếu 3 số không đồng thời bằng 0 thì phải có ít nhất 2 số khác 0. Giả sử là $b,c$
thì (2) tương đương với $x = 1$ hoặc $x = \dfrac{a}{b}$ và $x = \dfrac{b}{c}$
đến đây xét tiếp 2 khả năng
Nếu $a=0$ thì cả (1) và (2) đều tương đương với $x=1$, được.
Nếu $a \neq 0$ thì (1) có 2 nghiệm 1 và $\dfrac{c}{a}$

(1), (2) tương đương thì phải có $x = \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} =\dfrac{c}{a}$ tức là $a=b=c$ điều này không xảy ra vì 3 số không đồng thời bằng 0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 18:02

[Crystal]

Bài này mình xét 2 TH hơi dài

TH1) (1) vô nghiệm thì $a=b=0, c \neq 0$ hoặc là $a\neq 0$ và $\Delta <0$

+ Với $a=b=0, c \neq 0$ thì (2) có nghiệm $x=0$, (1) và (2) không tương đương
+ Với $a\neq 0$ và $\Delta <0$

Nếu $b \neq 0$ thì $c \neq 0$ (do $\Delta <0$)

Để (2) vô nghiệm thì hoặc là $c^2 - 4ba < 0$ hoặc $a^2 - 4cb < 0$ hoặc cả 2 PT bậc 2 của (2) có nghiệm và $bx^2 + cx + a = 0 , cx^2 + ax + b = 0$ không có nghiệm chung

Muốn có điều này phải có $c^2 - 4ba \ge 0$ hoặc $a^2 - 4cb \ge 0$ và $b(b^2-ac)^2 + c(b^2-ac)(c^2-ab) + a(c^2-ab)^2$

Typing...

Gắng giải cho hết bài toán anh nhé! Làm toán không nên bỏ dở

[emmuongioitoan]

Gắng giải cho hết bài toán anh nhé! Làm toán không nên bỏ dở

Em không thấy chữ typing ở dưới à? Anh đang type nhưng phải gửi dần luôn chẳng may mất điện thì mất.

[Crystal]

Em không thấy chữ typing ở dưới à? Anh đang type nhưng phải gửi dần luôn chẳng may mất điện thì mất.

Thế đáp án cuối cùng? Em kém không biết đường đâu mà lần .Anh giỏi quá ak, thật đáng ngưỡng mộ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 07-08-2011 - 17:50

[emmuongioitoan]

Làm 3 bài rồi, xin để lại 1 bài cho xusinst

Giải hệ PT
$\left\{\begin{matrix}{}(x+1)(y+1) = 2 + xy\\x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 2 + \sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 17:58

[emmuongioitoan]

Thế đáp án cuối cùng? Em kém không biết đường đâu mà lần .Anh giỏi quá ak, thật đáng ngưỡng mộ!

Kết luận có tưng đây TH

1) $a+b+c=0$ và có 1 số bằng 0, 2 số khác 0
2) Cả 3 số bằng 0
3) a,b,c khác 0 và $c^2-4ba < 0$
4) a,b,c khác 0 và $a^2-4bc < 0$
5) a,b,c khác 0 và thỏa mãn ( * )
DONE.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 18:02

[Didier]

Làm 3 bài rồi, xin để lại 1 bài cho xusinst

Giải hệ PT
$\left\{\begin{matrix}{}(x+1)(y+1) = 2 + xy\\x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 2 + \sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$

gợi ý nhé
$\left\{\begin{matrix}{}x+y=1\\x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 2 + \sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$ (1)
vậy ta có nghiệm của hệ trên phải thỏa mãn$\left\{\begin{matrix}{}x^{2}+2xy+y^{2}=1\\3x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{}y^{2}=1-x^{2}-2xy\\3x(1-x^{2}-2xy+\dfrac{1}{3}) = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{}y^{2}=1-x^{2}-2xy\\3x-6x^{2}y-3x^{3}+x = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$ (2)
vậy ta từ (1) và (2)dẫn đến
$ 3xy^{2}+x=3x-6x^{2}y-3x^{3}+x$
$ \Leftrightarrow 3x(x^{2}+1-y^{2}-2xy)=0$
$ \Leftrightarrow 6x^{3}=0$
$ \Leftrightarrow x=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 08-08-2011 - 20:38

[emmuongioitoan]

gợi ý nhé
$\left\{\begin{matrix}{}x+y=1\\x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 2 + \sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
vậy ta có nghiệm của hệ trên phải thỏa mãn$\left\{\begin{matrix}{}x^{2}+2xy+y^{2}=1\\3x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$ (1)
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{}y^{2}=1-x^{2}-2xy\\3x(1-x^{2}-2xy+\dfrac{1}{3}) = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{}y^{2}=1-x^{2}-2xy\\3x-6x^{2}y-3x^{3}+x = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$ (2)
vậy ta từ (1) và (2)dẫn đến
$ 3xy^{2}+x=3x-6x^{2}y-3x^{3}+x$
$ \Leftrightarrow 3x(x^{2}+1-y^{2}-2xy)=0$
$ \Leftrightarrow 6x^{3}=0$
$ \Leftrightarrow x=0$

Gợi ý gì vậy??? Sai nặng!!! Thế vào vế trái rồi lại cho 2 cái vế trái bằng nhau thì bằng hòa bạn à.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 22:40

[Crystal]

Bài 5: Giải phương trình sau: $\sqrt {12 - \dfrac{{12}}{{x^2 }}} + \sqrt {x^2 + \dfrac{{12}}{{x^2 }}} = x^2 + \dfrac{{25}}{2}$.

[Didier]

Bài 5: Giải phương trình sau: $\sqrt {12 - \dfrac{{12}}{{x^2 }}} + \sqrt {x^2 + \dfrac{{12}}{{x^2 }}} = x^2 + \dfrac{{25}}{2}$.

bài này đặt ẩn
$\sqrt {12 - \dfrac{{12}}{{x^2 }}}=t$
$\sqrt {x^2 + \dfrac{{12}}{{x^2 }}}=k$
ta có hệ phương trình tương đương sau
$ t+k= t^{2} + k^{2}+ \dfrac{1}{2}$
cauchy
$ t^{2}+ \dfrac{1}{4} \ge t $
$ k^{2}+ \dfrac{1}{4} \ge k$
cộng các vế sử dụng dấu bằng của bất đẳng thức ko ngặt nhé
$ t= \dfrac{1}{2}$
$ k= \dfrac{1}{2} $
giai ra nếu ko đc thì vô nghiệm
nhân tiện xem lại bài trên ko sai đâu xem lại hộ nhé có thể viết nhầm đâu đấy thôi tôi sửa lại rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 08-08-2011 - 20:51

[Crystal]

Bài 6: Giải phương trình:

$\dfrac{{\left( {x - 1} \right)^4 }}{{\left( {x^2 - 3} \right)^2 }} + \left( {x^2 - 3} \right)^4 + \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)^2 }} = 3x^2 - 2x - 5$.

Bài 7: Biết phương trình $ax^3 + bx^2 + cz + 1 = 0\,\left( {a \ne 0} \right)$ có 3 nghiệm dương là $x_1 ,x_2 ,x_3 $.
Chứng minh rằng: $x_1^7 + x_2^7 + x_3^7 \ge - \dfrac{{b^3 c^2 }}{{81a^5 }}$.

[isaac_newtons]

Bài 6: Giải phương trình:

$\dfrac{{\left( {x - 1} \right)^4 }}{{\left( {x^2 - 3} \right)^2 }} + \left( {x^2 - 3} \right)^4 + \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)^2 }} = 3x^2 - 2x - 5$.

Bài 7: Biết phương trình $ax^3 + bx^2 + cz + 1 = 0\,\left( {a \ne 0} \right)$ có 3 nghiệm dương là $x_1 ,x_2 ,x_3 $.
Chứng minh rằng: $x_1^7 + x_2^7 + x_3^7 \ge - \dfrac{{b^3 c^2 }}{{81a^5 }}$.

bài 6 :
đăt $ (x-1)^2 =a $ ; $ (x^2-3)^2 =b $
$ \Leftrightarrow \dfrac{a^2}{b} + b^2 + \dfrac{1}{a}=a+2 \sqrt{b}$
ta có $ \dfrac{a^2}{b} + b^2 + \dfrac{1}{a} \geq a + 2 \sqrt{b} $
dấu "=" xảy ra khi $a=b=1 $(mình gỡ mệt ai cm giùm )
$ \Rightarrow x=2 $

P/s : có sai thì giúp nha!!! đừng có chửi ??