Đến nội dung

Hình ảnh

Tính giá trị biểu thức

* * * - - 3 Bình chọn

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
biimbiim

biimbiim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
Cho $\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b}=1$
Chứng minh:
$\dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{b^2}{c+a} + \dfrac{c^2}{a+b}=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 08-08-2011 - 06:51


#2
biimbiim

biimbiim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

Cho a/(b+c) + b/(c+a) +c/(a+b)=1
Chứng minh:
a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) =0

Hình gửi kèm

  • images.jpeg


#3
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
Cho $ \dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b} = 1$
Chứng minh:
$ \dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{c + a} + \dfrac{c^2}{a + b} = 0 $

Bài toán này đã được đề cập nhiều lần trên diễn đàn nhưng mình không tìm được link.
Mong Mod lập một topic để dễ dàng tìm kiếm các bài thuộc dạng này. ( Lấy luôn topic này nhé)

Giải :

Nếu a + b + c = 0 $ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a + b = -c\\a + c = -b\\ b + c = -a\end{array}\right. $
$ \Rightarrow \dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b} = - 1 + - 1 + - 1= -3$
Điều này là trái với giả thiết. Do vậy a + b + c khác 0.

$ \dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b} = 1$
$ \Rightarrow (a + b + c)(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b}) = a + b + c$
( Đặt a + b + c = S)

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{ab}{a + c} + \dfrac{ac}{a + b} + \dfrac{b^2}{a + c} + \dfrac{ab}{b + c} + \dfrac{bc}{a + b} + \dfrac{c^2}{b + a} + \dfrac{ac}{c + b} + \dfrac{bc}{a + c} = S$

$ \Leftrightarrow \dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{c + a} + \dfrac{c^2}{a + b} + (\dfrac{ab}{a + c} + \dfrac{bc}{a + c}) + (\dfrac{ac}{a + b} + \dfrac{bc}{a + b}) + (\dfrac{ab}{b + c} + \dfrac{ac}{c + b}) = S$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{c + a} + \dfrac{c^2}{a + b} + \dfrac{b( a + c )}{a + c} + \dfrac{c(a + b)}{a + b} + \dfrac{a( b + c )}{b + c} = S$

$ \Rightarrow \dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{c + a} + \dfrac{c^2}{a + b} + a + b + c = S$

$ \Rightarrow \dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{c + a} + \dfrac{c^2}{a + b} = S - ( a + b + c ) = 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 07-08-2011 - 22:10

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#4
studentlovemath

studentlovemath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

Cho $\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b}=1$
Chứng minh:
$\dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{b^2}{c+a} + \dfrac{c^2}{a+b}=0$

 

Trước hết ta có $a+b+c\neq 0$vì nếu a+b+c=0 thì $b+c=-a$ ; $a+c=-b$ ; $a+b=-c$ $\Rightarrow $ -3=1 (vô lí)
$\Rightarrow $ $a+b+c\neq 0$ $\Rightarrow $ $(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})(a+b+c)=a+b+c$
$\Rightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{ab}{c+a}+\frac{ac}{a+b}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{b+c}+\frac{bc}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}=a+b+c$ $\Rightarrow \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}+\frac{a(b+c)}{b+c}+\frac{b(a+c)}{a+c}+\frac{c(a+b)}{a+b}=a+b+c$ $\Rightarrow \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}=0$


Làm việc đừng quá trông đợi vào kết quả, nhưng hãy mong cho mình làm được hết sức mình

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh