Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Phương trình đại số


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-08-2011 - 13:25

Bài 1: $Cho\,\,a \ge 0,\,b \in R$ cố định. Giải phương trình: $5x^5 + 5ax^3 + a^2 x + 5b = 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 07-08-2011 - 15:52


#2 emmuongioitoan

emmuongioitoan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:8A, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương
  • Sở thích:Càn quét, dọn dẹp các bài toán.

Đã gửi 07-08-2011 - 15:21

$Cho\,\,a \ge 0,\,b \in R$ cố định. Giải phương trình: $5x^5 + 5ax^3 + a^2 x + 5b = 0$.


Vì các bậc của x đều là lẻ nên nếu PT có nghiệm thì chỉ có nghiệm duy nhất.

Tách $x = x_1+x_2$. Dễ dàng kiểm tra hệ thức sau $x^5-5x_1x_2x^3+5x_1^2x_2^2-x_1^5-x_2^5 =0$

Vậy ta có $x_1^5+x_2^5 = -b$ và $5x_1x_2 = -a$ hay $x_1^5.x_2^5 = -\dfrac{a^5}{5}$

Giải ra $x_{1,2}=\sqrt[5]{-\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4} + \dfrac{a^5}{25}} }$

Suy ra nghiệm $x_1+x_2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 15:25

Phấn đấu thi IMO 2015 & IMO 2016

Website trường mình: http://vuhuu.edu.vn
Diễn đàn trường mình: http://vuhuuonline.net

#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-08-2011 - 15:36

Vì các bậc của x đều là lẻ nên nếu PT có nghiệm thì chỉ có nghiệm duy nhất.

Tách $x = x_1+x_2$. Dễ dàng kiểm tra hệ thức sau $x^5-5x_1x_2x^3+5x_1^2x_2^2-x_1^5-x_2^5 =0$

Vậy ta có $x_1^5+x_2^5 = -b$ và $5x_1x_2 = -a$ hay $x_1^5.x_2^5 = -\dfrac{a^5}{5}$

Giải ra $x_{1,2}=\sqrt[5]{-\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4} + \dfrac{a^5}{25}} }$

Suy ra nghiệm $x_1+x_2$.

Anh giỏi quá!!! Tiếp nak...
Bài 2: Giải phương trình: $x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 18x - 9 = 0$

P/S: cho kết quả cuối cùng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 07-08-2011 - 15:52


#4 emmuongioitoan

emmuongioitoan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:8A, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương
  • Sở thích:Càn quét, dọn dẹp các bài toán.

Đã gửi 07-08-2011 - 16:19

Anh giỏi quá!!! Tiếp nak...
Bài 2: Giải phương trình: $x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 18x - 9 = 0$

P/S: cho kết quả cuối cùng.

$x^4-3x^2(x-1)-9(x-1)^2=0$

hay $x^4-3x^2y-9y^2=0$ với $y = x-1$


$\Delta_x = 45y^2$ nên $x^2 = \dfrac{3y \pm 3\sqrt{5}y}{2}$


hay $x^2 = \dfrac{3 \pm 3\sqrt{5}}{2}(x-1)$

Việc còn lại là GPT bậc 2, mình không có nhiều thời gian, xin phép để giành cho bạn khác.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 16:39

Phấn đấu thi IMO 2015 & IMO 2016

Website trường mình: http://vuhuu.edu.vn
Diễn đàn trường mình: http://vuhuuonline.net

#5 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-08-2011 - 17:17

$x^4-3x^2(x-1)-9(x-1)^2=0$

hay $x^4-3x^2y-9y^2=0$ với $y = x-1$
$\Delta_x = 45y^2$ nên $x^2 = \dfrac{3y \pm 3\sqrt{5}y}{2}$


hay $x^2 = \dfrac{3 \pm 3\sqrt{5}}{2}(x-1)$

Việc còn lại là GPT bậc 2, mình không có nhiều thời gian, xin phép để giành cho bạn khác.

GOOD! :D
Bài 3: Xác định a, b sao cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0\,\,\,(1)$ tương đương với hệ $\left\{ \begin{array}{l}bx^2 + cx + a = 0 \\ cx^2 + ax + b = 0 \\ \end{array} \right.\,\,\,\,(2)$.

#6 emmuongioitoan

emmuongioitoan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:8A, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương
  • Sở thích:Càn quét, dọn dẹp các bài toán.

Đã gửi 07-08-2011 - 17:37

GOOD! :D
Bài 3: Xác định a, b sao cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0\,\,\,(1)$ tương đương với hệ $\left\{ \begin{array}{l}bx^2 + cx + a = 0 \\ cx^2 + ax + b = 0 \\ \end{array} \right.\,\,\,\,(2)$.

Bài này mình xét 2 TH hơi dài

TH1) (1) vô nghiệm thì $a=b=0, c \neq 0$ hoặc là $a\neq 0$ và $\Delta <0$

+ Với $a=b=0, c \neq 0$ thì (2) có nghiệm $x=0$, (1) và (2) không tương đương
+ Với $a\neq 0$ và $\Delta <0$

Nếu $b \neq 0$ thì $c \neq 0$ (do $\Delta <0$)

Để (2) vô nghiệm thì hoặc là $c^2 - 4ba < 0$ hoặc $a^2 - 4cb < 0$ hoặc cả 2 PT bậc 2 của (2) có nghiệm và $bx^2 + cx + a = 0 , cx^2 + ax + b = 0$ không có nghiệm chung

Muốn có điều này phải có $c^2 - 4ba \ge 0$ hoặc $a^2 - 4cb \ge 0$ và $b(b^2-ac)^2 + c(b^2-ac)(c^2-ab) + a(c^2-ab)^2 \neq 0$ ( * )

TH2) (1) có nghiệm thì hệ gồm cả 3 PT của (1) và (2) phải có nghiệm.

Cộng cả 3 PT lại ta có $(a+b+c) = 0$ vì $x^2+x+1 > 0$

+ Nếu $a=b=c=0$ thì hiển nhiên 2 cái tương đương.
+ Nếu 3 số không đồng thời bằng 0 thì phải có ít nhất 2 số khác 0. Giả sử là $b,c$
thì (2) tương đương với $x = 1$ hoặc $x = \dfrac{a}{b}$ và $x = \dfrac{b}{c}$
đến đây xét tiếp 2 khả năng
Nếu $a=0$ thì cả (1) và (2) đều tương đương với $x=1$, được.
Nếu $a \neq 0$ thì (1) có 2 nghiệm 1 và $\dfrac{c}{a}$

(1), (2) tương đương thì phải có $x = \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} =\dfrac{c}{a}$ tức là $a=b=c$ điều này không xảy ra vì 3 số không đồng thời bằng 0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 18:02

Phấn đấu thi IMO 2015 & IMO 2016

Website trường mình: http://vuhuu.edu.vn
Diễn đàn trường mình: http://vuhuuonline.net

#7 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-08-2011 - 17:42

Bài này mình xét 2 TH hơi dài

TH1) (1) vô nghiệm thì $a=b=0, c \neq 0$ hoặc là $a\neq 0$ và $\Delta <0$

+ Với $a=b=0, c \neq 0$ thì (2) có nghiệm $x=0$, (1) và (2) không tương đương
+ Với $a\neq 0$ và $\Delta <0$

Nếu $b \neq 0$ thì $c \neq 0$ (do $\Delta <0$)

Để (2) vô nghiệm thì hoặc là $c^2 - 4ba < 0$ hoặc $a^2 - 4cb < 0$ hoặc cả 2 PT bậc 2 của (2) có nghiệm và $bx^2 + cx + a = 0 , cx^2 + ax + b = 0$ không có nghiệm chung

Muốn có điều này phải có $c^2 - 4ba \ge 0$ hoặc $a^2 - 4cb \ge 0$ và $b(b^2-ac)^2 + c(b^2-ac)(c^2-ab) + a(c^2-ab)^2$

Typing...

Gắng giải cho hết bài toán anh nhé! Làm toán không nên bỏ dở :D

#8 emmuongioitoan

emmuongioitoan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:8A, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương
  • Sở thích:Càn quét, dọn dẹp các bài toán.

Đã gửi 07-08-2011 - 17:47

Gắng giải cho hết bài toán anh nhé! Làm toán không nên bỏ dở :D

Em không thấy chữ typing ở dưới à? Anh đang type nhưng phải gửi dần luôn chẳng may mất điện thì mất.
Phấn đấu thi IMO 2015 & IMO 2016

Website trường mình: http://vuhuu.edu.vn
Diễn đàn trường mình: http://vuhuuonline.net

#9 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-08-2011 - 17:49

Em không thấy chữ typing ở dưới à? Anh đang type nhưng phải gửi dần luôn chẳng may mất điện thì mất.

Thế đáp án cuối cùng? Em kém không biết đường đâu mà lần :D.Anh giỏi quá ak, thật đáng ngưỡng mộ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 07-08-2011 - 17:50


#10 emmuongioitoan

emmuongioitoan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:8A, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương
  • Sở thích:Càn quét, dọn dẹp các bài toán.

Đã gửi 07-08-2011 - 17:57

Làm 3 bài rồi, xin để lại 1 bài cho xusinst

Giải hệ PT
$\left\{\begin{matrix}{}(x+1)(y+1) = 2 + xy\\x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 2 + \sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 17:58

Phấn đấu thi IMO 2015 & IMO 2016

Website trường mình: http://vuhuu.edu.vn
Diễn đàn trường mình: http://vuhuuonline.net

#11 emmuongioitoan

emmuongioitoan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:8A, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương
  • Sở thích:Càn quét, dọn dẹp các bài toán.

Đã gửi 07-08-2011 - 18:01

Thế đáp án cuối cùng? Em kém không biết đường đâu mà lần :D.Anh giỏi quá ak, thật đáng ngưỡng mộ!

Kết luận có tưng đây TH

1) $a+b+c=0$ và có 1 số bằng 0, 2 số khác 0
2) Cả 3 số bằng 0
3) a,b,c khác 0 và $c^2-4ba < 0$
4) a,b,c khác 0 và $a^2-4bc < 0$
5) a,b,c khác 0 và thỏa mãn ( * )
DONE.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 18:02

Phấn đấu thi IMO 2015 & IMO 2016

Website trường mình: http://vuhuu.edu.vn
Diễn đàn trường mình: http://vuhuuonline.net

#12 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 07-08-2011 - 21:12

Làm 3 bài rồi, xin để lại 1 bài cho xusinst

Giải hệ PT
$\left\{\begin{matrix}{}(x+1)(y+1) = 2 + xy\\x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 2 + \sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$

gợi ý nhé
$\left\{\begin{matrix}{}x+y=1\\x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 2 + \sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$ (1)
vậy ta có nghiệm của hệ trên phải thỏa mãn$\left\{\begin{matrix}{}x^{2}+2xy+y^{2}=1\\3x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{}y^{2}=1-x^{2}-2xy\\3x(1-x^{2}-2xy+\dfrac{1}{3}) = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{}y^{2}=1-x^{2}-2xy\\3x-6x^{2}y-3x^{3}+x = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$ (2)
vậy ta từ (1) và (2)dẫn đến
$ 3xy^{2}+x=3x-6x^{2}y-3x^{3}+x$
$ \Leftrightarrow 3x(x^{2}+1-y^{2}-2xy)=0$
$ \Leftrightarrow 6x^{3}=0$
$ \Leftrightarrow x=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 08-08-2011 - 20:38


#13 emmuongioitoan

emmuongioitoan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:8A, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương
  • Sở thích:Càn quét, dọn dẹp các bài toán.

Đã gửi 07-08-2011 - 22:37

gợi ý nhé
$\left\{\begin{matrix}{}x+y=1\\x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 2 + \sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
vậy ta có nghiệm của hệ trên phải thỏa mãn$\left\{\begin{matrix}{}x^{2}+2xy+y^{2}=1\\3x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$ (1)
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{}y^{2}=1-x^{2}-2xy\\3x(1-x^{2}-2xy+\dfrac{1}{3}) = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{}y^{2}=1-x^{2}-2xy\\3x-6x^{2}y-3x^{3}+x = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$ (2)
vậy ta từ (1) và (2)dẫn đến
$ 3xy^{2}+x=3x-6x^{2}y-3x^{3}+x$
$ \Leftrightarrow 3x(x^{2}+1-y^{2}-2xy)=0$
$ \Leftrightarrow 6x^{3}=0$
$ \Leftrightarrow x=0$

Gợi ý gì vậy??? Sai nặng!!! Thế vào vế trái rồi lại cho 2 cái vế trái bằng nhau thì bằng hòa bạn à.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 22:40

Phấn đấu thi IMO 2015 & IMO 2016

Website trường mình: http://vuhuu.edu.vn
Diễn đàn trường mình: http://vuhuuonline.net

#14 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 08-08-2011 - 15:16

Bài 5: Giải phương trình sau: $\sqrt {12 - \dfrac{{12}}{{x^2 }}} + \sqrt {x^2 + \dfrac{{12}}{{x^2 }}} = x^2 + \dfrac{{25}}{2}$.

#15 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 08-08-2011 - 20:46

Bài 5: Giải phương trình sau: $\sqrt {12 - \dfrac{{12}}{{x^2 }}} + \sqrt {x^2 + \dfrac{{12}}{{x^2 }}} = x^2 + \dfrac{{25}}{2}$.

bài này đặt ẩn
$\sqrt {12 - \dfrac{{12}}{{x^2 }}}=t$
$\sqrt {x^2 + \dfrac{{12}}{{x^2 }}}=k$
ta có hệ phương trình tương đương sau
$ t+k= t^{2} + k^{2}+ \dfrac{1}{2}$
cauchy
$ t^{2}+ \dfrac{1}{4} \ge t $
$ k^{2}+ \dfrac{1}{4} \ge k$
cộng các vế sử dụng dấu bằng của bất đẳng thức ko ngặt nhé
$ t= \dfrac{1}{2}$
$ k= \dfrac{1}{2} $
giai ra nếu ko đc thì vô nghiệm
nhân tiện xem lại bài trên ko sai đâu xem lại hộ nhé có thể viết nhầm đâu đấy thôi tôi sửa lại rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 08-08-2011 - 20:51


#16 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 12-08-2011 - 08:15

Bài 6: Giải phương trình:

$\dfrac{{\left( {x - 1} \right)^4 }}{{\left( {x^2 - 3} \right)^2 }} + \left( {x^2 - 3} \right)^4 + \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)^2 }} = 3x^2 - 2x - 5$.

Bài 7: Biết phương trình $ax^3 + bx^2 + cz + 1 = 0\,\left( {a \ne 0} \right)$ có 3 nghiệm dương là $x_1 ,x_2 ,x_3 $.
Chứng minh rằng: $x_1^7 + x_2^7 + x_3^7 \ge - \dfrac{{b^3 c^2 }}{{81a^5 }}$.

#17 isaac_newtons

isaac_newtons

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Đã gửi 12-08-2011 - 18:04

Bài 6: Giải phương trình:

$\dfrac{{\left( {x - 1} \right)^4 }}{{\left( {x^2 - 3} \right)^2 }} + \left( {x^2 - 3} \right)^4 + \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)^2 }} = 3x^2 - 2x - 5$.

Bài 7: Biết phương trình $ax^3 + bx^2 + cz + 1 = 0\,\left( {a \ne 0} \right)$ có 3 nghiệm dương là $x_1 ,x_2 ,x_3 $.
Chứng minh rằng: $x_1^7 + x_2^7 + x_3^7 \ge - \dfrac{{b^3 c^2 }}{{81a^5 }}$.



bài 6 :
đăt $ (x-1)^2 =a $ ; $ (x^2-3)^2 =b $
$ \Leftrightarrow \dfrac{a^2}{b} + b^2 + \dfrac{1}{a}=a+2 \sqrt{b}$
ta có $ \dfrac{a^2}{b} + b^2 + \dfrac{1}{a} \geq a + 2 \sqrt{b} $
dấu "=" xảy ra khi $a=b=1 $(mình gỡ mệt ai cm giùm )
$ \Rightarrow x=2 $

P/s : có sai thì giúp nha!!! đừng có chửi ??




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh